45、6二次型与标准形(zjy)

1、一、问题的推出一、问题的推出第五节二次型及其矩阵表示 二、基本概念二、基本概念三、二次型的矩阵及二次型的秩三、二次型的矩阵及二次型的秩1 1、二次型及其表示、二次型及其表示定义定义1 1n含含 个变元个变元nxxx,21的二次齐次多项式的二次齐次多项式),(2, 1nxxxfnnxxaxxaxa112112211122nnxxaxa22222222nnnxa称为称为n n元二次型元二次型（或（或二次齐式二次齐式）。）。（1 1）njijiijiniiixxaxa1212一、基本概念一、基本概念若（若（1 1）中）中交叉项交叉项jixxji的的系数系数全部为全部为零零，即，即jinjiaij.,

2、 2 , 1,0),(2, 1nxxxf 2222222111nnnxaxaxa为为nxxx,21的的标准二次型标准二次型（二次型的标准形）（二次型的标准形）可见可见 f 为为对角形对角形。注：注：由（由（1）可见，每一项中变量的）可见，每一项中变量的方次之和均为方次之和均为2。如：如：2212133xxxxf221214xxxxf不是二次型不是二次型是二次型是二次型二、二次型的矩阵与二次型的秩二、二次型的矩阵与二次型的秩 .axxt例例1 1 将下列二次型用矩阵表示。将下列二次型用矩阵表示。 32312123222132162252,xxxxxxxxxxxxf解解123,f x x x321

3、321531321111,xxxxxx称称a为二次型为二次型321,xxxf的的矩阵矩阵.)(axxxft（3 3）),(2, 1nxxxfnnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121, tnnnijxxxxaa,21简记为简记为令令推广：推广：的的矩阵矩阵，af与与faa可建立一一对应关系，可建立一一对应关系，的秩称为的秩称为f称上式中称上式中实对称矩阵实对称矩阵为二次型为二次型的的秩秩。二次型二次型例例2 2 将下列二次型写成矩阵形式。将下列二次型写成矩阵形式。3231212322213214844,. 1xxxxxxxxxxxxf解解321,xxxf32

4、1321124242421,xxxxxx321,xxxf的矩阵的矩阵124242421a是一实对称矩阵，是一实对称矩阵，4332312143218642,. 2xxxxxxxxxxxxf二次型二次型解解4321,xxxxf432143210400403203010210,xxxxxxxx的矩阵的矩阵是一实对称矩阵，是一实对称矩阵，4321,xxxxf0400403203010210a二次型二次型24232221432123,. 3xxxxxxxxf解解4321,xxxxf432143211000020000300001,xxxxxxxx的矩阵的矩阵是一实对称矩阵，是一实对称矩阵，4321,xx

5、xxf1000020000300001a使二次型使二次型若通过线性变换若通过线性变换nnyayayax12121111nnyayaxax22221212nnnnnnyayayax2211),(21nxxxf经变换后化为只含平方项的标准形。经变换后化为只含平方项的标准形。即通过即通过,cyx 因为因为axxft)()(cyacytyaccytt)(yyt其中其中acctyyft2222211nnykykyk为为二次型的标准形二次型的标准形。正交变换法正交变换法第六节化实二次型为标准形称称 为为可逆线性变换可逆线性变换。axy a（1 1）当）当 是可逆矩阵时，是可逆矩阵时，a（2 2）当）当 是

6、正交矩阵时，是正交矩阵时，称称 为为正交变换正交变换。axy 二、正交变换法化二次型为标准形二、正交变换法化二次型为标准形如果存在如果存在正交矩阵正交矩阵p，使，使appappt1),(21ndiaga其中其中n,21为为 的的特征值特征值。如果在满秩线性变换如果在满秩线性变换cyx 中，中， c是是正交矩阵正交矩阵，则，则称它是正交线性变换矩阵，简称称它是正交线性变换矩阵，简称正交线性变换正交线性变换。由于实二次型的矩阵是一个对称方阵，由于实二次型的矩阵是一个对称方阵，故对于任意故对于任意一个一个 n 元实二次型元实二次型,axxft一定可以找到一个正一定可以找到一个正交变换交变换,pyx

7、使得使得axxftyappytt)(,yyt2222211nnyyy对二次型对二次型,axxft2222211nnyyyf存在正交变换存在正交变换 使使 pyx 其中其中n,21a为为 的的特征值特征值。其中其中p 的列向量是的列向量是a的相应于特征值的的相应于特征值的n个两两正交个两两正交 的单位特征向量。的单位特征向量。定理定理1 1 （主轴定理）（主轴定理） 例例1 用正交变换化二次型用正交变换化二次型为标准型，为标准型，32212221321442,. 1xxxxxxxxxf正交变换。正交变换。解解 （1）写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵a .020212022a(2) 求出求出

