两因素方差分析课件

1、两因素方差分析课件第三节第三节 两因素试验的两因素试验的方差分析方差分析两因素方差分析课件3.1 交叉分组资料（交叉分组资料（crossover classification）的方差分析的方差分析 设试验考察设试验考察A、B两个因素，两个因素，A因素分因素分a个水平，个水平，B因因素分素分b个水平个水平 。 所谓交叉分组是指所谓交叉分组是指A因素每个水平与因素每个水平与B因因素的每个水平都要搭配素的每个水平都要搭配 ，两者交叉搭配形成，两者交叉搭配形成ab个水平组个水平组合即处理，试验因素合即处理，试验因素A 、B在试验中处于平等地位在试验中处于平等地位 。如果。如果将试验单元分成将试验单元分

2、成 ab 个组，每组随机接受一种处理个组，每组随机接受一种处理 ，因，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。 分无重复观测值和重复观测值两种类型。分无重复观测值和重复观测值两种类型。两因素方差分析课件对于对于A、B两个试验因素的全部两个试验因素的全部ab个水平组合，个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表个观测值，其数据模式如下表所示。所示。两因素方差分析课件 表表

3、 两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式两因素方差分析课件 aibjijaiijjaiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx11.1.1.1.1.,1,1,abxxaibjij/.11 两因素方差分析课件 两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为： 式中，式中， 为总平均数；为总平均数； ), 2 , 1;, 2 , 1(bjaixijjiij两因素方差分析课件 A因素的每个水平有因素的每个水平有b次重复，次重复，B因素的每个水平因素的每个水平有有a次重复，每个观测值同时受到次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及两

4、因素及随机误差的作用。因此全部随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异个观测值的总变异可以分解为可以分解为 A 因素水平间变异、因素水平间变异、B因素水平间变异因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。及试验误差三部分；自由度也相应分解。 eBATeBATdfdfdfdfSSSSSSSS两因素方差分析课件 矫正数矫正数 总平方和总平方和 A因素离差平方和因素离差平方和 B因素离差平方和因素离差平方和abxC/2.CxxxSSaibjijaibjijT11221.1)(CxbxxbSSaiiaiiA12.2.1.1)(CxaxxaSSbjjbjjB12.2.1.1)(两因素方差分

5、析课件eeeBBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/两因素方差分析课件 化验化验员员B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5B B6 6B B7 7B B8 8B B9 9B B1010 x xi i. .x xi i. .A A1 111.7111.7110.8110.8112.3912.3912.5612.5610.6410.6413.2613.2613.3413.3412.6712.6711.2711.2712.6812.68121.33121.3312.13 12.13 A A2 211.7811.7810.710.712.512.512.3512

6、.3510.3210.3212.9312.9313.8113.8112.4812.4811.611.612.6512.65121.12121.1212.11 12.11 A A3 311.6111.6110.7510.7512.412.412.4112.4110.7210.7213.113.113.5813.5812.8812.8811.4611.4612.9412.94121.85121.8512.19 12.19 x.x.j j35.1035.1032.2632.2637.2937.2937.3237.3231.6831.6839.2939.2940.7340.7338.0338.0334

7、.3334.3338.2738.27364.3364.3x.x.j j11.7011.7010.7510.7512.4312.4312.4412.4410.5610.5613.1013.1013.5813.5812.6812.6811.4411.4412.7612.76两因素方差分析课件A因素（化验员）有因素（化验员）有3个水平，即个水平，即a=3；B因素因素（天数）（天数） 有有10个水平个水平 ，即，即 b =10 ， 共有共有ab=310=30个观测值。个观测值。 8163.4423)103/(30.364/.22abxC两因素方差分析课件7591.26C)27.3826.3210.35

8、(3110283. 0C)85.12112.12133.121(10112509.278163.4423)94.1278.1171.11(2222.2222.2222CxaSSCxbSSCxSSjBiAijT两因素方差分析课件18922991101213129110314635. 07591.260283. 02509.27BATeBATBATedfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSS两因素方差分析课件 2 列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验 变异来源变异来源SSSSdfdfMSMSF F值值显著性显著性化验员间化验员间0.02830.02832 20.01420.

