定积分概念、第一换元

1、定积分的概念abxyo? a原型原型 （求曲边梯形的面积）求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念现实原型)(xfy 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线轴轴与与两两直直线线, ,所所围围成成. .( )( ( )0),yf xf xxxa xb考考察察下下列列图图形形由由哪哪些些曲曲边边围围成成. .a2022xy 00y asinyx 0 x 2x x 2y 0 x 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取极限取极限” ” 的步骤的步骤. .将曲边梯形的底，即将曲边梯形的底，即a ,b进行分割进行

2、分割( (用垂直于用垂直于x轴的直线轴的直线).).第一步第一步 分割；分割；曲边梯形的面积的解决思路：曲边梯形的面积的解决思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x记记1.iiixxx 取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy ()if 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小区域面积典型小区域面积 is i ().iiisfx a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面积和与曲边梯矩形面积和与曲边梯形面积不相等形面积不相

3、等1 2 1n n 11().nniiiiisfx 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来有的小矩形面积加起来. .第四步第四步 取极限取极限. .当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似和越近似于于曲边梯形面积曲边梯形面积. .a bxyo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 11()nniiiiiasfx 112233( )()()(),nnfxfxfxfx iniixfa )(lim10 1122330lim()()()() .nnfxfxfxfx 曲曲边边梯梯形

4、形面面积积的的近近似似值值为为: :曲曲边边梯梯形形面面积积为为当当即即小小区区间间的的最最大大长长度度趋趋近近于于零零时时分分割割无无限限加加细细12,max,(0),nxxx 设设是是定定义义在在区区间间上上的的有有界界函函数数 用用点点将将区区间间任任意意分分割割成成 个个子子区区间间这这些些子子区区间间及及其其长长度度均均记记作作在在每每一一子子区区间间上上任任取取一一点点作作 个个乘乘积积的的和和式式012111( ) , ,. , ,(1,2,.),(1,2,., ).,()nniiiiiiiiif xa baxxxxxba bnxxixxxinxnfx 二、 定积分的定义1().

5、niiifx 定义定义以直代曲以直代曲求和求和被积函数被积函数被积表达式被积表达式 , a b 为为积积分分区区间间积分上限积分上限积分下限积分下限 如如果果当当同同时时最最大大子子区区间间的的长长度度时时 和和式式并并且且其其极极限限值值与与的的分分割割法法以以及及 的的取取法法无无关关 则则该该极极限限值值称称为为函函数数区区间间在在上上的的定定积积分分 记记作作的的极极限限存存在在1,max0, , , , ()(,:)niiiiifxf xnxa ba b 1(0)( )lim()nbiianif xxfx d d积分变量积分变量积分和积分和( )f xx取极限取极限即即注意：注意：(

6、 )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定义义中中区区间间的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1),.积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b当当函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分存存在在时时称称在在区区间间上上可可积积. .xtuxtu, 0)( xf( )baf x xa d d曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xfd d( )baf x xa 曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1

7、234( )baf xxaaaa d d 定积分的几何意义3a4a2a1a abyxo几何意义( ),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号 在在轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号 _ _abyxo例例1利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义计计算算下下列列积积分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的三三角角形形面面积积. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y ay

8、x d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的圆圆面面积积. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx a2114 定理定理( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可积积为为常常数数 则则在在上上d dd d也也可可积积 且且三、定积分的性质定理定理( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可积积 则则在在上上也也可可积

9、积 且且 d dd dd d补充：补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,定理定理 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f x xf x xf x x 有有界界函函数数在在上上都都可可积积的的充充要要条条件件是是在在上上也也可可积积 且且 dddddd ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb266032 063 2abcsacscbsabd dd d1

10、.bbaaxxba 定理定理d d203 x d d2033.2x 对定积分的补充规定对定积分的补充规定:(1),( )0.baabf xx 当当时时 令令d d(2)( ),( )( ).abbaababf x xf x xf x x 当当且且d d 存存在在时时则则d dd d定理定理（保序性保序性）推论（保号性）推论（保号性）( )( )( )( ) , ,( ), , ,( ).bbaaf xg xa bg xf xg xxf xxbxa 设设与与为为定定义义在在上上dddd的的两两个个可可积积函函数数若若则则( )0, , (,)0 .baf xxf xxa b d d若若则则ab(

11、 )g x( )f x定理定理 （有界性）（有界性）ab( )f x,( ) ,()( )().( ) , ,bam mf xa bf xm baf x xm baa b 设设分分别别是是在在上上的的最最小小值值和和最最大大值值若若在在上上可可积积 则则 d d . .例例2解解利利用用定定积积分分的的有有界界性性估估计计下下列列定定积积分分的的值值d dd d4201.(1)sin;(2)(1).x xxx d d，0(1)sin x x 0sin1,0, ,xx d d0sin x x 0 1, d d0sin x x 0 .0asinyx 0y 1y d d421(2)(1),xx 21

