结构力学教学课件103结构动力响应

1、东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院oct 2013结构力学结构力学( (二二) )第1章 结构动力响应分析主讲教师：郭 彤上节课内容回顾上节课内容回顾 单自由度体系的力学模型单自由度体系的力学模型 振动方程的建立振动方程的建立 基底运动的影响基底运动的影响 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动)()()()(tftkytyctymp )()(tmtfp 基底作水平运动时，对体系的作用效果相当于在运动质量上沿加速度相反方向施加一个等效水平力，振动方程的形式不变。10.3 单自由度体系的自由振动 自由振动方程及其试解0)()()(tkytyctym 0)()(2)(2tytyty 0

2、222112221（1）低阻尼和无阻尼（2）临界阻尼（3）超阻尼0, 11110.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系,01）（或当)cossin()(11tbtaetyt1( )sin()ty tcet或0000)(;)(ytyytytt0100ybyya2200011000()arctanyycyyyytyytyetyt110010sin)(cos)(0246810-4-2024y(t)t=0.0505. 0, 0y 0,y (a)0010.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系初始时刻只有初速度而无初位移tyetyt110sin)(初始时刻只有初位移

3、而无初速度tteytyt1210sin1cos)(10.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系无阻尼体系0（1）当初速度和初位移均不为零tytytysincos)(00或 其中)sin()(tcty0021020arctan)(yyyyc10.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系无阻尼体系0（2）当初位移为零，初速度不为零tytysin)(0tytycos)(0（3）当初速度为零，初位移不为零单自由度体系的自由振动几点结论 （1）运动的初始条件唯一地决定振幅c和相位 ；初始条件不同，位移响应曲线可能是单一的余弦形式、正弦形式或两者的叠加2.01.61.20

4、.80.40630-3-62.4ty(t)tytytycossin)(00tytysin)(0tytycos)(0单自由度体系的自由振动几点结论 （2）自振周期或频率只取决于体系的质量和刚度，是不受运动初始条件和外界干扰影响的不变量；它是振动体系的固有属性，有时也称体系的等时性；（3）体系的质量越大，自振频率越低，自振周期越长；体系的刚度越大，自振频率越高，自振周期越短10.3.3 临界阻尼体系0 无阻尼体系临界阻尼体系当10)()(2)(2tytyty )()(21tggetyt0000)(;)(ytyytytt)36.10(1)(00btyytetyt1.51.20.90.60.30432

5、10y(t)t1=11, 1, 0y 0,y (b)0010.3.4 超阻尼体系1, 超阻尼体系02222221两个不等的实根：)()(2221tttegegety122)sinh(cosh222ttet)()(22tbchtashetyt0000)(;)(ytyytytttshyytchyetyt220020)(10.3.5 阻尼比的确定比。来表示结构实际的阻尼效粘滞阻尼比下具有相同衰减率的等一般是以自由振动条件)cossin()(11tbtaetytnttt和对于ntnceyttnney121eeyytnn2ln1nnyy1ln21nnyyrnnyyrln21 10.4 单自由度体系的强迫

6、振动10.4.1 强迫振动方程及其解法)()()()(tftkytyctymp mkmc2)(1)()(2)(2tfmtytytyp 受迫振动方程单自由度有阻尼体系的 tytytypf，其通解二阶非齐次常微分方程 即自由振动的位移响应解方程右端等于零的齐次tyf 因激励荷载的类型而异次解方程右端不等于零的齐typ 10.4 单自由度体系的强迫振动10.4.2 简谐荷载下的强迫振动 tftfppsin0的简谐荷载圆频率为设简谐荷载的幅值为,0pf)(1)()(2)(2tfmtytytyp tmftytytypsin)()(2)(02 tdtypsin振幅相位0coscos2sinsinsin2c

7、os22220tdtdmfp总体位移响应) 10coscos2sinsinsin2cos22220tdtdmfpsin2cos0cos2sin22022dmfdp212tan频率比2222222211cos212sin222220211mfdpkfmfyppst020mkstyd211222动力系数)cossin()(11tbtaetyt tftfppsin0tytbtaetysttsin)cossin()(11tytbtatystsin)cossin()(0），总体位移简化为无阻尼体系（01120动力系数无阻尼体系的),(00. 015. 020. 030. 050. 0707. 000.

