理学21数列极限PPT学习教案

1、会计学1理学理学21数列极限数列极限一、数列的极限一、数列的极限1 1、割圆术：、割圆术：利用圆利用圆内接正多边形内接正多边形来推算圆的来推算圆的面积面积“割之弥细，所失弥少，割之割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入概念的引入播放播放第1页/共57页正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAASR第2页/共57页2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”11;2X 第第一一天天剩

2、剩下下的的杖杖长长为为221;2X 第第二二天天剩剩下下的的杖杖长长为为1;2nnnX 第第 天天剩剩下下的的杖杖长长为为12nnX 0出自出自庄子庄子 天下篇天下篇第3页/共57页(1) 数数列列概概念念一一串串数数按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一列列，叫叫做做一一个个数数列列。一一般般地地，一一个个数数列列排排成成如如下下形形式式的的一一串串数数123,.nxxxx nnnxx每每一一个个数数称称为为数数列列的的。第第项项称称为为，通通项项数数列列简简记记为为项项。一、数列的极限一、数列的极限无穷个无穷个第4页/共57页xn0242nx1x2 x 例例( ) , , , , , n

3、12 4 82: . nnx 2通项通项以下都是数列，说出其通项和变化趋势：以下都是数列，说出其通项和变化趋势： ,(1) 2nn由由图图可可知知 当当 无无限限增增大大时时 数数列列 的的点点无无限限增增大大, ,即即数数列列无无限限增增大大; ; 2n第5页/共57页( ) , , , , , n111122482: .nnx 12通项通项102, , ,nnx 由由图图可可知知 当当 无无限限增增大大时时 数数列列( (2 2) )的的点点逐逐渐渐密密集集在在的的右右侧侧 即即数数列列无无限限接接近近于于0 0; ;12nxnx2x1n21x0 x3181412第6页/共57页011nx

4、212nxx1311 111( ) , , , , , (),n 11: ().nnx 通通项项11, .nn 由由图图可可知知 当当 为为奇奇数数时时，数数列列(3)(3)始始终终为为 当当 为为偶偶数数时时，数数列列(3)(3)始始终终为为 11()n 第7页/共57页xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0()( ) , , , , , , , ,11114010023nn 11nnxn () .通项：通项：0110, , () ,nnnxn 由由图图可可知知 当当 为为奇奇数数时时，数数列列(4)(4)为为始始终终为为当当 是是偶偶数数时时，数数列列(4)(4)的的点点逐逐渐

5、渐密密集集在在的的右右侧侧 即即数数列列无无限限接接近近于于0;0;11()nn 第8页/共57页1xnx3x2x1x02132431nn12352341nn ( ) , , , , , 1nnxn : .通项通项51,( ) nnxn 由由图图可可知知 当当 无无限限增增大大时时 表表示示数数列列的的点点逐逐渐渐密密集集+ +1 1在在的的右右侧侧, ,即即数数列列无无限限接接近近1 1; ;1nn 第9页/共57页( ) , , , , , n12 4 822n 无无限限接接近近; ;( ) , , , , , n11112248212n无无限限接接近近于于0;0;( ) , , , ,

6、, (),n 131111111,.nn 为为奇奇数数，始始终终为为 为为偶偶数数，始始终终为为()( ) , , , , , , , ,nn 1111401002311()nn 无无限限接接近近于于0;0;( ),nn1235 2341nn 无无限限+ +1 1接接近近1 1; ;总结一下以上数列的变化趋势：总结一下以上数列的变化趋势： ()11n 第10页/共57页122 ,nnxxxx、数数列列对对应应着着数数轴轴上上的的一一个个点点列列，可可以以看看作作 一一动动点点在在数数轴轴上上依依次次取取。1、数数列列是是正正整整数数的的函函数数nxf nnZ ( )()观察上述数列会发现观察上