9、01420.5500.550日期间日期间26.759126.75919 92.97322.9732115.240115.240* * *误差误差0.46350.463518180.02580.0258合计合计27.250927.25092929两因素方差分析课件3 多重比较多重比较 在两因素无重复观测值试验中，在两因素无重复观测值试验中，A因素每一因素每一水平的重复数恰为水平的重复数恰为B因素的水平数因素的水平数b，故，故A因素因素的标准误为的标准误为 ；同理，；同理，B 因因 素素 的的 标准误标准误bMSSexi/.aMSSexj/.093. 03/0258. 0/.aMSSexj两因素方

10、差分析课件 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 两因素方差分析课件测定测定日期日期x x.j.jx x.j-.j-10.5610.56x.x.j j- -10.710.75 511.44 11.44 11.70 11.70 12.

11、43 12.43 12.44 12.44 12.68 12.68 12.76 12.76 13.10 13.10 B7B713.58 13.58 3.023.02* * * 2.83 2.83 2.14 2.14 1.88 1.88 1.15 1.15 1.14 1.14 0.90 0.90 0.82 0.82 0.48 0.48 B6B613.10 13.10 2.54 2.54 2.35 2.35 1.66 1.66 1.40 1.40 0.67 0.67 0.66 0.66 0.42 0.42 0.34 0.34 B10B1012.76 12.76 2.20 2.20 2.01 2.01

12、 1.32 1.32 1.06 1.06 0.33 0.33 0.32 0.32 0.08 0.08 B8B812.68 12.68 2.12 2.12 1.93 1.93 1.24 1.24 0.98 0.98 0.25 0.25 0.24 0.24 B4B412.44 12.44 1.88 1.88 1.69 1.69 1.00 1.00 0.74 0.74 0.01 0.01 B3B312.43 12.43 1.87 1.87 1.68 1.68 0.99 0.99 0.73 0.73 B1B111.70 11.70 1.14 1.14 0.95 0.95 0.26 0.26 B9B91

13、1.44 11.44 0.88 0.88 0.69 0.69 B2B210.75 10.75 0.19 0.19 B5B510.56 10.56 两因素方差分析课件处理处理 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 B7 B7 13.58 13.58 a a A A B6 B6 13.10 13.10 b b AB AB B10 B10 12.76 12.76 bc bc BC BC B8 B8 12.68 12.68 bc bc BC BC B4 B4 12.44 12.44 c c C C B3 B3 12.43 12.43 c c C C B1 B1 11.70

14、11.70 d d D D B9 B9 11.44 11.44 d d D D B2 B2 10.75 10.75 e e E E B5 B5 10.56 10.56 e e E E 两因素方差分析课件两因素方差分析课件 在进行两个因素或多个因素的试验时，除在进行两个因素或多个因素的试验时，除了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标的影响情况。的影响情况。 通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物等环

15、境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和微生物活动，保持食品质量有着重要意义。微生物活动，保持食品质量有着重要意义。两因素方差分析课件 两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；的情况； 若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用， 则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设 一个试验一个试验单位单位(观察单位观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：两因素方差分析课件P1=0P2=4P2-P1N1=

16、040045050N1=6430560130N2-N130110两因素方差分析课件 对两因素和多因素等重复试验结果进行对两因素和多因素等重复试验结果进行分析，分析， 可以研究因素的可以研究因素的简单效应、主效应简单效应、主效应和因素间的交互作用（互作效应）。和因素间的交互作用（互作效应）。两因素方差分析课件三种效应 1 1简单效应（简单效应（simple effectsimple effect） 是指在某一因素同一是指在某一因素同一个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。两因素方差分析课件三种效应 2 2主效应（主效应（main effe

17、ctmain effect） 是指某一因素各水平间的是指某一因素各水平间的平均平均差别差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有组合的情况。组合的情况。两因素方差分析课件三种效应 3. 3. 互作效应（互作效应（interaction effectinteraction effect） 如果某一因素的如果某一因素的各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度超出随机波

