换元积分法PPT学习教案

1、会计学1换元积分法换元积分法 dxxxf)()( duuf)()(xu 由繁变简)(xu 如何找如何找由简变繁 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并且是单调的、可导的函数，并且0)( t ，又设，又设)()(ttf 具有原函数，则有换具有原函数，则有换元公式元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其其中中)(tt 是是)(tx 的的反反函函数数.定理2第1页/共30页:)( 的步骤的步骤第二类换元法求第二类换元法求dxxf)(:. 1tx 寻寻求求适适当当的的置置换换函函数数关关键键求积分求积分. 2dtttf )()( )(求积分求积分关于关于t特别提示代代入入所所得得结结果果中中

2、将将)(. 3xt 1、三角代换法三角代换的目的是化掉根式.第2页/共30页例1 求解).0(22 adxxatdtadxcos taxsin 令令 22 t dxxa22dttataacossin222 dttatacos|cos| dtta22cos dtta22cos12 tdtadta2cos2222 tdtadta22cos4222Ctata 2sin4222 1cos22cos2tt第3页/共30页 tdtadta22cos4222Ctata 2sin4222taxsin axtarcsin tax22xa Cttata cossin2222axaarcsin22Caxaaxa 2

3、222axaarcsin22 Cxax 222第4页/共30页练习 求dxx 2111例2 求).0(122 adxax解tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 2,2 t令taxtan Ctt |tansec|ln dttsectax22ax Caaxax 22lnCaxx |ln22第5页/共30页练习 求 dxx 3211例3 求).0(122 adxax第6页/共30页解令taxsec 2, 0 ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt |tansec|lnCaaxax 22lntax22ax .ln2

4、2Caxx 第7页/共30页.)ln(12222Caxxdxax 作代换作代换时时当被积函数含有当被积函数含有,)1(22xa taxtaxcossin 或或作代换作代换时时当被积函数含有当被积函数含有,)2(22xa taxtaxcottan 或或作代换作代换时时当被积函数含有当被积函数含有,)3(22ax taxtaxcscsec 或或总结第8页/共30页练习：求下列积分练习：求下列积分dxxxdxxxdxxdxx 121441394129112222）（）（）（）（第9页/共30页练习： 求解.423dxxx 令txsin2 tdtdxcos2 2,2 tdxxx 234 tdtttco

5、s2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 第10页/共30页2. 无理代换被积函数有简单根式的积分( ,),nR xaxb令ntaxb( ,) ,ax bncx dR x令ax bncx dt( ,) ,nmR xaxbaxb,ptaxb令., 的最小公倍数为nmp被积函数变换第11页/共30页求(1)dxxx1.例4(2).d4 xxx .d33xxxxx (3)第12页/共30页.d11xxxx解: 令1,x

6、tx则,112tx22) 1(d2dtttx原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln221121tdtt 第13页/共30页dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|21|ln1417Cx 例6 求dxxx )2(17令tx1 ,12dttdx 解3、倒代换法当分母的阶较高时, 可采用倒代换.1tx 回代回代第14页/共30页4.其它换元法2100(1)xxdx求.11dxex 例8第15页/共30页解：xet 1令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dt

7、tt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx第16页/共30页1. 第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共30页xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln

8、机动 目录 上页 下页 返回 结束 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 ,d)()6(xafx令xat 第18页/共30页xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共30页一、一、 填空题：填空题：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3

9、 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；练 习 题第20页/共30页7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .第21页/共30页3 3、 221.1tanxxdxx

10、； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .第22页/共30页三、三、 求下列不定积分：求下列不定积分： （第二类换元法）（第二类换元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4 4、

11、dxxaxx2；5 5、设、设 xdxntan, ,求证：求证： 21tan11 nnnIxnI , , 并求并求 xdx5tan. .第23页/共30页练习题答案一一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、- -2 2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 1 10 0、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 23

12、3)1(92； 6 6、Cx )arctan(sin212；第24页/共30页7 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxexexx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2； 1 14 4、Cx 2)tan(ln21. .第25页/共30页三、三、1 1、Cxxx )1ln(arcsin212； 2 2、Cxx 21； 3 3、Cxx )21ln(2； 4 4、)2(22arcsin32xaxaaxa + +Cxaxxa )2(2. .第26页/共30页1、无理代换法例1 求 xdx1)0( , ttx令令解tdtdx2 xdx1 ttdt122tx dttt 11121 2 tdtdtctt 1ln 2cxx 1ln 2第27页/共30页例2 求 )1(3xxdx解tx 6令令6tx dttdx56 )1(3xxdx )1(6235ttdtt )1(622tdttdttt )1(1)1(