序列的Z变换与傅里叶变换

1、2 3 4傅里叶变换傅里叶变换 时间域时间域 频率域频率域(复频域复频域 ) 拉普拉斯拉普拉斯变换变换 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 时间域时间域 频率域频率域(复频域复频域 ) z变换变换 n连续时间信连续时间信号与系统号与系统n离散时间信离散时间信号与系统号与系统567( ) ( )( )(2.1)nnx zx nx n z 110( ) ( )( )(2.2)nnxzx nx n z 8式中式中z z所在的复平面，所在的复平面， z是一个连续复变量，具有实部和虚部是一个连续复变量，具有实部和虚部j|ezzjez9 ( )( )nx na u n 10011 21 3( )( )(

2、)1()()nnnnnnnx zx n za zazazazaz 1101( )(),|1nnzx zazzaazza10对于给定的任意序列对于给定的任意序列x(n)，使其，使其z变换变换收敛收敛的所有的所有z值的集合组成的区域。值的集合组成的区域。 | ( )|nnx n z 11 或或 0|z|+ 12 21( )( )nnnnx zx n z| ( )nx n z|+|nz +| | z0+x(n)有界开域13 11111001()( )()1nnnnnnnnazx za zazaz( )( )nnx na rn14 1( )( )(2.5)nnnx zx n z11| ( )|nn n

3、x n z15111( )|( )|( )|nnnnnnx zx n zx n z 16 111012( )|( )|( )|( )|( )( )nnnnnnnnx zx n zx n zx n zxzxz 17 2( )( )(2.6)nnnx zx n z22| ( )|nnnx n z18 222|( )|( )|nnnnnnx n zx n z 19221012( )|( )|( )|( )|( )( )nnnnnnnnx zx n zx n zx n zxzxz20 1122( )()(1)nnnnnx zazazazaza z ( )(1)nx na un ( ),|1/ |1az

4、x zzaaz21 1210( )( )( )( )( )( )(2.7)nnnnnnx zx n zx zxzx n zx n z 22 10( )( )(2)()()nnnnnnnnx zx n zb za zzzzzabzazbza zb,0( ),0nnanx nbn 23241012( )( )( 1)(0)(1)(2)(2.8)nnx zxnzxzxzx zxz 25 1( )ln(1)x zaz1123111( 1)( 1)ln(1)( 11)23nnnnnxxxxxxxnn 111( 1)( )ln(1)nnnnx zaza zn1( 1)( )( )nnx na u nn 2

5、6n 使用前判定对应使用前判定对应x(n) 类型类型: 由收敛域确定由收敛域确定n右边序列右边序列(或因果序列或因果序列)n左边序列左边序列(或逆因果序列或逆因果序列)。 n 根据根据x(n) 类型展开类型展开x(z)n右边序列右边序列: x(z)展成负幂级数，分子分展成负幂级数，分子分母应按母应按z的降幂排列的降幂排列n左边序列左边序列: x(z)展成正幂级数，分子分展成正幂级数，分子分母应按母应按z的升幂排列。的升幂排列。 27 11 23( )(1 3)zx zz1123( )1 69zx zzz12233440( )0 32 33 34 33nnnx zzzzznz ( )3( )nx

6、 nnu n28 11 23( )(1 3)zx zz1213( )961zx zzz12341214( )() 339981nnnx zzzzznz( )3(1)nx nnun 2910011001(1)( )( )(2.9)( )(1)mmkkkkknnkkkkkbc zb zp zx zq za zad z 30 11( )(2.10)1nkkkax zd z1(1)( )|(2.11)kkkz dad zx z11011( )(2.12)1(1)m nn ssrkmrmrkmkiacx zb zd zd z 11011( )(2.13)1(1)mnn ssrkmrmrkmkiacx z

7、b zd zd z31 111( ),|2(1 2)(1 0.5)x zzzz1211( )1 21 0.5aax zzz11211120.51114(1 2)|(1 2)(1 0.5)311(1 0.5)|(1 2)(1 0.5)3zzazzzazzz 41( )20.5 ( )33nnx nu n32 zax(n)+by(n) = ax(z)+by(z)， r-|z|r+ (2.20) z ( ),11zu nzz3213z (3),111nnzzu nzzzz222( )z ( )z (3)111x zx nx nzzzzzzz33z ()()( )( )nmkmnkx n mx n m

8、 zzx k zzx zz ()( )mx nmzx z 11z( )( )( )()()nnnnnna x na x n zx n a zx a z1z( )()na x nx a z34 1dd( )( )() ( )dd( )( )nnnnnnzx zzx n zzn x n zzznx n zz nx n dz( )dnx nzx zz 11z ()()( )()()nnnnxnxn zx n zx z111z ()(),xxxnx zrzr35 ：若若x(n)是因果序列，即是因果序列，即x(n)= 0，n0，则，则120( )( )(0)(1)(2)( )nnnx zx n zxxz

9、xzx n z (0)lim( )zxxz (0)lim( )zxx z 0(0)lim( )zxx z 36 ：若若x(n)是因果序列，且是因果序列，且x(z)的全的全部极点，除在部极点，除在z= 1处可以有一阶极点外，其余极点处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则都在单位圆内，则 (1)( )( )( )(1)( ) (1)( )nnzx zzx zx zz x nx nx nx n z 1lim( )lim(1)( )nzx nzx z1(1)( )lim (1)( )nknkzx zx kx k zx(n)是因果序列，则是因果序列，则 11lim(1)( )lim (1)( )l