18、动的程度，则称两个因素间存在互作效应。超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。两因素方差分析课件 设设A、B两因素，两因素，A因素有因素有a个水平，个水平，B因素因素有有b个水平，共有个水平，共有ab个水平组合，每个水平组个水平组合，每个水平组合有合有n次重复试验，则全试验共有次重复试验，则全试验共有abn个观测值个观测值。试验结果的数据模式如表试验结果的数据模式如表5所示。所示。 两因素等重复试验的方差分析两因素等重复试验的方差分析两因素方差分析课件表5 两因素等重复观测值试验数据模式 两因素方差分析课件A A因素因素B B因素因素Ai i合计合计xi i.B B1 1B B2 2B

19、 Bb bA A1 1x x1jl1jlx x111111x x121121x x1b11b1x x112112x x122122x x1b21b2x x1 1.x x113113x x123123x x1b31b3x x11n11nx x12n12nx x1bn1bnx x1j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .x x1j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .A2两因素方差分析课件表表5中中 aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijxxxxxxxx11111111.aibjnlijlainlijljbj

20、nlijlinlijlijabnxxanxxbnxxnxx11111111././././两因素方差分析课件),2, , 1;,2, 1;,2, 1()(nlbjaixijlijjiijljiijjiijij.)()()()(ijji, 0)()()(, 0, 0111111nibjaibjijijijaibjji两因素方差分析课件 3.1.2.1 离差平方和与自由度分解离差平方和与自由度分解ijleBABATeBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS 两因素方差分析课件 若用若用SSAB，dfAB表示表示A、B水平组合间的平水平组合间的平方和与自由度，即方和与自由度，即处理间平方和

21、与自由度处理间平方和与自由度，则，则处理引起的变异可进一步剖分为处理引起的变异可进一步剖分为A因素、因素、B因素因素及及A、B交互作用交互作用三部分，于是三部分，于是SSAB、dfAB可分可分解为：解为： BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS两因素方差分析课件abnxC/2.12abndfCxSSTijlT，112.abdfCxnSSABijAB，112.adfCxbnSSAiA，112.bdfCxanSSBjB，两因素方差分析课件 )1)(1(,badfSSSSSSSSBABAABBA) 1(,nabdfSSSSSSeABTeeeeBABABABBBAAAdfSSMSdf

22、SSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/,/两因素方差分析课件两因素方差分析课件FA显著，应对显著，应对A因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：误为：bnMSSex/FB显著，应对显著，应对B因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：误为： anMSSex/FAB显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为：显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为： nMSSex/bnMSSex/2anMSSex/2nMSSex/2两因素方差分析课件温度（温度（A A）pHpH值（值（B

23、B）B1B1B2B2B3B3A1A18 87 76 68 87 75 58 86 66 6A2A29 97 78 89 99 97 78 86 66 6A3A37 78 810107 77 79 96 68 89 9两因素方差分析课件 A因素因素（温度）（温度）有有3个水平，即个水平，即a=3；B因素（因素（pHpH值）值）有有3 3个水平，即个水平，即b=3；共有；共有ab=33=9个水平组合；每个水平组合；每个水平组合重复数个水平组合重复数n=3；全试验共有；全试验共有=333=27个个观测值。观测值。 （ 33.1496)333/(201/22.abnxC67.40C)9988(2222

24、2CxSSijlT00.30C)282024(3112222.CxnSSijAB两因素方差分析课件56. 1C)666570(331123. 6C)716961(33112222.2222.CxanSSCxbnSSjBiA21.2256.123.600.30BAABBASSSSSSSS两因素方差分析课件67.1000.3067.40ABTeSSSSSS18) 13(33) 1(4) 13)(13() 1)(1(21312131nabdfbadfbdfadfeBABA813312613331abdfabndfABT两因素方差分析课件变异来源变异来源 平方和平方和 自由度自由度 均均 方方 F F

