第十一章屈服条件

1、 八面体与剪应力312n=le1+ me2+ ne3= (e1+ e2+ e3)，lmn3131该斜截面上的正应力是n = T( n)n=l21+ m22 + n23应力矢量的模为= (l1)2+( m2)2+( n3)2 = (l1)2+( m2)2+( n3)2(l21+ m22 + n23)2经整理得 l2m2(12)2+ m2n2 (23)2 + n2l2(31)22T222nnT2n2n8= (1+2+3)2132322218)()()(3131 等效应力 若将x，y，z轴取为主轴，则J2可由主应力表示为J2= (12)2+(23)2+(31)2 简单拉伸时，应力状态为1=，2=3=

2、0，因此得2ijijJss32361213232221)()()(21 等效应变，类似于等效应力，它被定义为 式中1、2、3是主应变 单轴拉伸时，若假定材料是体积不可压缩的，即体积应变为零， 则应变状态为1 = ，2 = 3 = /2，得：213232221)()()(9232ijijee 对于简单应力状态，我们可以根据实验很容易确定其屈服条件。（1）单轴拉伸 = s （2）纯剪 = s 对于复杂应力加载，在应力空间中，屈服条件的数学表达式可概括为：f (ij) = 0屈 服 条 件 屈服条件的一般形式 f (1、2、3、1、2、3) = 0两个简化假定：（1）材料初始是各向同性的。与1、2、

3、3无关， f (1，2，3)=0f (I1，I2，I3)=0（2）静水压力不影响塑性状态， f(J2，J3)=0 式中J2，J3是偏应力张量s的不变量。 建立由1、2、3为坐标轴的直角坐标系，称之为主应力空间 主应力空间中任意一点P（1、2、3）代表物体内一点的应力状态 屈服面f (1，2，3)=0代表主应力空间中的一个曲面 当P点位于屈服面f (1，2，3)=0上，表示屈服。当P点在屈服面内部，即f (1，2，3)0，表示处在弹性状态。 主应力空间ONQp平面过原点O以 为法线的平面，称为p平面ONON 与各坐标轴夹相同角度p 平 面S 在p平面上的一点Q，其应力为 1，2，3 1230 说

4、明p平面上矢量所代表的应力状态只有偏量部分 在ON上的一点S，其应力为 1，2，3 1=2=30 代表静水压力 ONPQp平面OP= 1e1+ 2e2+ 3e3 = (s1+0)e1+ (s2+0)e2+(s3+ 0)e3= (s1e1+ s2e2+ s3e3)+ (0e1+ 0e2+ 0e3) =ONOQ 在应力空间中任意一点P，其应力为 1，2，3 eDCOeeBA222222eOex yre对于同一点， p平面的平面坐标与主应力空间的空间坐标相互转换关系一个应力状态是否会进入屈服只取决于它p平面上的投影将e1、e2、e3，投影在p平面上，得 ，相互间的夹角为 1e2e3e32p矢量s1e

5、1+ s2e2+ s3e3，该矢量在p平面上的投影为 s1cos1e+s2cos2e+s3cos3e 与x轴的夹角分别为300和300，而 与y轴重合x= (s1 s3) = ( 1 3)y= (2s2 s1s3) = ( 22 13) 222261611e2e3e32231cosCDOC1e与e1轴的夹角在简单应力状态下，的值分别为：（1）单轴拉伸 = 1：（2）纯剪 = 0；（3）单轴压缩 = 1。若规定123，则 11 3003002222Jyxr31)2(31tan31312xy极坐标 ryxs)32sin(3261211psin32322ry s ryxs)32sin(3261213

6、p偏应力由p平面坐标表示 屈服面的一般形状 是垂直于p平面的柱面p平面屈服面p 屈服面在p平面上的投影在每300分割段中都具有相似形。(1) 关于 对称。 1e2e3e312213（s1，s2，s3）（s1，s3，s2）（s1，s2，s3）和（s1，s3，s2）两种应力状态在p平面上关于 对称1e(2) 关于 的垂直线对称。 1e2e3e312213（s1，s2，s3）（s1，s3，s2）（s1，s2，s3）和（s1，s3，s2）两种应力状态在p平面上关于 的垂线对称1e具有每隔300的对称性eeeTresca 屈服条件 Tresca认为当最大剪应力达到某个极限值时材料将进入屈服 f (ij)