12、yx 4122117,1,4 ,xx d d421(1)xx 2 (41) 17 (41) , d d4216(1)51 .xx 2y 17y 定理（绝对值不等式）定理（绝对值不等式）( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bf xa bf xxf xx 若若在在上上可可积积 则则在在上上也也可可积积且且 d dd d 4321)(aaaadxxfba 1234( )baf x dxaaaa ( )( )( )f xf xf x用保序性证得用保序性证得abyxo1a2a3a4a( ) , , , ( )( )() .,baf xa ba bf xxfba 若若函函数数在在上上

13、连连续续 则则在在上上至至少少存存在在一一点点使使得得 d d = =abxoy定理（积分中值定理）定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释 , , , ,( )( ).a ba byf xf 在在区区间间上上至至少少存存在在一一点点使使得得以以区区间间为为底底边边 以以曲曲线线为为曲曲边边的的梯梯形形面面积积等等于于同同一一底底边边而而以以为为高高的的一一个个矩矩形形面面积积 )( f定积分的计算定积分计算定积分计算 定义很复杂，直接计算很困定义很复杂，直接计算很困难难. .需要转换新的思路需要转换新的思路. .d d( )baf t t 01lim()niiifx

14、根据几何意义，图不好画根据几何意义，图不好画定理定理牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式( ) , ,( )( ) ,( )(.),baf xa bf xf xa bf x xf bf a 设设在在上上连连续续 若若是是在在上上的的一一个个原原函函数数 则则 d d 微积分基本定理( )baf x x d d微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：( )baf x 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题 , , .a ba b 一一个个连连续续函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间上上的的增增量量( )( )

15、 .f bf a ( )( )( ).baabf xxffba 当当时时，d d仍仍成成立立例例1 求求 解解1. 提示与分析：提示与分析：20sin.x x d d20sin x x d d coscos02 20先看成不定积分问题，先看成不定积分问题，求出原函数求出原函数. .d dsincosx xxc cos x d d( )( )bbaaf xxf x lnbax lnln.ba例例21ln,xxcx d d1baxx d d例如例如d d311xx 1ln.xx是是的的原原函函数数31ln x ln3ln1 ln3 . ( )yf x ( )( )dydf xyfxdxdx( )(

16、 )df xfx dxdyy dx问题问题40cos2xdx 40sin2x 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令从 到从 到从 到从 到2 ,0,0.42ux xu 1,2dxdudu 2udxdx 第一换元法第一换元法40cos2xdx 201cos2udu 201sin2u 2012cosduu 1.2 考虑考虑2402 cos().xxx 求求定定积积分分d d能能用用直直接接积积分分法法吗吗？不不行行到底该令哪个式子为到底该令哪个式子为u u 对对于于不不定定积积分分d d如如果果无无法法直直接接计计算算 而而被被积积函函数数可可以以分分

17、为为两两个个部部分分( ),:( ) ( )( )f xxf xgxx ( )ux ( )f x ( )( )gxx 那那么么 d dxd dxd d( )g uu 如如果果d d 可可以以求求出出 原原不不定定积积分分就就解解决决了了 这这就就是是第第一一换换元元法法凑凑微微分分法法也也称称( ),.,.g uu ( )( )fxxf x d dd dd d ( )x 第第一一换换元元法法求求定定积积分分的的步步骤骤：( )( ),( ),( ).xxxuxxuf uu 凑凑微微分分d dd d并并作作变变量量代代换换把把关关于于 的的定定积积分分转转化化成成关关于于 的的定定积积分分第第d

18、 d二二步步：关关键键( )( ),( )f xxx 把把被被积积函函数数分分解解成成两两部部分分因因式式相相乘乘的的形形式式，一一部部分分是是的的函函数数另另一一部部分分第第一一步步：是是的的导导数数；一定要换积分上、下限一定要换积分上、下限第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式: : d d(1)()f axbx d d()axb a1d d1(2)()nnf xxx d d()nxn1d d(3)(sin )cosfxx x d d(sin )xd d(4)(cos )sinfxx x d d(cos )x()nf x ()f axb (sin)fx

19、 (cos)fx e ee e d d(5)()xxfx d ed e()xe e()xf d d1(6)(ln)fxxx d d(ln )x(ln)fx d d3sincosxxx 414uc1.4c3sincos.xx x 例例3 3 求求d d解解3sin xsinux d d d d3snnsiixx ( )g usinux usin xu34sin x 原原式式d d211(1)1xx 1ln t ln1ln 1. 21.1xx d d解解例例4 计算计算1tx d d11tt 说明说明: :使用第一换元法的关键在于将使用第一换元法的关键在于将( )f x dx 化为化为 ( )(