7、述数列会发现3 n、随随着着 的的无无限限增增大大，数数列列的的变变化化趋趋势势可可大大致致分分为为： 一一类类， 另另一一类类，两两类类无无限限接接近近某某个个常常数数不不趋趋近近某某个个常常数数。 n当当的的无无限限增增大大时时，数数列列无无限限接接近近于于某某一一确确定定的的 数数值值，如如果果是是，如如问问题题 否否 是是何何描描述述之之？第11页/共57页, lim nnnnnnnnxxxaaaxaxa nxn 当当 无无限限增增大大时时 数数列列的的通通项项无无限限趋趋于于一一个个确确定定的的, ,则则称称数数列列，或或称称为为数数列列常常数数收收敛敛于于极极限限 或或 当当时时的

8、的，记记作作 ( ( 时时) ),nax如如不不存存在在这这样样的的常常数数则则称称数数列列发发散散不不收收，或或敛敛，也也可可limnnx以以说说极极限限不不存存在在。数列极限的定义：数列极限的定义：第12页/共57页( ) , , , , , n12 4 82n2 无无限限增增大大; ;( ) , , , , , n11112248212n数列无限接近于0;数列无限接近于0;( ) , , , , , (),n 131111111nn , .为奇数,始终为为偶数,始终为为奇数,始终为为偶数,始终为()( ) , , , , , , , ,nn 1111401002311nn ()数列无限接

9、近于0;数列无限接近于0;( ),nn1235 2341nn + +1 1数数列列无无限限接接近近1 1; ;求以下数列的极限：求以下数列的极限：lim2nn 记记为为 limnn2 不存在，不存在，nn 1lim02n nlim( 1)没有明确的趋势，即不存在没有明确的趋势，即不存在11nn n()lim=0=0nn nlim+ +1 1= =1 1 例例第13页/共57页,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,100011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,1000011

10、nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 . 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 第14页/共57页,0若若,0N时时, ,使当使当 Nn |axn记为记为lim, nnxa 或或. )( naxn , ,时的极限当为数列则称数成立nxan数列极限严格的数学定义：数列极限严格的数学定义： N语言语言0,N 几几何何意意义义：使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项,321 NNNxxx都落在都落在a 点的点的邻域邻域内内),( aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的因而在这个邻域之外至多能有数列中的有

11、限个有限个点点第15页/共57页1 Nxx a aa 22 Nx1x2x3x这就表明数列这就表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种呈现出一种稳定稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的称谓的“收敛收敛”。注意：注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.0,N 几几何何意意义义：使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项,321 NNNxxx都落在都落在a 点的点的 邻域邻域内内),( aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个有限个点点第16页/

12、共57页观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限2111(1) 2 1( 1) nnxxxxnnnnnn; (2) (3) (4)=-3 -3-3-3-302-114321n1(1) nxn212 xnn(2)11 ( 1) nxnn(3) xn(4)=-312124112131291131412161140213 四四个个数数列列的的变变化化的的趋趋势势 例例第17页/共57页由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：211(1) limlim0; limlim 22;1(3) limlim 1( 1

13、)1; limlim( 3)3.nnnnnnnnnnnnnxxnnxxn (2) (4)通过以上例题，可以推得以下结论通过以上例题，可以推得以下结论：1(1) lim0,(0);nan(2) lim0,(1);nnqq(3) lim,().ncc c为常数第18页/共57页 lim limnnnnnnxxayby设设有有数数列列和和, ,且且 = ,= ,= , ,则则(1) limlimlimnnnnnnnxyxyab ()=(2) lim()lim,();nnnncxcxca c为常数(3) lim()lim lim ;nnnnnnnx yxyablim(4) lim,().li0mnnn

14、nnnnbxxayyb可以推广到有限项！二、数列极限的四则运算二、数列极限的四则运算无限项？ 不能不能!第19页/共57页lim5,lim2, lim3; lim; lim 3;22已已知知求求: :( (1 1) ) ( (2 2) ) ( (3 3) )nnnnnnnnnnnxyyyxx解解(1) lim3nnx(2) lim2nny(3) lim 32nnnyx 例例3limnnx15;lim2nny1;lim3lim2nnnnyx14.第20页/共57页求下列各极限求下列各极限. .2221331(1) lim1; lim.2nnnnnnn (2)解解13(1)lim12 nnn2li