25、 值值 显著性显著性 A A因素间因素间 6.23 6.23 2 23.12 3.12 5.295.29* *B B因素间因素间 1.56 1.56 2 20.78 0.78 1.321.32AxB AxB 22.21 22.21 4 45.55 5.55 9.419.41* * *误误 差差 10.67 10.67 18180.59 0.59 总变异总变异 40.67 40.67 2626两因素方差分析课件 温度温度 因为因为A因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为bn，故，故A因素各水平因素各水平的标准误为：的标准误为： 对本例而言，对本例而言， bnMSSexi/.256. 0) 33

26、/(59. 0.ixS两因素方差分析课件 dfedfe秩次距秩次距SSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.0118182 22.972.974.074.070.76 0.76 1.04 1.04 3 33.123.124.274.270.80 0.80 1.09 1.09 处理处理 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 A A3 7.9 7.9 a a A A A A2 7.7 7.7 a a AB AB A A1 6.8 6.8 b b B B 因素因素A主效应分析，结果表明温度主效应分析，结果表

27、明温度A3与与A1之间差异极显著，之间差异极显著，A2与与A1差异显著，差异显著，A2与与A3差异不显著。差异不显著。两因素方差分析课件 因因B因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为an，故，故B因素各水平的标因素各水平的标准误为：准误为：anMSSexj/. 以上所进行的多重比较，实际上是以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素两因素主效应的检验。主效应的检验。若若A、B因素交互作用不显著，则可因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得因素的最优水平，得到最优水平组合到最优水平组合；若若A、B因素交互作用显著，则应因素交互作用显著，则应进

28、行水平组合平均数间的多重比较，以进行水平组合平均数间的多重比较，以 选出最优水选出最优水平组合，同时可进行简单效应的检验。平组合，同时可进行简单效应的检验。 两因素方差分析课件 因为水平组合数通常较大因为水平组合数通常较大(本例本例ab=33=9)，采用，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用麻烦。为了简便起见，常采用LSD法。法。两因素方差分析课件 因为水平组合的重复数为因为水平组合的重复数为n，故水平组合的标准误，故水平组合的标准误为：为： 本例本例 nMSSexxji/2.627. 0359. 02/

29、2.nMSSexxji101. 218,05. 0t878. 218,01. 0t317. 1627. 0101. 216,05. 005. 0 xStLSD806. 1627. 0878. 216,01. 001. 0 xStLSD两因素方差分析课件水平组合水平组合 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 A3B39.39.3a a A A A2B18.78.7ab ab AB AB A1B18.08.0abc abc AB AB A3B27.77.7 bc bc ABC ABC A2B27.37.3 bc bc BC BC A2B37.07.0 cd cd BC

30、BC A1B26.76.7 cd cd BC BC A3B16.76.7 cd cd BC BC A1B35.75.7 d d C C 分析结果表明，分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组为优组合，按此组合选用温度和合选用温度和pH值可望得到较好的酶活性。值可望得到较好的酶活性。两因素方差分析课件 以上的比较结果可以看出，以上的比较结果可以看出，当当A、B因因素的交互作用显著时，一般不必进行两个素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验（因为这时主效因素主效应的显著性检验（因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要），而应的显著性在实用意义上并不重要），而直

31、接进行各水平组合平均数的多重比较，直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。选出最优水平组合。 两因素方差分析课件简单效应的检验简单效应的检验简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。检验尺度仍为互作效应检验中的LSD两因素方差分析课件有人设计3个罗非鱼品种A1、A2、A3和A4不同蛋白质水平饵料B1、B2、B3，每个处理配置两个鱼池进行试验。试验期内每池的产鱼量（kg）如下表。试作方差分析。两因素方差分析课件 试验期内的产鱼量（kg）品种蛋白质水平B1B2B3B4A1134.0130.1129.8129.0132.7132.8126.7128.9A2132.0130.2128.

