第2讲共顶点模型原卷版

1、中考数学几何模型2：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形*常见结论：连接bd、ae交于点f，连接cf，则有以下结论：（1）（2）（3）（4）典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 以点a为顶点作等腰rtabc，等腰rtade，其中bac=dae=90，如图1所示

2、放置，使得一直角边重合，连接bd、ce（1）试判断bd、ce的数量关系，并说明理由；（2）延长bd交ce于点f试求bfc的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由变式练习1. 已知：如图，abc和dce都是等腰直角三角形，acb=dce=90（1）求证：bd=ae（2）若abd=dae，ab=8，ad=6，求四边形abed的面积例题2. 如图，等边abc，等边ade，等边dbf分别有公共顶点a，d，且ade，dbf都在adb内，求证：cd与ef互相平分. 变式练习2. 已如图，已知等边三角形abc，在ab上取点d，在ac上取点e，使得ad=ae

3、，作等边三角形pcd，qae和rab，求证：p、q、r是等边三角形的三个顶点例题3. 在等边abc与等边dce中，b，c，e三点共线，连接bd，ae交于点f，连接cf.(1)如图1，求证：bf=af+fc，ef=df+fc；(2)如图2，若abc，dce为等腰直角三角形，acb=dce=90，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图已知锐角abc，分别以ab、ac为腰，在abc的外部作等腰rtabd和rtace，连接cd、be，试猜想cd、be的大小关系 ；（不必证明）【深入探究】（2）如图abc、ade都是等腰直角三角形，点d在边bc上（不与b、

4、c重合），连接ec，则线段bc，dc，ec之间满足的等量关系式为 ；（不必证明）线段ad2，bd2，cd2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图，在四边形abcd中，abc=acb=adc=45若bd=9，cd=3，求ad的长例题5. 如图1，在abc中，bc=4，以线段ab为边作abd，使得ad=bd，连接dc，再以dc为边作cde，使得dc=de，cde=adb=（1）如图2，当abc=45且=90时，用等式表示线段ad，de之间的数量关系；（2）将线段cb沿着射线ce的方向平移，得到线段ef，连接bf，af若=90，依题意补全图3，求线段af的长；请直接写出线段af的

5、长（用含的式子表示）达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在等边abc与等边dce中，b，c，e三点共线，bd交ac于点g，ae交dc于点h，连接gh. 求证：ghbe. 2. 如图，在正方形abcd内取一点e，连接ae，be，在abe外分别以ae，be为边作正方形aemn和ebfg，连接nc，af，求证：ncaf.3. 如图，在等腰rtabc与等腰rtdce中，abc=dce=90，连接ad，be，求证：ab2+de2=ad2+be2.4. 如图，在abc中，ab=ac=10，bac=45，以bc为腰在abc外部作等腰rtbcd，bcd=90，连接ad，求ad的长.5. 【发现问题】如图1

6、，已知abc，以点a为直角顶点、ab为腰向abc外作等腰直角abe请你以a为直角顶点、ac为腰，向abc外作等腰直角acd（不写作法，保留作图痕迹）连接bd、ce那bd与ce的数量关系是 【拓展探究】如图2，已知abc，以ab、ac为边向外作正方形aefb和正方形acgd，连接bd、ce，试判断bd与ce之间的数量关系，并说明理由【解决问题】如图3，有一个四边形场地abcd，adc=60，bc=15，ab=8，ad=cd，求bd的最大值6. 已知线段ab直线l于点b，点d在直线l上，分别以ab、ad为边作等边三角形abc和等边三角形ade，直线ce交直线l于点f（1）当点f在线段bd上时，如图，求证：df=cecf；（2）当点f在线段bd的延