平面几何的重要定理PPT学习教案

1、会计学1平面几何的重要定理平面几何的重要定理1 1、梅涅劳斯、梅涅劳斯(Menelauss)(Menelauss)定理定理：. 1 ABBCCAABBCCA则则三三点点共共线线，、若若CBA )1(，且且点在边的延长线上，点在边的延长线上，有奇数个有奇数个、若若1)2( ABBCCAABBCCACBA.三三点点共共线线、则则CBA .或其延长线上的点或其延长线上的点、的三边的三边分别是分别是、设设ABCABCABCCBA ABCA B C 第1页/共16页2 2、塞瓦、塞瓦(Ceva)(Ceva)定理定理：.上的点上的点、边边的三的三分别是分别是、设设ABCABCABCCBA . 1 ABBC

2、CAABBCCA于一点的充要条件是于一点的充要条件是交交、则，则，CCBBAA ABCA B C M第2页/共16页3 3、托勒密、托勒密(Ptolemy)(Ptolemy)定理定理：.)1(BDACADBCCDABABCD 则则为圆内接四边形，为圆内接四边形，定理：设定理：设.)2(四点共圆四点共圆、则则，满足：满足：逆定理：若四边形逆定理：若四边形DCBABDACADBCCDABABCD 四点共圆时取等号）四点共圆时取等号）、当且仅当当且仅当则则为任意四边形为任意四边形边形边形四四托勒密定理的推广：若托勒密定理的推广：若DCBABDACADBCCDABABCD(.,)3( ABCD第3页/

3、共16页4 4、西姆松、西姆松(Simson)(Simson)定理定理：(2)(2)逆定理：若一点在逆定理：若一点在三角形三边所在直线三角形三边所在直线上的射影共线，则该上的射影共线，则该点在此三角形的外接点在此三角形的外接圆上圆上. .)1(三点共线三点共线、则则、垂线，垂足分别为垂线，垂足分别为所在直线作所在直线作、向三边向三边外接圆上一点，从外接圆上一点，从为为设设NMLNMLABCABCPABCP ABCPLMN第4页/共16页5 5、欧拉、欧拉(Euler)(Euler)定理定理： 1 1.31)1(OHOGHGOHGOABC 三点共线，且三点共线，且、，则，则、垂心分别为垂心分别为

4、的外心、重心、的外心、重心、欧拉定理：设欧拉定理：设 2 2.2)2(2RrRddrRABC ，则，则距离为距离为，两圆心之间的，两圆心之间的，内切圆半径为，内切圆半径为为为的外接圆半径的外接圆半径欧拉公式：设欧拉公式：设第5页/共16页.(2)4(）是正三角形时等号成立是正三角形时等号成立仅当仅当当且当且，则，则，内切圆半径为，内切圆半径为为为外接圆半径外接圆半径欧拉不等式：设欧拉不等式：设ABCrRrRABC 4 4.)5(点共圆点共圆连线段的中点，这九个连线段的中点，这九个，各顶点与垂心，各顶点与垂心中点，各边高线的垂足中点，各边高线的垂足角形各边的角形各边的九点圆（欧拉圆）：三九点圆（

5、欧拉圆）：三.2)3(22RrRddIOrR 圆的充要条件是：圆的充要条件是：外接圆与内切外接圆与内切两圆分别是某个三角形两圆分别是某个三角形，则，则的距离为的距离为与与，两圆心，两圆心、为为它们的半径它们的半径设大圆套在小圆外面，设大圆套在小圆外面， 3 3第6页/共16页6 6、斯德瓦特、斯德瓦特(Stewart)(Stewart)定理定理：BCPCBPAPBCABPCACBPBCABCP 222边上的一点，则边上的一点，则的的是是设设ABCPabc22222)(:nmmnanmncnmmbAPnmPCBP ，则，则即：如果即：如果2222221acbAPBCP 的中点，则的中点，则是是特

6、例：若特例：若第7页/共16页7 7、拿破仑定理、拿破仑定理：，则，则、分别向外作等边三角形分别向外作等边三角形为底，为底，、的边的边以以CAFBCEABDCABCABABC 称为拿破仑三角形）称为拿破仑三角形）形是等边三角形形是等边三角形的中心为顶点的三角的中心为顶点的三角）三个等边三角形）三个等边三角形（；三线共点，且三线共点，且、(.2)1(CDBFAECDBFAE ABCDEF第8页/共16页8 8、牛顿、牛顿(Newton)(Newton)定理定理：.三点共线三点共线、求证：求证：、分别为分别为的中点的中点、点，点，的延长线交于的延长线交于和和点，另一组对边点，另一组对边的延长线交于

7、的延长线交于和和的一组对边的一组对边已知四边形已知四边形NMLNMLEFBDACFBCADECDABABCDABCDEFLMN第9页/共16页9 9、蝴蝶定理、蝴蝶定理：的的为为弦弦中中，设设如如图图，在在圆圆EFPO.PQPRRQEFADBCBDACP 则则，、相交于相交于分别与弦分别与弦、，连接，连接、作两条弦作两条弦中点，过中点，过ABCDPEFRQ第10页/共16页1010、帕普斯、帕普斯(Pappus)(Pappus)定理定理：.12211221122122221111三点共线三点共线、求证：求证：交于交于和和，交于交于和和，交于交于和和的任意三点，的任意三点，上上是直线是直线、的任意三点，的任意三点，上上是直线是直线、图，设图，设如如NMLNCBCBMCACALBABAlCBAlCBA第11页/共16页1111、莫莱定理、莫莱定理：第12页/共16页课后思考：课后思考：.1111421BDACABBCABC 求证：求证：，中，中，、已知、已知ABCD1.2AADBDBCDACBACABABC 求求，且且，于点于点的平分线交的平分线交，中，中，、在、在ABDC第13页/共16页.91343214321ABCDGGGGSSABCDABCDABCDGGGGABCD四边形四边形四边形四边形求证：求证：的重心，的重心，、分别是分