32、7127.6133.2129.8128.1127.8A3128.4127.3129.7128.8129.3128.9127.3129.1两因素方差分析课件v解:1、提出假设,v2、平方和、自由度的分解0;0.:210iAHH：至少一个对eBABATSSSSSSSSSSeBABATdfdfdfdfdf243nba，0; 0.:210iAHH：至少一个对0; 0.:210iAHH：至少一个对两因素方差分析课件两因素方差分析课件两因素方差分析课件两因素方差分析课件两因素方差分析课件两因素方差分析课件 (2)、 方差分析表方差分析表变异来源因素A因素B误差总变异dfSS2SF23122352.1408

33、.4091.1468.9126. 736.1324. 185. 577.10BA616.2269. 397. 2*两因素方差分析课件v因为互作不显著，则将互作合并到误差项中eBAeSSSSSS合并07.3791.146 .22eBAedfdfdf合并18126合并合并合并eeedfSSMS059. 21807.37合并eAAMSMSF 526. 3059. 226. 7合并eBBMSMSF 489. 6059. 236.13两因素方差分析课件 (2)、 方差分析表方差分析表变异来源因素A因素B误差总变异dfSS2SF23182352.1408.4007.3768.9126. 736.13059

34、. 2526. 3489. 616. 3)18, 3(05. 0F55. 3)18, 2(05. 0F*09. 5)18, 3(01. 0F两因素方差分析课件 （3）对）对B因素进行比较多重比较（因素进行比较多重比较（SSR法）法）edfk05. 0SSR01. 0SSR05. 0LSR01. 0LSR1823497. 212. 321. 307. 427. 438. 474. 183. 188. 138. 250. 257. 2LSR6059. 2),18(kSSRSSR*5858. 0两因素方差分析课件 多重比较表（字母标记法）蛋白质水平1B4B3Bix平均数05. 001. 060.13

35、185.12953.12838.128abAAk05. 0LSR01. 0LSR23474. 183. 188. 138. 257. 250. 22Bb论结计统出写BBbB两因素方差分析课件3.2 系统分组资料的方差分析系统分组资料的方差分析两因素方差分析课件系统分组（系统分组（hierarchical classification）设计）设计，又又称为巢式设计、树状设计、多因子嵌套设计称为巢式设计、树状设计、多因子嵌套设计假设有假设有 A、B 两个因子，这两个因子的搭配组成不两个因子，这两个因子的搭配组成不再是上一节的交叉构成，而是再是上一节的交叉构成，而是 B 因子嵌套在因子嵌套在 A 因

36、因子内，即子内，即 B 因子为次级因子：因子为次级因子：A 因子的某一个水平包含了因子的某一个水平包含了 B 因子部分水平因子部分水平A 因子的另一个水平包含了因子的另一个水平包含了 B 因子的另一部分水平因子的另一部分水平即：即：B 因子的水平仅从属于因子的水平仅从属于 A 因子的一个水平因子的一个水平而而 A 因子的水平并不包含因子的水平并不包含 B 因子的所有水平因子的所有水平两因素方差分析课件如果有第三个因子如果有第三个因子 C，则，则 C 因子嵌套在因子嵌套在 B 因子内因子内如果有第四个因子如果有第四个因子 D，则，则 D 因子嵌套在因子嵌套在 C 因子内因子内以此类推以此类推其数

37、据结构呈现树状结构其数据结构呈现树状结构如行政区划，就是典型的系统结构：如行政区划，就是典型的系统结构：国家包含若干个省（国家包含若干个省（A）、一个省（）、一个省（A）包含若干个市（）包含若干个市（B）、）、一个市一个市（B）包含若干个县（包含若干个县（C）、一个县（）、一个县（C）包含若干）包含若干个镇（个镇（D）、一个镇（）、一个镇（D）包含若干个村（）包含若干个村（E）再如：植物生理学实验中：不同植株（再如：植物生理学实验中：不同植株（A）、同一植株不同）、同一植株不同枝条（枝条（B）、同一枝条不同部位（）、同一枝条不同部位（C）两因素方差分析课件在这种数据结构中，在这种数据结构中，各

