上篇-2复变函数的积分

1、1第二章 复变函数的积分o讲授内容讲授内容：复变函数的积分；柯西定理；柯西复变函数的积分；柯西定理；柯西公式。公式。o基本要求基本要求：了解复变函数积分的基本性质；熟了解复变函数积分的基本性质；熟练掌握柯西定理和柯西公式。练掌握柯西定理和柯西公式。22.1 复变函数的积分复变函数的积分一、定义：一、定义：设在复数平面的某分段光滑曲线设在复数平面的某分段光滑曲线l上定义上定义了连续函数了连续函数f(z)，在，在l上取一系列分点上取一系列分点z0（起点（起点A），），z1 ， z2， zn（终点（终点B），），把把l分成分成n个小段，在每个小段个小段，在每个小段zk-1,zk上任上任取一点取一点

2、k，作和，作和A xyo Bz0znlz1zk-1zkk111()()()nkkkknkkkfzzfz max|lim()()knkkk 1nk 1z0fzz 取取极极限限31 1max|0( )lim()()knkkklnkzf z dzfzz 即即：若极限存在且值与若极限存在且值与 k的选取无关的选取无关, 则这个和的极限则这个和的极限称为函数称为函数f(z) 沿曲线沿曲线l从从A到到B的的路积分路积分，记为，记为( )lf z dz 分量形式：分量形式： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy( )()()lllf z dzudxvdyiudyvdx 参数形式：曲线参数形

3、式：曲线l 的参数方程的参数方程 x=x(t), y=y(t), 起始起始点点A 和结束点和结束点 BtA, tB( )BBAAttlttdxdydydxf z dzuvdtiuvdtdtdtdtdt 4二、性质二、性质n常数常数因子因子可以移到积分号之外可以移到积分号之外n函数和的积分等于各函数积分的和函数和的积分等于各函数积分的和n反转积分路径，积分值变号反转积分路径，积分值变号 ( )d( )dllcf zzcf zz ( )( ).( )( )( ).( )12nl12nlllfzfzfz dzfz dzfz dzfz dz ( )( )llf z dzf z dz 5n全路径上的积分

4、等于各分段上的积分的和全路径上的积分等于各分段上的积分的和 即：即： 如果如果 l=l1+l2+lnn积分不等式积分不等式1：n积分不等式积分不等式2： 其中其中 M 是是 |f(z)| 在在 l 上的最大值，上的最大值，L 是是 l 的全长。的全长。( )( )( ).( )12nllllf z dzf z dzf z dzf z dz( )d( ) dllf zzf zz ( )lf z dzML 6例例1：计算积分：计算积分Re d , Re d1212llIz zIz z11100Ixdxidy1120001 2Iidyxdx 复变函数的积分不仅与复变函数的积分不仅与起点和终点有关，同

5、时起点和终点有关，同时还与路径有关。还与路径有关。oxyl1l1l2l211+i1解：解：Re d =()z zx dxidy 1=2i 7解：解：2 d , Cz zCz2 例例 ：计计算算其其中中为为：圆圆周周。积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为2(02)ize d2dizie dCz z 2022diieie 204(cos2sin2 )dii 0 2积分值与积分路线圆周积分值与积分路线圆周的半径无关。的半径无关。取取C为圆周为圆周|z|=3，结果？结果？8解：解：03 d () n 1C01zCzrzzn 例例 ：求求， 为为以以为为中中心心， 为为半半径径的的正正向向圆圆周周，

6、 为为整整数数。zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为0(02)izzre 101d()nCzzz 21(1)0dini nirere 20dinnier 9zxyor0z 2200 0 ddinnnieir 当当时时：2 i 20 0 dinnnier 当当时时：20(cossin)dnininr 0 010201 d()00nz zrinzzzn 20dinnier 积分值与积分路线圆周积分值与积分路线圆周的中心和半径无关。的中心和半径无关。102.2 柯西定理柯西定理一、单连通区域情形一、单连通区域情形n单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理：如果函数：如果函数f(z)在

7、闭单连通在闭单连通区域区域 上上解析解析， 则沿则沿 上任一分段光滑闭合曲上任一分段光滑闭合曲线线l（可以是边界），（可以是边界），函数函数的积分均为零。的积分均为零。BB( )lf z dz0 xycBlo11证明：证明：( )()()lllf z dzudxvdyivdxudy B因因 f(z)在在 上解析，因而上解析，因而 在在 上连续。上连续。,uuvvxyxy B对实部虚部分别应用格林公式对实部虚部分别应用格林公式ddd dlsQPP xQ yx yxy ( )dd dd dlssvuuvf zzx yix yxyxy 将回路积分化成面积分将回路积分化成面积分因为因为u、v 满足满足

