高中数学必修平面向量向量在平面几何解题中应用人教APPT学习教案

1、会计学1高中数学必修平面向量向量在平面几何高中数学必修平面向量向量在平面几何解题中应用人教解题中应用人教A一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件:ab 与 共线 0,bRba（2）向量垂直的充要条件：0, 00bababa（3）两向量相等充要条件：,baba且方向相同。11221 22 1( , )( ,) /0ax y bx y a bxyx y ，11221 21 2( , )( ,)0ax y bx y abxxy y ，11221212( , )( ,),ax y bx y a bxx yy ，（4）平面向量基本定理1212aeee e ，其中 ， 不共线。 ， 为唯一确定的常数

2、第1页/共13页二、应用向量知识证明平面几何有关定理例1、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？ 解：设AO=a， OC=bACab 则， 由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)? CBab CB第2页/共13页二、应用向量知识证明平面几何有关定理例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaA

3、B ,解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB第3页/共13页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例3、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设aBCbCApCH利用ADBC，BECA，对应向量垂直。00)(apab

4、apbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0BACH 只须证明0p BA 如何证？第4页/共13页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例3、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点ABCDEH解：设AD与BE交于H，aBCbCApCH00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。第5页/共13页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例4、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP

5、=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP解：设bACaAB,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA /第6页/共13页四、应用向量知识证明等式、求值例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积ABCDMNEF分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2) (8,4)AM AEANEN=

6、(4,2)-(e,0)=(4-e,2)(8,4) (4,2)0AMENe 解得：e=5故AEM的面积为10第7页/共13页四、应用向量知识证明等式、求值例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) )4 , 8( AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)0)2 ,4()4 , 8(eENAM解得：e=5 即AE=51102AEMSAEBM第8页/共13页四、

7、应用向量知识证明等式、求值练习：PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：311nm分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO, O分 的比为 ，O分 的比为PAQB由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。),()0 ,(221yxQxPGQPG /-m -n? ?第9页/共13页四、应用向量知识证明等式、求值练习：PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：311nmOABGPQ证：如图建立坐标系， 设),(),0 ,(),()0 ,(221cbBaAyxQxP所以重心G的坐标为)3,3(cba 由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分 的比为-m，O分 的比为-n PAQB求得),()0 ,(ncnbQmaP由向量 可得：GQPG /)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmab