勾股定理的逆定理-习题训练含答案

1、勾股定理的逆定理精品资料、基础巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 : 2 : 3B.三边长的平方之比为 1 : 2 : 3C.三边长之比为 3 : 4 : 5D.三内角之比为 3 : 4 : 52.如图18 2 4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm，/D=120 则该零件另一腰 AB的长是cm （结果不取近似值）图 18 2 4图 18 2 5A F D图 18 2 6S1 S2、S 3,且 S1 =4 , S 2=8 ,3. 如图18 2 5,以Rt ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为贝U A

2、B的长为.14.如图18 2 6,已知正方形 ABCD的边长为4 , E为AB中点，F为AD上的一点，且 AF= AD，试4判断 EFC的形状.5. 一个零件的形状如图 18 2 7 ,按规定这个零件中/ A与/ BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗?C图 18 2 76已知 ABC的三边分别为 k2 1, 2k , k2+1 (k 1),求证： ABC是直角三角形二、综合应用7.已知a、b、c是Rt ABC的三 边长，AAiBiCi的三边长分别是 2a、2b、2c，那么 AiBiCi是直角三角形吗？为

3、什么？8.已知：如图i8 2 8，在 ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD BD.求证： ABC是直角三角形.图 i8 2 89.如图i8 2 9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 A (3 , i), B (2, 4), OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论Jj4/2cA鬥()A图 18 2 910. 阅读下列解题过程：已知a、b、c为 ABC的三边，且满足 a2c2 b2c2=a4 b4，试判断 ABC的形 状.解：/ a2c2 b2c2=a4 b4, (A) / c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2 b2), (B) / c2=a2+b2, (C) /

4、 ABC 是直角三 角形.问：上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ;错误的原因是 ; 本题的正确结论是 .11. 已知：在 ABC 中，/ A、/ B、/ C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试 判断 ABC的形状.12.已知：如图 18 2 10，四边形 ABCD , AD / BC , AB=4 , BC=6 , CD=5 , AD=3.求：四边形 ABCD的面积.图 18 2 10参考答案、基础巩固1. 思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边

5、的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2. 解：过D点作DE / AB交BC于E,则 DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形， AB=DE./ D=120 CDE=30 又T在直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半， CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= . 102 -52 =.3 cm. AB= 102 一52 =5.、3 cm.3. 思路分析：因为 ABC是Rt ，所以BC2+AC2=AB2,即Si+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以 AB= . S3 =、一 12 = 2、3 .答案：2.34. 思

6、路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：/ E 为 AB 中点， BE=2. CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得，EF2=AE 2+AF2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.CE2+EF2=CF2, EFC是以/ CEF为直角的直角三角形.5. 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB和厶DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 解：在 ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD 2，所以 ABD 为直角三角形，/ A =90 在厶BDC中，BD2+DC

7、2=52+12 2=25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC是直角三角形，/ CDB =90 因此这个零件符合要求6. 思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证明：/ k2+1k2 l,k2+1 - 2k=(k - 1)20,即 k2+12k , / k2+1 是最长边. (k2- 1)2+(2k )2=k4- 2k2+1+4k 2=k4+2k2+1=(k 2+1)2, ABC是直角三角形.二、综合应用(例7. 思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形2已证).8. 思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股

8、定理的逆定理即可证明：/ AC2=AD2+CD2, BC2=CD2+BD2, AC2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD BD+BD 2=(AD+BD ) 2=AB2. ABC是直角三角形.9. 思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB是否是直角三角形即可.解：T OA 2=OA 12+A 1A2=3 2+1 2=10,OB2=OB i2+BiB2=22+42=20,AB2=AC 2+BC2=12+32=10, oa2+ab 2=o b2. OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形 .10. 思路分析：做这种类型的

9、题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能，当a=b时厶ABC是等腰三角形；厶ABC是等腰三角形 或直角三角形11. 思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为0; (3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得 a2 10a+25+b 2 24b+144+c 2 26c+169=0,配方并化简得，(a 5)2+(b 12)2+(c 13)2=0. (a 5)2m),(b 12)2%,(c 13)2 为. a 5=0,b 12=

10、0,c 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又/ a2+b2=169=c 2, ABC是直角三角形.12.思路分析：(1 )作DE / AB，连结BD，则可以证明 ABD EDB (ASA );(2)DE=AB=4 , BE=AD=3 , EC=EB =3 ; (3)在厶 DEC 中，3、4、5 为勾股数， DEC 为直角三角形，DE丄BC ; (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解解：作 DE / AB,连结BD，则可以证明 ABD EDB (ASA ), DE=AB=4 , BE=AD=3./ BC=6, EC=EB=3. DE2+CE2=32+42=25=CD 2, DEC为直角三角形.又/ EC=EB=3, DBC为等腰三角形，DB=D