8、C-R条件条件 , uvuvxyyx ( )lf z dz0 12推论：推论：在单连通区域中解析的函数在单连通区域中解析的函数f(z)的积分值只依的积分值只依赖于起点和终点，而与积分线路无关。赖于起点和终点，而与积分线路无关。 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf证明：已知证明：已知其中其中C2-表示表示C2 的反方向。的反方向。12( )0CCf z dz 1212( )( )( )CCCCf z dzf z dzf z dz 单连通区域内，只要单连通区域内，只要起点和终点固定不变，起点和终点固定不变，当积分路径连续变形当积分路径连续变形时，函数的路积分值时，函数的路积分值

9、不变。不变。最后可得：最后可得：12( )( )CCf z dzf z dz 由积分的基本性质可得：由积分的基本性质可得：B 0z1z 1C2C13解：解：11 d23zzz 例例4 4：计计算算积积分分。 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西定理根据柯西定理, 有有11d023zzz 14 xy l1l2l3l0Bo区域边界线的正方向区域边界线的正方向 当观当观察者沿着这个方向前进时，察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。区域总是在观察者的左边。二、复连通区域情形二、复连通区域情形n复连通区域：复连通区域：如果区域内存在如果区域内存在(1)奇点奇点 ；(2)不连续

10、线段不连续线段 ；(3)无定义区无定义区 ,为了把这些奇异为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的部分排除在外，需要作适当的围道围道 l1、l2、 l3 把它们分隔出把它们分隔出去，形成带孔的区域去，形成带孔的区域n复连通区域柯西定理：复连通区域柯西定理：1( )d( )d0inllif zzf zz 如果如果 f(z) 是闭复连通区域上的单值解析函数，则是闭复连通区域上的单值解析函数，则其中：其中：l 为外边界线，为外边界线， li为内边界线，积分沿为内边界线，积分沿边界线的正方向。边界线的正方向。1( )d( )d0inllif zzf zz 15证：作割线连接内外边界线证：作割线连接内外

11、边界线 12( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d0lABlB ACDlD Cf zzf zzf zzf zzf zzf zzf zz ( )( )llf z dzf z dz 12( )d( )d( )d0lllf zzf zzf zz 逆时针逆时针顺时针顺时针1( )d( )d0inllif zzf zz 即即：161( )d =-( )dinllif zzf zz 1( )d( )dinllif zzf zz 即即闭复连通区域上的单值解析函数沿闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分的和。所有内

12、境界线逆时针方向积分的和。引申：引申：1( )d( )d0inllif zzf zz 17解：解：2215 d , 1 zzzzz 例例 ：计计算算积积分分为为包包含含圆圆周周在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭曲曲线线。 221 0 1,zzzzz 函函数数在在复复平平面面内内有有两两个个奇奇点点和和0 1xy 依依题题意意知知，包包含含这这两两个个奇奇点点 ,12CC 在在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的正正向向圆圆周周和和1 0Cz 只只包包含含奇奇点点2 1Cz 只只包包含含奇奇点点1C2C18根据复连通区域柯西定理有：根据复连通区域柯西定理有： zzzzd

13、122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii4 i 利用例利用例3结果结果xy0 1 1C2C19练习：练习：11 d , , () nzazan 1 1、求求为为含含的的任任意意简简单单闭闭路路为为整整数数。结论：结论： 不必是圆，不必是圆，a也不必是圆的圆心，只要也不必是圆的圆心，只要a在在简单闭曲线简单闭曲线 内即可。内即可。1201 d()00ninzzan 202.4 柯西公式柯西公式一、单连通区域情形一、单连通区域情形 若若 f(z) 在闭单连通区域在闭单连通区域 上单值解析，上单值解析，l 为为 的边的边界线

14、，界线， 为为 内的任一点，则有柯西公式：内的任一点，则有柯西公式：BBB1( )( )d2 ilf zfzz 证明：证明：1( )( ) ()2llffdzSiz 20()llliSSdzz 21( )( )( )( )ddlcf zff zfzzzz 因被积函数一般以因被积函数一般以 为奇点，作回路为奇点，作回路对右端的值作一估计对右端的值作一估计lc 1( )( )d02 ilf zfzz 从而仅需证明从而仅需证明( )lim ( )( ) 0f zf zf根根据据的的连连续续性性有有：max( )( )( )( )d2Cf zff zfzz ( )( )limd C0f zfz0z=0