15、m( 1)limlimnnnnn1321 03lim nn1=-1;2231(2) lim2nnnn=22113lim21nnnn2211lim3limlim2lim1 limnnnnnnnn 例例3001 03.2n分子分母同除第21页/共57页:求求下下列列数数列列的的极极限限110110(2) lim,(0,1, ;kkkkijllnlla nanak la b ikb nbnb 其其中中为为正正整整数数0,1, ),0,0.kljlab都都是是常常数数 且且111(3) lim();1 22 3(1)nn n 例例111(4) lim(1).242nn23253(1)lim;25nnn

16、nn 第22页/共57页若数列若数列 xn 收敛收敛, 则其极限值必唯一则其极限值必唯一.lim,lim,nnnnnxxaxb 即即若若数数列列收收敛敛，且且和和则则 ab 第23页/共57页 P2929性性质质2.12.1课课本本 、2.22.2 lim nnxa nx的任何一个子数列都收敛的任何一个子数列都收敛, 且均以且均以 a 为极限为极限 . 充分必要条件充分必要条件 在数列在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中中, , 保持各保持各项原来的先后次序不变项原来的先后次序不变, ,自左往右任意选取无穷自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列多项所构成的新的数列, ,称为原

17、数列的一个子数称为原数列的一个子数列，记为列，记为 .knx第24页/共57页 例例.) 1(lim 1nn求解解 ,) 1(1nnx. ,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :1nnx取子数列：取子数列： ,) 1( , 1, 1, 1, :1)1(212nnx ,) 1( , 1, 1, 1, :122nnx , 1) 1(limlim , 11limlim 212nnnnnnxx而 . ) 1(lim 1不存在故nn唯一性定理的推论往往用来唯一性定理的推论往往用来证明证明或或判断判断数列极数列极限限不存在不存在发散的数列也可能有收敛的子列发散的数列也可能有收敛的子列第25页/共

18、57页 例例 . 8sin 的敛散性判别nxn解解利用函数的周期性, 在 xn 中取两个子数列: ,sin , ,2sin ,sin :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8sin kkn . 11lim)22sin(lim nnk此时 . )( 8sin :即极限不存在是发散的故由推论可知n第26页/共57页 若数列若数列 xn 收敛收敛, 则则 xn 必有界必有界. 该定理的逆命题不真该定理的逆命题不真, 即即有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛. 例如例如, (1) n .即即 无界

19、数列的极限不存在无界数列的极限不存在 .无界数列必发散无界数列必发散. .第27页/共57页 例例 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn无极限发散无界,无极限发散无界,发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n .第28页/共57页 收敛的数列必有界收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界发散的数列不一定无界.1: () . nnx 反反例例第29页/共57页 lim, (0), 0,0 nnxaaNa若则若则 , (0 . 0) nnxnNx当时 有当

20、时 有 (0 0 ) ,nnxx 若若 , lim 存在且axnn0 (0) . aa则则这里为严格不等号时这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号此处仍是不严格不等号第30页/共57页00 () ( 0, ) , nnnnxynNNxnNy若或当时若或当时则存在且 , lim ,lim byaxnnnn (limlim) .limlim nnnnnnnnaxybaxyb在极限存在的前提下在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同对不等式两边可以同 时取极限时取极限, 不等号的不等号的方向不变方向不变, 但但严格不等号严格不等号也也 要改为要改为不严格不等号不严格不等号.第31页/共57页1. 夹

21、逼定理夹逼定理( (两边夹定理两边夹定理) )设数列设数列 xn, yn, zn 满足下列关系满足下列关系: :(2),limlimazynnnn则axnnlim(1) yn xn zn , n Z+( (或或从某一项从某一项开始开始) ;四、数列极限收敛准则四、数列极限收敛准则第32页/共57页解解222111lim . 12nnnnn求求22211112nnnn 2 lim1 , nnnn 而而2lim11nnn 由于由由夹夹逼逼定定理理 例例想得通吧？想得通吧？21nn 2 nnn 222111 lim 112nnnnn22211112,nnnnn 显显然然时时 各各项项, , ,极极限

