理学微积分E无穷小与无穷大PPT学习教案

1、会计学1理学微积分理学微积分E无穷小与无穷大无穷小与无穷大,时时当当 n.)1(是无穷小是无穷小数列数列nn ,1时时当当 x.穷小穷小皆非无皆非无如如,是是函数函数xsin,0时时当当 x;无穷小无穷小,2时时当当 x是是函函数数2 x;无穷小无穷小在某个变化过程中，极限为零的在某个变化过程中，极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量，简称简称无穷小无穷小. .无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.在某个过程中在某个过程中2.3.1 2.3.1 无穷小无穷小第1页/共27页定义定义),(0 不论它多么小不论它多么小 0 使得当使得当 |00 xx恒有恒有 | )(|xf),0(

2、 X或或),|(Xx 或或,)(0是无穷小时当则称xxxf0)(lim0 xfxx记作记作1) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆;2) 零是可以作为无穷小的唯一的常数零是可以作为无穷小的唯一的常数.注注 “无穷小量无穷小量”并不表达量的大小并不表达量的大小,而是表达而是表达量的变化状态的量的变化状态的.)(x或).0)(lim( xfx或或第2页/共27页证证, 0 在同一过程中在同一过程中, 有限有限个无穷小的代数和个无穷小的代数和性质性质仍是无穷小仍是无穷小. .,|1时时当当Xx ,|2时时当当Xx ,max21XXX ,|时时当当Xx | 22 ,

3、 )(0 x , 01 X;2| .2| | 取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有是是及及设设 的两个无穷小的两个无穷小, ,时时当当 x, 02 X2.3.2 2.3.2 无穷小的运算性质无穷小的运算性质无穷多个无穷多个无穷小的代数和无穷小的代数和未必是未必是无穷小无穷小. .第3页/共27页证证,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx , 0 性质性质局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .,),(10内有界内有界在在设函数设函数 xUu, 0M则,|010时时使得当使得当 xx.|Mu 恒有恒有, 02 ,|020时时使得当使得当 xx.|M 恒恒有有,mi

4、n21 取取| uuMM , 则当则当,|00时时 xx恒有恒有.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx第4页/共27页 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的乘积也是无穷小.,0,时时当当如如x都是无穷小都是无穷小.推论推论1 1的乘积是无穷小的乘积是无穷小;推论推论2 2推论推论3 3,1sinxxxx1arctan2无穷个无穷个无穷小的乘积无穷小的乘积未必是未必是无穷小无穷小.第5页/共27页 个个数数列列如如下下：设设乘乘积积未未必必是是无无穷穷小小。例例：无无

5、穷穷多多个个无无穷穷小小的的,21,11, 1, 1, 1:,21,11,1,61,51,4, 1, 1, 1:,21,11,1,61,51,41,3, 1, 1:,21,11,1,61,51,41,31, 2, 1:,21,11,1,61,51,41,31,21, 1:1)(3)4(2)3()2()1( nnnxnnnxnnnxnnnxnnnxnnnnnnnn第6页/共27页绝对值无限增大的绝对值无限增大的变量变量称为称为无穷大无穷大. .如如,1x函数函数,0时时当当 x是无穷大是无穷大;xcot,时时当当 x,2x函数函数3x是无穷大是无穷大.2.3.3 2.3.3 无穷大无穷大.)(l

6、imxf.)(lim0认为极限存在切勿将xfxx第7页/共27页定义定义0 使得当使得当 |00 xx恒有恒有Mxf | )(|),0( X或或),|(Xx 或或,)(0时的无穷大时的无穷大当当则称则称xxxf )(lim0 xfxx记作记作).)(lim( xfx或或),(0 不论它多么大不论它多么大 M)( x或或无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数第8页/共27页 11lim1xx证明证明11 xy1 证证, 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,10时时当当 x.11Mx 有有.11lim1 xx,)(lim0 xfxx如果如果例例)(0 xfyxx 是函数是

7、函数则直线则直线的图形的的图形的垂直渐近线垂直渐近线(vertical asymptote).xyO1 第9页/共27页,)(limCxfx 如如果果Cy 的图形的的图形的水平水平渐近线渐近线(horizontal asymptote).则直线则直线)(xfy 是函数是函数xy1第10页/共27页特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正无穷大正无穷大,负无穷大负无穷大)(lim()(0 xfxxx或或xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 xy1第11页/共27页 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;证证 )(lim0 xfxx设设, 0 .)

8、(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 定理定理恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. ., 0 ,00时时 xx,1)( Mxf有有,1 M此时对此时对使得当使得当2.3.4 2.3.4 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系第12页/共27页, 0)(lim,0 xfxx设设反之反之, 0 M.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由于由于. 0)( xf且且, 0 ,1)(Mxf 有有关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于,1M 此时对此时

9、对使得当使得当,00时时 xx第13页/共27页证证,)(lim0Axfxx 设设Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 定理定理Axfxx )(lim0.)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx ),()(xAxf , 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 |)(|Axf也即也即 | )(|x定理中过程可以换成 x 2.3.5 2.3.5 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系第14页/共27页),()(xAxf 设设,是常数是常数其中其中A,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当xxx Axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是

10、当是当其中其中xxx ),()(xAxf 于于是是| )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 定理定理1 1第15页/共27页例例可表为可表为函数函数时时13,2 xx 13x 5)63( xAxfxx )(lim0),()(xAxf 第16页/共27页2.3.6 2.3.6 无穷小的比较无穷小的比较xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx,0时时当当 x;0302要快得多要快得多比比xx;00sin快慢相仿快慢相仿与与 xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 观察

11、各极限观察各极限是无穷小是无穷小.,x,2x,sin xxx1sin2不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.第17页/共27页定义定义, 0lim)1( 如如果果 是是比比就就说说);( o 记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;),0(lim)3( CC 如果如果是是与与就说就说 同阶无穷小同阶无穷小;,1,时时当当特特别别 C是是与与则称则称 . 记作记作等价无穷小等价无穷小, ,设设. 0 且且,lim)2( 如果如果低阶的无穷小低阶的无穷小; 是比是比就说就说第18页/共27页如如,

12、时时 n;112 non的的是是nn112高阶无穷小高阶无穷小,时时 x的的是是xx1001同阶无穷小同阶无穷小.Ck lim)4(如如果果的的是是关关于于就就说说 ),0, 0( kC k 阶无穷小阶无穷小.第19页/共27页定理定理证证lim1 ).( o 1( )x ( )x( ).x其中是无穷小).( o 第20页/共27页常用等价无穷小常用等价无穷小,sinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex .ln1axax,arcsinxx时时当当0 x,1)1(xx 221cos1xx 第21页/共27页定理定理，则设)(lim)(limxfxf( (等价替换乘除因子

13、定理等价替换乘除因子定理) )且.)(lim)(limxfxf例例.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0时时当当 x 原式原式,22tanxx,55sinxx xxx52lim0.522.3.7 2.3.7 利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限第22页/共27页例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解,0时时当当 x 原原式式. 8 ,21cos12xx .22tanxx22021)2(limxxx例例xxxx2sinsintanlim30 求求解解 原原式式. 0 ,tanxx,sinxx30)2(limxxxx ,0时时当当 x第23页/共27页解解,0时时当当 x xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 )cos1(tanxx 330)2(21limxxx 加、减项加、减项的无穷小不要用等价无的无穷小不要用等价无穷小代换穷小代换.注注xxxx2sinsintanlim30 求求,tanxx,21cos12xx 第24页/共27页无穷小的概念无穷小的概念无穷小的运算无穷小的运算无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系无穷大的概念无穷大的概念无穷小