信号与系统PPT教程第四章 傅里叶变换

1、1第四章第四章 傅里叶变换傅里叶变换本章提要本章提要傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理相关、能量谱和功率谱相关、能量谱和功率谱24.1 4.1 引言引言一、一、傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国年生于法国 1807年提出年提出“任何周期信号都可用正弦函数任何周期信号都可用正弦函数级数表示级数表示” 1829年狄利克雷第一个给出收敛条件年狄利克雷第一个给出收敛条件 拉

2、格朗日反对发表拉格朗日反对发表 1822年首次发表年首次发表“热的分析理论热的分析理论”中中3二、傅立叶的两个最主要的贡献二、傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点三、变换域分析三、变换域分析 频域分析傅里叶变换，自变量为频域分析傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析拉氏变换复频域分析拉氏变换, 自变量为自变量为 s = +j z域分析域分析z

3、变换，自变量为变换，自变量为stez 44.24.2周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 周期信号可展开成正交函数线性组合的无周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：穷级数： 三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t, sinn 1t 复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 5一、三角函数的傅里叶级数一、三角函数的傅里叶级数 112t)sincos()(11101tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n =1 谐波分量n16100)(110tttdttfta10011cos)(2tttntdtntftatdtntftbtttn1001

4、1sin)(2直流系直流系数数余弦分量余弦分量系数系数正弦分量正弦分量系数系数7狄利克雷条件：狄利克雷条件： .在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件. 010( )tttf tdt 8三角函数是正交函数三角函数是正交函数)2 . 3(0sincos11100tdtmtnttt)3 . 3()()(0sinsin001211nmnmtdtmtntttt) 3 . 3()()(0coscos001211

5、nmnmtdtmtntttt9周期信号的另一种周期信号的另一种三角函数正交集表示三角函数正交集表示011( )cos()nnnf tccn t)sin()(110nnntnddtf10比较几种系数的关系比较几种系数的关系sincosnnnnnbcd 000dca22nnnnbadcnnnbatgnnnbtga cossinnnnnnacd11 周期函数的频谱：周期函数的频谱： an,bn,cn和和 n都是都是 n 1的函数。把的函数。把cn（各频率分量（各频率分量的相对大小）的相对大小）对对n 1的关系绘成线图，此图为信号的的关系绘成线图，此图为信号的幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率

6、分量幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。的幅度，称为谱线。 n对对n 1的关系线图为信号的相的关系线图为信号的相位谱。因为位谱。因为cn和和 n只在只在n 1 （各频率点且（各频率点且n=0）取值，）取值，所以周期信号的幅度谱与相位谱均为单边离散谱。所以周期信号的幅度谱与相位谱均为单边离散谱。周周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的相移。直观看出：各分量的大小，各分量的相移。 cn 1)(n112二、周期函数的复指数级数二、周期函数的复指数级数ntjnntjntjnjnjnntj

7、njntjnjnntnjtnjnnnnenfenfenfftfecnfecnfcfeeceecceecctncctfnnnnnn1111111)()()()(2)(,2)(,222)cos()(111101100101)()(0110令引入了引入了负频率负频率130000adcf)(21nnjnnjbaeffn)(21nnjnnjbaeffn两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系22212121nnnnnnbadcffnnncff14nnnaffnnnbffj)(nnnnnnffbadc4222215频谱图频谱图 同样可以画出复指数形式表示的信号频谱，同样可以画出复指数形式表示的

8、信号频谱，因因 f(n 1)一般是复函数，称为复数频谱。一般是复函数，称为复数频谱。|f(n 1)| 为复数幅度谱，为复数幅度谱， n 为相位谱。为相位谱。同同样因为样因为|f(n 1)|和和 n只在只在n 1 取值，而取值，而n的取值可的取值可从从- 到到+ ，因此指数形式表示的信号频谱为离，因此指数形式表示的信号频谱为离散的双边谱。散的双边谱。注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频率注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频率上对应的两条谱线矢量相加才代表一个频率分量上对应的两条谱线矢量相加才代表一个频率分量的幅度。负频率的出现完全是数学运算的结果，的幅度。负频率的出现完全是数学运算的结果

9、，无物理意义。如图无物理意义。如图3-2。16周期复指数信号的频谱图周期复指数信号的频谱图 nnfnf11100017例例 将全波整流信号将全波整流信号f(t)=|sin f(t)=|sin t|t|展开成指数形展开成指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。式的傅里叶级数，并画出频谱图。1010102111011)21cos()21cos()21sin()21sin(212sin2cossin sin)(2, 1 sin1)(11dttntnjtntndttnjtntdttenftdttetnftjnttjn其中182,.1,0,n )41 (2)21 (2)21 (22101)21sin()21

10、 (101)21sin()21 (101)21cos()21 (101)21cos()21 (121)(21nnntnnjtnnjtnntnnnf.35215232.352152322)41(2)(64264222tjtjtjtjtjtjntjneeeeeeentf19 一次谐波分量由一次谐波分量由n=+1,n=-1两条谱线决定，两条谱线决定，二次谐波分量由二次谐波分量由 n=+2,n=-2两条谱线决定两条谱线决定2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 -6 f(n 1)|f(n 1)| 2 4 6 -2 -4 -6 n幅度谱幅度谱相位谱相位谱 20三、谱系数三、谱系数f(n)的