7、 =02131k x= (s1 s3) = (1 3) = k1 2222212 = 2k113 = 2k123 = 2k1若1、2、3不规定大小顺序，则屈服条件是 在p平面上是直线p平面屈服面eee材料常数k1值可由简单实验确定 （1）单轴拉伸：屈服时1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件k1= s/2（2）简单剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服条件 k1= ss=2sMises屈服条件 Mises在1913年提出了屈服条件：当偏应力的第二不变量达到某个极限时 0222 kJf (ij) = r= k2 =const， 222JMises屈服条件在p平面上是一个圆，在

8、应力空间是一圆柱体， p平面屈服面eeesijeij= sijsij= J2 21G41G21 J2与弹性状态的形状改变能成正比 J2 的物理意义 J2也与材料八面体上的剪应力成比例 材料常数k2由简单实验确定（1）单轴拉伸：屈服时 1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件 （2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件J2= =k2 k2 = s。因此，如果材料服从Mises屈服条件，则s= s22223kJssk3122s3eeeM ises圆内 接 T resca 六 边 形外 切 T resca六 边 形两种屈服条件比较 假定拉伸时两个屈服面重合，则Tresca六边形内

9、接于Mises圆； 假定剪切时两个屈服面重合，则Tresca六边形外切于Mises圆 例 一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列三种情况： （1） 管的两端是自由的； （2） 管的两端是封闭的； 分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解： 将Mises和Tresca中的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两种屈服条件重合，则有 Mises屈服条件: J2 = s2 Tresca屈服条件: 13=2s （1） 管的两端是自由的； 应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 =

10、(zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t对于Mises屈服条件: p = 3st/R对于Tresca屈服条件: 13 =k1=2s p = 2st/R61222zrzr6131222s2=kJ （2）管段的两端是封闭的； 应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t对于Mises屈服条件： p = 2st/R对于Tresca屈服条件： p = 2st/R61222zrzr2361例 一种材料在二维主应力空间中进行试验

11、，所得屈服时的应力状态为(1，2)=(3t，t)，假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。 （1）由上述条件推断在12空间中的各屈服点应力。 （2）证明Mises屈服条件在12空间中的曲线通过（a）中所有点。解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：(1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t)(1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t)再由于各向同性的条件，很容易看出11空间中的以下五个应力点也是屈服点A2： (1，2，3) = (t，3t，0)B1： (1，2，3) = (3t，2t，0)B2： (

12、1，2，3) = (2t，3t，0)C1： (1，2，3) = (2t，t，0)C2： (1，2，3) = (t，2t，0)还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到12空间中的另外六个应力屈服点A3：(1，2，3) = (3t，t，0)A4：(1，2，3) = (t，3t，0)B3：(1，2，3) = (3t，2t，0)B4：(1，2，3) = (2t，3t，0)C3：(1，2，3) = (2t，t，0)C4：(1，2，3) = (t，2t，0)因此，根据这些点的数据，可以作出在12空间中的屈服面。容易证明Mises屈服条件 通过以上所有屈服点。222122217t21212C1C2A3A4B3B4C3C4A1Lode实验1926年，Lode进行了薄壁圆筒受拉力T和内水压p共同作用的实验。取圆筒的平均半径为R，厚度为t，Tpz任一点的应力状态是= z = r=0 tpRRtTp2Lode参数为 pRpRT22313122pp改变T与p的比值关系，可以得到不同的。例如 当T=0，= 1；T=pR2p，=0；T=2pR2p，=1。 当 0T2pR2p时，1 1 s31=1 Tresca屈服条件为 23122311)(23)(123233xyxrJ23132s Mises屈服条件为 建立以（13