15、221( )( )d02 ilf zfzz ( )( )( )( )dd =0lcf zff zfzzzz 即即1( )( )d2 ilf zfzz 即即：lc 特例：如果特例：如果l是以是以 为圆心的为圆心的圆周，圆周，z= +rei 201( )1( )d()2 i2ilf zfzfredz 这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。圆周的平均值。231( )( )d2 ilf zfzz 考虑到考虑到 是解析区域内任是解析区域内任意一点，将意一点，将 改为改为z z，积分，积分变数用变数用 表示表示1( )( )d2 ilff zz

16、24二、复连通区域情形二、复连通区域情形Bl1l2l z 对对复连通区域复连通区域只要将只要将l 理解成所理解成所有边界线，且方向均取正向，上式仍有边界线，且方向均取正向，上式仍成立。成立。三、无界区域的情形三、无界区域的情形1( )( )d2 iff zz 如果当如果当 |z| 时，时，f(z) 0 （一致一致），）， 则：则：l与与l反方向反方向 zl设设f(z)在闭回路在闭回路l的的外部外部解析，以解析，以z=0为圆心，充分大为圆心，充分大的的R为半径，作圆为半径，作圆CR，l 在在CR内，有：内，有：1( )1( )( )dd2 i2 iRlCfff zzz25关于柯西公式的说明：关于

17、柯西公式的说明：1.内点的值可用边界线的积分表示；内点的值可用边界线的积分表示；2.公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表而且给出了解析函数的一个积分表达式；达式；3.一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。平均值。262 d1zzezz 例例6 6：计计算算积积分分。 解：解： ( ) zf ze 因因为为在在复复平平面面内内解解析析， , 2 1内内位于位于 zz由单连通区域柯西公式有：由单连通区域柯西公式有：122d1 zzzzeizze2e i

18、 27解：解：2215 d , 1 zzzzz 课课堂堂练练习习：重重解解例例 ：利利用用柯柯西西公公式式计计算算积积分分为为包包含含圆圆周周在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭曲曲线线。 221 0 1,zzzzz 函函数数在在复复平平面面内内有有两两个个奇奇点点和和xy0 1 依依题题意意知知，包包含含这这两两个个奇奇点点 ,12CC 在在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的正正向向圆圆周周和和1 0Cz 只只包包含含奇奇点点2 1Cz 只只包包含含奇奇点点1C2C28根据复连通区域柯西定理有：根据复连通区域柯西定理有： zzzzd122 21d12d1222CCz

19、zzzzzzz 21d112d112CCzzzzzzzz101221122 zzzzizzi 4 i 利用柯利用柯西公式西公式xy0 1 1C2C29四、四、重要推论重要推论高阶导数公式高阶导数公式( )1!( )( )d2 i()nnlnffzz 21!( )( )d2 i()lffzz 两边对两边对z求导：求导：两端反复在积分号下求导即得高阶导数公式。两端反复在积分号下求导即得高阶导数公式。1( )( )2lff zdiz 一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示，它的值也可以用函数在边界上的值通过

20、积分来表示，这一点和实变函数完全不同。这一点和实变函数完全不同。证：证：3000( )1(0)120CfzIdzfiz C z=0 z=1312(1)zCeIdzizz 例例7：计算积分：计算积分I, 其中其中C为不经过点为不经过点0和和1的正向的正向曲线。曲线。解：分四种情况考虑解：分四种情况考虑被积函数解析，因此，由柯西定理得被积函数解析，因此，由柯西定理得 I=0; ( )()z03efz1z 函数函数 在在C上及上及C包围包围的区域解析，由柯西的区域解析，由柯西公式公式： (1) 如果如果0和和1都不在都不在C中中(2) 若仅若仅0在在C内内31(3)若仅若仅1在在C内内(4) 若若0和和1都在都在C内内( )z1efzz 13( )12(1)Cf zIdziz C z=1 z=0 z=0 z=1C1C0( )!1z 11fz2 由柯西定理由柯西定理( )=( )+( )01CCCf z dzf z dzf z dz111( )=( )( )22201CCCIf z dzf z dzf z dziii( )=()z3ef zz 1z 其其中中：2e 32=12eI 因因f0(z)在在C0上及上及C0包围的圆内解析，同样包围的圆内解析，同样f1(z)在在C1上上及及