11、性质的性质1.奇偶虚实性奇偶虚实性 111111111111122111221112212211sin)(cos)(1sincos)()(1)()(1)(1)()()()(ttoettoetttjnoetttjnoedttntjftntftdttnjtntftftdtetftftdtetftnftftftf21 若若f(t)为偶函数，那么为偶函数，那么f(n 1)为实函数为实函数（an 0，bn=0），），f(t)的傅里叶级数只含有余弦的傅里叶级数只含有余弦项，相位为项，相位为 ； f(t)为奇函数，那么为奇函数，那么f(n 1)为虚函数为虚函数（ an=0，bn 0），），f(t)的傅里叶级

12、数只含有正弦的傅里叶级数只含有正弦项，相位项，相位 ； f(t)为非奇非偶，那么为非奇非偶，那么f(n 1)为复函数为复函数（an 0，bn 0），），f(t)的傅里叶级数既含有余弦的傅里叶级数既含有余弦项，又含有正弦项。项，又含有正弦项。 90 180222. 奇谐函数，即波形沿时间轴平奇谐函数，即波形沿时间轴平 移半周期并相对于时间轴上下移半周期并相对于时间轴上下反转。如图反转。如图3-5，直流分量，直流分量a0=c0=f0=0；对于；对于偶次谐波分量，其系数为偶次谐波分量，其系数为0；而奇次谐波分量；而奇次谐波分量系数不为系数不为0，故奇谐函数只含有基波和奇次谐，故奇谐函数只含有基波和奇

13、次谐波分量。波分量。)2()(1ttftft1/2-t1/20t233.时移特性时移特性111111111111221221221)(1)(1)(1)()( )( jnntttjnjntttjntttttjnjnnnefdtetfetdtetftdtetfttfeftfftf令的傅里叶级数为：证则若244.微分特性微分特性)()(1)(1)(1)(1 )( 11212111221121211221111111111nfjndtetftjndtejntftetftdtedttdftfjndtdf(t)ftfttjntttjntttjntttjnnn证则若25例删除直流分量偏移以显现隐藏的对称性例

14、删除直流分量偏移以显现隐藏的对称性 删除直流分量删除直流分量a0=0.5后，信号为奇对称。故后，信号为奇对称。故an=0，其付里叶级数只有正弦分量。，其付里叶级数只有正弦分量。 121nntntntntdtnttdtntftbtn101)2(2)2sin()2(22sin2sin)(22100126可利用微分特性求谱系数可利用微分特性求谱系数例周期信号例周期信号f(t)如下图，试求其谱系数。如下图，试求其谱系数。 取一个周期的取一个周期的f (t) f (2)(t)e2t2t2t2t2t2tte2)2(te)4(te)()() 1(cos4242)2(2)(4)2(21)()2(2)(4)2(

15、2)(12122222222221111nfjnnteeteteetedtetttedtettedtetttetnftttettetttetfjnjntttjntttjntttjn 变27)()(1)()(1211nfjnnftf变 应补出直流分量应补出直流分量2e例半波整流信号例半波整流信号f(t)，周期为，周期为t，试求其谱系数。，试求其谱系数。 )2()()cos()2()()sin()2()()cos()()2()()sin()( 0111111ttututettttettututetfttututetftt28 ,.,n,., nnennenfnfjnntenfetenfdtettt

16、tenfnftttetftttettututettttettututetfjntttjn53 042, 0 )1 (2)cos1 ()1 ()()()()cos1 ()()1 ()()2()()()()2()()()2()()2()()sin()2()()cos()2()()sin()(2211211121112122112111211121111211变2921214)( 4)(001jjeefeefn型，应单独求时为由于 12 14 1-4 1-2 1- 1 12 14 1-2 1- 1-4 1|f(n 1)| (n)30四、周期信号的功率特性四、周期信号的功率特性 p为周期信号的平均功率

17、为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理符合帕斯瓦尔定理100)(1)(212tttdttfttfptmtjmntjntdtemfenftdttftp01*10211)()(1)(13112201212210)(1*1)(0)(1*12)(2)0()()()(1 0 )()(1111nnnnnmttmnjtmnjttmnjmnccnffnfdtemfnftpmnm ntedtemfnft功率谱功率谱：|f(n 1)|2n 132五、傅里叶有限级数五、傅里叶有限级数如果完全逼近，则如果完全逼近，则 n= ;实际中，实际中，n=n, n是有限整数。是有限整数。如果如果 n愈接近愈接近 ，则，则 其均

18、方误差愈小其均方误差愈小若用若用2n1项逼近，则项逼近，则)sincos()(1110tbtaatsnnnnn33误差函数和均方误差误差函数和均方误差 误差函数误差函数 均方误差均方误差)()()(tstftnn)(21)()(222022nnnnbaatfte34例如对称方波：偶函数且奇谐函数例如对称方波：偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项。只有奇次谐波的余弦项。2sin2nnean)5cos3cos(cos)(15113112ttttfee/2-e/2t1/4-t1/4t35对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数 n=1 n=2 n=32105. 0ee )3cos31(cos2112ttes2202. 0ee )(cos212tes)5cos513cos31(cos21113tttes2301. 0ee -0.5-0.4-0.3-0.2--1-0.8-0.6-0.4-0.60.8136有限项的有限项的n越大，误差