10、im (0)0 (1)(0) (1)( )lim (1)lim ( )nznknnnzx zx kx kxxxx nx nx nx n 37 ( )z ( )* ( )( ) ()nnkw zx ny nx k y nk z ( )( )()( )( )( )( )nknkmkmw zx ky nk zx k zy m zx zy z38 查表得查表得 1( )( ),( )( )(1)nnnx na u nh nb u nabu n111111111( ),( )1111azazx zh zazbzbzbz( )( )( ),|zy zx zh zzbzb-1( )(n)* (n) = z

11、( ) = ( )ny nxhy zb u n 39nn阶线性常系数差分方程阶线性常系数差分方程 00()()nmkrkra y nkb x nr z变换变换移位性质移位性质 差分方程差分方程代数方程代数方程z变换式变换式输出序列输出序列逆逆z变换变换解方程解方程40 ( )( )nx nb u n112( )( ) ( )( 1) ( )( )1ax zy zazy zyzx zy zaz11( )( )( )1nx nb u nx zbz 11121( )1(1)(1)ay zazazbz111( )2nnnaby naab 11( )2ny na112( )nnaby nab41 n周期

12、序列的傅里叶级数表示周期序列的傅里叶级数表示 42j-j(e )f ( )( )e(2.38)nnxx nx n1jjj-1( )f (e )(e )ed(2.39)2nx nxxj-je( )( )enznx zx n jje(e )( )(2.40)zxx zj1j1e1( )f (e )( )d(2.41)2 jnczx nxx z zz43jjjri(e )(e )j(e )(2.42)xxxjjjjarg (e)j ( )(e ) |(e )|e( )e(2.43)xxxx j2j2jri( ) |(e )|(e )(e )(2.44)xxxxjjijr(e )( )arg (e )

13、=arg(2.45)(e )xxx 44 -j1j-j-j-j0-j/2j/2-j/2-j (1)/2-j /2j /2-j /21 e(e )( )ee1 ee(ee)sinee(ee)sin /2nnnnnnnnnnnnrr nnjsin|(e )|sin/2nnrjarg(e )= - (1)/2nrn。45 j(2 )j(e)(e)xx46jj1212f( )( )(e)(e)ax nbx naxbx00jj()fe( )(e)nx nx -jjf ()e(e )kx nkx jd (e )f( )jdxnx n 47-jf ()(e)xnxjf ( )( ) ( )( )ennx n

14、y nx ny n*-jf( )(e)x nx j( ) ()ennkx k y nk *jf()(e )xnxjjjj( )e( )e(e ) (e )kmkmx ky mxy 48jf ( )( ) ( ) ( )ennx ny nx n y n jjj1(e )ed( )e2nnnxy njj()1(e )d( )e2nnxy n jj()1(e ) (e)d2xy 492jj1| ( )|( )( )( )(e )ed 2nnnnx nx n x nx nx jj1(e )( )ed2nnxx njj1(e )(e )d2xxj21|(e)| d2x50 eo( )( )( )x nx

15、 nx n*eeoo( )(),( )()x nxnx nxn eo11( ) ( )() ( ) ( )() 22x nx nxnx nx nxn 5152( )(),kx nx nkn为任意整数2j( )eknnkkx na（2.7.4）2j1e (n)=enn2je ( )eknnkn5322j()je( )e=e=e ( )kmnnknnnkmnknn21j01( )( )enknnkx nx kn（2.7.5）n周期序列周期序列: 只取只取k0到到n-1的的n个独立谐波分个独立谐波分量足以表示原信号量足以表示原信号 5410( )dfs ( )( )(2.77)nknnnx kx n

16、x n wk, - +101( )idfs ( )( )(2.78)nknnkx nx kx k wn, -n+n离散傅里叶级数正变换离散傅里叶级数正变换 n离散傅里叶级数反变换离散傅里叶级数反变换 55 2211-j()-j00()( )e( )e( )nnkmn nknnnnnx kmnx nx nx kn周期序列与有限周期序列与有限长序列之间本质长序列之间本质联系：联系： 周期序列的信息可用周期序列的信息可用它在一个周期中的它在一个周期中的n个值来代表，式个值来代表，式(2.76)与与(2.77)中只中只取取n个序列值说明这个序列值说明这一点。一点。56设设，0，1，2，3，0，1，2，

17、3，是一个是一个以以n= 4为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。 2-j44ejw4 13400( )( )( j)( ),1,2,knknnnx kx n wx nk 30(0)( )(0)(1)(2)(3)6nxx nxxxx因此得到，离散傅里叶级数因此得到，离散傅里叶级数，6，-2+2j，-2，-2-2j，6，-2+2j，-2，-2-2j， 30(1)( j)( )(0)j (1)(2)j (3)22jnnxx nxxxx 320(2)( j)( )(0)(1)(2)(3)2nnxx nxxxx 330(3)( j)( )(0)j (1)(2)j (3

18、)22jnnxx nxxxx 57设设= ，1，1， 1，1，0，0，0，0，是一是一个以个以n = 8为周期的周期序列，求傅里叶变换。为周期的周期序列，求傅里叶变换。 j22(e )( ) (),8kxx kknnn 参考例参考例2.16，可以得到，可以得到2213-j-j800( )( )eenknknnnnx kx n7-j8sin()( )esin(/8)kkx kk7-jj8sin()(e )e()4sin(/8)4kkkxkk 58 ( )( )ed( ) ( )ed() ()ed() ()ed()eststaaastanstsntaannxsxttxt p ttxnttnttxnttnttxntdd+ + - - + + - = - + + + - = - = - =-=-=蝌邋 e( )(e )(2.89)sts