重积分的MATLAB实验

1、第13章 重积分的MATLAB实验编者 Outlinen13.1 二重积分二重积分n13.2 三重积分三重积分n13.3 曲线积分曲线积分n13.4 曲面积分曲面积分n13.5 重积分的数值计算重积分的数值计算13.1 二重积分1.1. 二重积分二重积分的的定义定义 设函数 是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭区域 D任意分成 n 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域，也表示它的面积。在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并作和 ，如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在闭区域 D上的二重积分，记作 ，即2.二重积分的计算二重积分的计算法法 利用直角坐标系计

2、算二重积分：对于二重积分 ，设其积分区域 D 可以用不等式组 来表示，其中函数 在区间 上连续。则上述二重积分可以化为如下累次积分 图 X-型（即每一条垂直于x轴的直线与区域D至多交于一条线段）积分区域类似地，若积分区域D 可以用不等式组 来表示 图 Y-型（即每一条垂直于 轴的直线与区域 至多交于一条线段）积分区域则上述二重积分可以化为如下累次积分二重积分的换元法：设 在 平面上的闭区域 D上连续，变换将 平面上的闭区域 变为 平面上的闭区域 D ，且满足 在 上具有一阶连续偏导数；在 上雅克比式 ；变换 是一对一的，则有上面的公式即称为二重积分的换元公式。 13.2 三重积分1.1.三重积

3、分的定义三重积分的定义 设函数 是空间有界闭区域 上的有界函数。将闭区域 任意分成 n 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并作和 ，如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在闭区域 上的三重积分，记作 ，即2.2.三重积分的计算三重积分的计算法法利用直角坐标系计算三重积分：对于三重积分 ，设其积分区域 可以用不等式组 来表示 则该三重积分可以写成如下累次积分的形式： 图 三重积分积分区域 三重积分的换元法：设 在 系的闭区域 上连续，变换将 系中的闭区域 变为 系中的闭区域 ，且满足 在 上具有一阶连续

4、偏导数；在 上雅克比式 变换 是一对一的，则有上面的公式即称为三重积分的换元公式。柱面坐标系下三重积分的计算公式为球面坐标系下三重积分的计算公式为13.3 曲线积分1.1.对弧长的曲线对弧长的曲线积分积分2.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分13.4 曲面积分1.对面积的曲面积分对面积的曲面积分 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界。把 任意分成 n 个小块 ，设小块 的面积为 ， 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 ，即其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面。2.对坐标的曲

5、面积分对坐标的曲面积分 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分成n 个小块 ，设小块 的面积为 ， 在 面上的投影为 ： ， 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分或第二类曲面积分，记作 ，即其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面。13.5 重积分的数值计算1.1.二重积分的二重积分的数值计算数值计算 矩形区域二重积分数值求解：对于二重积分 ，设其积分区域D 可以用不等式组 来表示，则上述二重积分可以化为如下累次积分MATLAB提供了函数dblquad来求解二重积分一般区域二重积分数值求解：一般区域的二重积分可以写成累次积分 在MATLAB中，提供了函数quad2d来求解一般 区域二重积分的数值解2.2.三重积分的三重积分的数值计算数值计算 长方体区域三重积分数值求解：对于三重积分 ，若其积分区域 可以用 不等式组 来表示，则该三重积分可以写成如下累次积分的形式： MATLAB提供了函数triplequad来求解三重积分一般区域三重积分数值求解：对于三重积分 ，若其积分区域 可以用不等式组 来表示，则该三重积分可以写成如下累次