22、限都都为为0 0, ,但但却却不不是是个个项项的的和和, ,不不能能使使用用有有限限运运算算法法则则! !第33页/共57页解解. ,! lim Znnnnn求 !1 2 31 0 nnnnnn n nnn 由由于于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故 例例1, n第34页/共57页22212lim.nnnnn 求求解解22212,nnnnn 显显然然时时 各各项项, , ,极极限限都都为为0 0, ,但但却却不不是是有有限限个个项项的的和和, ,不不能能使使用用运运算算法法则则. .2(1)122n nnnn22212lim

23、nnnnn所所以以 例例1lim2nnn1211lim22nn2222121 2 3nnnnnn 第35页/共57页 单调减少单调减少有有下界下界的数列必有极限的数列必有极限 . 单调增加单调增加有有上界上界的数列必有极限的数列必有极限 .单调有界的数列必有极限单调有界的数列必有极限.12 , nnxxxx若若满满足足则则称称 , . nnxx 单单调调增增加加记记为为12 , nnxxxx若若满满足足则则称称 , . nnxx 单单调调减减少少记记为为第36页/共57页11(1, 2,),nnxnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在 .证证: 利用利用牛顿二项式牛顿二项式公式公式 , 有有

24、nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n 例例第37页/共57页11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又又比较可知比较可知 .nx即即是是单单调调增增加加的的每个括号小于 1 .第38

25、页/共57页nx通常将它记为通常将它记为 e, ,即即ennn)1 (lim1e 称为欧拉常数称为欧拉常数, , 其值为其值为590457182818284. 2e有极限有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n 放大不等式 等比数列求和 . 有界从而nx .ln : , , xye记为称为自然对数为底的对数以第39页/共57页2, 22, 222 ,证证明明数数列列的的极极限限存存在在。 例例11 2 (,)nnnxxxn 显显然然是是单单调调增增加加的的，即即 0 0解解12x ，21222,xx12nnxx 2nx22 nnx

26、x得得220nnxx12nx 22nx根据准则根据准则 2 2 可知数列可知数列有极限，有极限， 12lim,nnnnxaxx 设设则则由由得得122limlimnnnnaxxa 21aa 或或（舍舍）第40页/共57页假假设设limlimnnnnab 则则。11nnnnaabbn(1)(1)对对一一切切 成成立立；lim()0,nnnba(2)(2) 例例解解11nnnnaabb1na 1nb 1a 1b nnaa数数列列单单调调增增加加，且且有有界界有有极极限限 nnbb数数列列单单调调减减少少，且且有有界界有有极极限限lim()limlim0nnnnnnnbaba则则 limlimnnn

27、nab 因因此此 第41页/共57页数数列列极极限限的的概概念念数数列列极极限限的的四四则则运运算算“不不等等式式放放大大法法”内容小结内容小结数数列列极极限限的的性性质质数数列列极极限限的的收收敛敛准准则则。唯唯一一性性（子子数数列列）；有有界界性性；保保号号性性夹夹逼逼定定理理；单单调调增增加加( (减减少少) )有有上上( (下下) )界界必必有有极极限限第42页/共57页 欧拉一身经历坎坷。他于欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士年生于瑞士巴塞尔，巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他年后却永远离开了祖国。在他76年年的生命历程中，还有的生命历程中，还有25年住在德国柏林（年住在德

28、国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。年），其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉欧拉31岁时右眼失明，岁时右眼失明，59岁时双目失明。岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与年），与他共同生活他共同生活40年的结发之妻先他年的结发之妻先他10年去世。年去世。 欧拉声誉显赫。欧拉声誉显赫。1212次获巴黎科学院大奖（次获巴黎科学院大奖（1738173817721772年）年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。数学会、巴黎科学院等

29、科学团体的成员。第43页/共57页 欧拉成就卓著。生前就出版了欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书年间，还口述了几本书和约和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧，欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研岁开始就一直从事数学研究工作。究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理