8、1 10.4 单自由度体系的强迫振动10.4.2 简谐荷载下的强迫振动简谐荷载下的强迫振动过渡位移响应)2稳态之间的过程瞬态 0000tttyty初始条件0cos2110sin2112221222ststybayb22222222221211221ststybya2222222211cos212sintytbtaetysttsin)cossin()(11tytbtaetysttsin)cossin()(11tttteytytstcos2sin1cos2sin112)(2112222瞬态响应稳态响应t)(trttytystsinsin)(00和稳态响应是一致的。时，体系的瞬态、过渡之比与最大静位

9、移表示动力响应响应比stytytr)(),(tttrsinsin)(0 10.4 单自由度体系的强迫振动10.4.2 简谐荷载下的强迫振动简谐荷载下的强迫振动共振分析) 31等于体系圆频率荷载圆频率2011动力系数0对于无阻尼体系21对于有阻尼体系：2222110,02122r222121rr或2max121数稳态响应的最大动力系例10-4： 跨长l的等截面简支梁，抗弯刚度为ei；在跨中有一质量为m的质量块。设在梁的右端有一简谐力矩荷载 作用，求质块的稳态位移响应（不计阻尼和梁的质量 ） tmtmsin0 的共同惯性力和解：根据叠加原理，在tm动力位移为作用下，梁中点的附加 43224212l

10、ll ymeity 1p4/ lym 4/ l ym 图1m图pm1p4/ ltmsin0图1m图pmteilmsin1620 43224212sin1620lll ymeiteilmty eil ymteilm48sin16320 tlmyleiymsin34803 原问题的振动方程为下的强迫振动问题系统在动荷载直接作用相当于一个km tfpeilmmleimk48483222232ktytbtaetysttsin)cossin()(11eilmkfyeilmpst164811112003220tytbtaetysttsin)cossin()(11teilmeilmypsin48111632

11、20010.4.3 冲击荷载下的强迫振动冲击荷载下的强迫振动（1）突加荷载下的位移响应）突加荷载下的位移响应)0()0(0)(0tfttfpp)(1)()(2)(2tfmtytytyp 受迫振动方程单自由度有阻尼体系的kftataetypt011)cossin()(ststybya21，求得积分常数利用初始条件（静止）)0(sin1cos1)(121ttteytytst作用下的受迫位移响应有阻尼体系在突加荷载)0(tcos1)(0tytyst）（），无阻尼体系（无阻尼体系的最大动力位移是最大静力的2倍，动力系数=210.4.3 冲击荷载下的强迫振动冲击荷载下的强迫振动（1）突加荷载下的位移响应

12、）突加荷载下的位移响应)(0)0()0(0)(0ttfttfpp）强迫振动（两阶段分析1动）荷载消失后的自由振（2的反向突加荷载的突加荷载叠加荷载情况相当于第二阶段（ttt0),tteytst121sin1(cos1tteytytst121sin1cos1)(tteytytst121sin1cos1)()(sinsin1coscos)(11211tttetteeytytttst）（）（)()2(sin2sin2)(0ttytyst），无阻尼体系（8, 2 . 0,10stys1无阻尼体系的最大动力位移响应无阻尼体系的最大动力位移响应；一阶段，动力系数最大位移响应发生在第系的半个自振周期，即当荷载持续时间超过体（22) 1t)()2(sin2sin2)(0ttytyst），无阻尼体系（)0(tcos1)(0tytyst）（），无阻尼体系（；二阶段，动力系数最大位移响应发生在第系的半个自振周期，即当荷载持续时间小于体ttsin2yy2)2(stmax10.4.3 冲击荷载下的强迫振动冲击荷