38、 因子的重要性是不完全相等因子的重要性是不完全相等的，下一级因子的重要性往往低于上一级因子的，下一级因子的重要性往往低于上一级因子 A1 Ai AaB11 B12 B1b Bi1 Bi2 Bib Ba1 Ba2 Bab C111 C112 C11c Ca11 Ca12 Ca1c A 因子称为一级因子，因子称为一级因子，B 因子称为二级因子，因子称为二级因子，因子之间是一种从属关系，而非上一节因子之间是一种从属关系，而非上一节 A、B 因子因子的交叉构成中所讨论的那种平行关系的交叉构成中所讨论的那种平行关系 两因素方差分析课件下面我们写出两因子系统分组资料的数据结构：下面我们写出两因子系统分组资

39、料的数据结构：A因子因子 B因子因子 观测值观测值 B因子和因子和 A因子和因子和 T A1 B11 x111 x112 x11. B12 x121 x122 x12. x1.A2 B21 x211 x212 x21. B22 x221 x222 x22. x2.Ai Bi1 xi11 xi12 xi1. Bi2 xi21 xi22 xi2. xi.Ap Bp1 xp11 xp12 xp1. Bp2 xp21 xp22 xp2. xp. x两因素方差分析课件根据这一数据结构我们可以写出其数学模型：根据这一数据结构我们可以写出其数学模型：式中，式中，为总体平均为总体平均i为为 A 因子第因子第

40、i 个水平的效应个水平的效应ijij为为 A 因子第因子第 i 个水平下的个水平下的 B 因子第因子第 j 个水平个水平的效应的效应ijkijk为随机误差，且为随机误差，且p为为 A 因子的水平数；因子的水平数；qi为第为第 i 个个 A 因子水平下因子水平下 B 因子的水平数；因子的水平数；nij为第为第 i 个个 A 水平中第水平中第 j 个个 B 水平中的观测值水平中的观测值1,2,., ;1,2,. ;1,2,.,ijkiijijkiijxip jq kn20,ijkN两因素方差分析课件平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解aibjrkijkTxxSS1112) .(aiiaibjr

41、kiAxxbrxxSS121112) .() .(总离均差总离均差 因素因素A离均差平方和离均差平方和aibjiijaibjrkiiJABxxrxxSS1121112)()()( 因素因素B离均差平方和离均差平方和aibjrkijijkexxSS1112)(试验误差试验误差eABATSSSSSSSS)(平方和分解平方和分解上式中，右手第二项称为上式中，右手第二项称为 A因子内因子内 B因子水平间因子水平间 SS两因素方差分析课件自由度分解自由度分解1 abrdfT1 adfAaabdfAB)() 1( rabdfe满足不等式满足不等式;eABATdfdfdfdf)(两因素方差分析课件双因素系统

42、实验方差分析程序双因素系统实验方差分析程序 1. 提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 2. 计算统计量计算统计量H01: H11: 一级因素一级因素A无显著差异无显著差异一级因素一级因素A有显著差异有显著差异H02: H12: 二级因素二级因素B无显著差异无显著差异二级因素二级因素B有显著差异有显著差异)()()(ABABABdfSSMSeeedfSSMS AAAdfSSMS 两因素方差分析课件首先首先:确定二级因素的显著性确定二级因素的显著性eABABMSMSF)()(),()()(eABABdfdfFF对于给定的显著水平对于给定的显著水平a,查查F分布分位数表分布分位数表,若若判定二

43、级因素影响显著判定二级因素影响显著,否则判定其不显著否则判定其不显著 3. 构造统计量构造统计量F,并进行并进行F检验检验两因素方差分析课件其中其中:)(ABeESSSSSS)(ABeEdfdfdfEEEdfMSMS )(ABAAMSMSF 若若B显著显著若若B不显著不显著EAAMSMSF 对于给定的显著水平对于给定的显著水平a,查查F分布分位数表分布分位数表,若若),()(ABAdfdfFF),(EAAdfdfFF或或判定判定A显著显著,否则不显著否则不显著其次其次:确定一级因素的显著性确定一级因素的显著性两因素方差分析课件 4. 列方差分析表列方差分析表方差来源方差来源平方和平方和S自由度