8、a 的全部特征值及其对应的标准正交的的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量。特征向量。ae 20212022412211243并求出所用的并求出所用的而它们所对应的标准正交的特征向量为而它们所对应的标准正交的特征向量为212311p122312p221313p(3) 写出正交变换写出正交变换取正交矩阵取正交矩阵321pppp 21222112231则得所欲求的正交变换则得所欲求的正交变换pyx 即即21222112231321xxx321yyy（4） 写出写出321,xxxf的标准形。的标准形。易知经上述正交变换易知经上述正交变换pyx 后所得二次型的标准形后所得二次型的标准形2322213

9、2124,yyyxxxf必须指出：必须指出： 把实二次型把实二次型化为标准形后，化为标准形后，,axxft所得标准形虽然不是惟一的，所得标准形虽然不是惟一的， 但在标准形中的系数不但在标准形中的系数不等于零的平方项的个数是由等于零的平方项的个数是由a的秩所惟一确定的。的秩所惟一确定的。 并且并且在标准形中平方项系数为正的的个数在标准形中平方项系数为正的的个数p 与负的个数与负的个数r - p也都是惟一确定的。也都是惟一确定的。它们依次被称为实二次型它们依次被称为实二次型的的正正（负负) 惯性指数惯性指数。2.2.3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf12424242

10、1a 4512424250512424242112ae4, 5:321的特征值为所以 a解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为txae1 ,21 , 1:, 04, 433得基础解系为解对3 3）对每个基础解系进行）对每个基础解系进行schmidtschmidt正交化、再单位化：正交化、再单位化：21221;52451,0212133111122211,1iii令,21231,524451,02151321则101,0121:, 05, 522121得基础解系为解对xaeyaqqyaxxxxxfttt321,作正交变换作正交变换 x=qy，则，则232221455455yyyyyt,3245503

11、1452523245451,4321q令4, 5 , 51diagaqqaqqt并且是正交矩阵。则q3.32312123222184422xxxxxxxxxf解解 （1）写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵a .242422221a(2) 求出求出a 的全部特征值及其对应的标准正交的的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量。特征向量。ae 24242222124222022164202042123cc 72212273当当2时解时解02xae解之解之32122xxx其基础解系其基础解系01211022先将先将21,正交化。正交化。,012511p1111222,110125410254251

12、,5425312p251当当71得同解方程组得同解方程组323121xxxx23x基础解系为基础解系为,2213时解时解07xae,221313p(3) 写出正交变换写出正交变换取正交矩阵取正交矩阵321,pppp 32535032534513153252则得所欲求的正交变换则得所欲求的正交变换pyx 7221app32535032534513153252321xxx321yyy321,xxxf的标准形的标准形。易知经上述正交变换易知经上述正交变换pyx 后所得二次型的标准形。后所得二次型的标准形。232221321722,yyyxxxf（4） 写出写出二次型的标准形显然不是唯一的，二次型的标

13、准形显然不是唯一的，只是标准形中只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩所含项数是确定的（即是二次型的秩r(a),不仅如此不仅如此在限定变换的实变换时，在限定变换的实变换时， 标准形中的系数的个数是不标准形中的系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变）。变的（从而负系数的个数也不变）。这与选择的线性这与选择的线性变换无关，变换无关， 可设二次型的标准形为：可设二次型的标准形为：2211221121,rrppppnydydydydxxxf) 1 ()0(id三、正定二次型三、正定二次型令令rizdyiii, 2 , 11（1）式变成）式变成 2,22122121rppnzzzzxxxf则称

14、则称 (2) 为实二次型为实二次型),(2, 1nxxxf的的规范型规范型。其平方项系数为其平方项系数为 1，1，0。设二次型的标准形为：设二次型的标准形为：2211221121,rrppppnydydydydxxxf) 1 ()0(id( (惯性定理惯性定理) )定理定理2 2任何实二次型总可以经过一个适当的可逆任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形线性变换化成规范形, ,规范形是唯一的规范形是唯一的. .222121,rpnzzzxxxfr其中其中 为为 的的秩秩. .f都有都有定义定义设设axxxxxftn,21为实二次型为实二次型( (a为实对称矩阵为实对称矩阵),),

15、 如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量,),(21ntnrxxxx)0(0),(21axxxxxftn称称 为为正定正定( (半正定半正定) )二次型二次型, ,f称正定称正定( (半正定半正定) )a二次型二次型 的矩阵的矩阵 为为正定正定( (半正定半正定) )矩阵矩阵. .f2 2、正定二次型、正定二次型22213212),(xxxxxf判别下列二次型的正定性判别下列二次型的正定性任任半正定半正定. .1.1.2221212),(xxxxf2.2.解解0),(321xxx1.1.代入代入, ,. 0) 1 , 0(f2.2. 0)0 , 1 (f),(21xxf不定不定. .例例5 5实二次型实二次型axxft正定正定, ,标准形中标准形中 个系数全为正个系数全为正. .n推论推论2 2a正定