44、自由度均方均方MS F值值 Fa显著性显著性一级因素一级因素A二级因素二级因素B 误差误差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)显著显著总和总和SST abr-1)(eABdfdfF，（)(ABAdfdfF，（)(ABAAMSMSF eABABMSMSF)()(两因素方差分析课件 4. 列方差分析表列方差分析表方差来源方差来源平方和平方和S自由度自由度均方均方MS F值值 Fa显著性显著性一级因素一级因素A二级因素二级因素B 误差误差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)不显著不显著总和总和SST abr-1)(eABdfdfF，（)EAdfdfF，（EAAMS

45、MSF eABABMSMSF)()(两因素方差分析课件例例1：随机选取：随机选取4株植物，在每一植株内随机选取两株植物，在每一植株内随机选取两片叶子，用取样器从每一片叶子上选取同样面积片叶子，用取样器从每一片叶子上选取同样面积的三个样品，称取湿重的三个样品，称取湿重xijk （g），得数据如下表），得数据如下表（数据已经过了简化）（数据已经过了简化）S D xijk r br xij. 平均 xi. 平均1 1 2.2 2.3 2.0 3 6.5 2.17 2 2.0 2.1 2.3 3 6 6.4 2.13 12.9 2.152 3 1.6 1.5 1.7 3 4.8 1.60 4 1.8

46、2.0 1.7 3 6 5.5 1.83 10.3 1.723 5 2.6 2.5 2.2 3 7.3 2.43 6 2.4 2.4 2.2 3 6 7.0 2.33 14.3 2.38 4 7 1.8 1.5 1.7 3 5.0 1.67 8 1.5 1.6 1.4 3 6 4.5 1.50 9.5 1.58 24 24 47.0 47 两因素方差分析课件上表中上表中，a= 4，b = 2，r = 3 N = 24校正值校正值 C = 92.0417SST = (2.22+2.32+.1.42) - C = 95.02 - C = 2.9783SSS = (12.92+9.52)/6 - C

47、 = 94.54 - C = 2.4983 （一级样本间）（一级样本间）SSD(S) = (6.52+4.52)/3 - (12.92+9.52)/6 = 94.68 - 94.54 = 0.14 （二级样本间）（二级样本间）SSe = SST SSS - SSD(S) = 2.9783 - 2.4983 -0.14 = 0.34两因素方差分析课件自由度：自由度：dfT = 423 1 = 23dfS = 4 1 = 3dfD(S) = 4 (2 - 1) = 4dfe = 42(3 - 1) = 16 将平方和及自由度填入方差分析表中，并计算各均将平方和及自由度填入方差分析表中，并计算各均方

48、和方和 F 值：值：两因素方差分析课件方差分析表：方差分析表：变异来源变异来源 SS df MS F F0.05 F0.01植株间植株间S 2.4983 3 0.8328 23.79* 6.59 16.69叶片间叶片间D 0.14 4 0.035 1.64 3.01误误 差差e 0.34 16 0.02125 T 2.9783 23 上述计算中，上述计算中，0.832823.790.0350.0351.640.02125SSDDDeMSFMSMSFMS两因素方差分析课件即：两个不同级别的即：两个不同级别的 F 值均由下一级的值均由下一级的 MS 作为比作为比较标准，而不再是统一由误差项均方作为比较标较标准，而不再是统一由误差项均方作为比较标准准而查而查 F所用的自由度也应作相应的变动，即：所用的自由度也应作相应的变动，即：FS的自由度分别为的自由度分别为 df1=3，df2=4FD的自由度分别为的自由度分别为 df1=4，df2=16由于不同植株间的湿重差异极显著，而叶片间差异由于不同植株间的湿重差异极显著，而叶片间差异不显著，因此，应对植株间（一级样本）作多重不显著，因此，应对植株间（一