规划数学第5讲目标规划

1、目标规划的模型及求解目标规划的模型及求解 （1学时）学时）线性规划及目标规划软件求解线性规划及目标规划软件求解 （1学时）学时） 重重 点：目标规划模型，图解法。点：目标规划模型，图解法。难难 点：目标规划模型建立，目标规划的软件求解。点：目标规划模型建立，目标规划的软件求解。基本要求：掌握目标规划概念及模型建立，掌握目标规划的图解法，基本要求：掌握目标规划概念及模型建立，掌握目标规划的图解法，了解目标规划的单纯形法，掌握线性规划和目标规划的软件求解。了解目标规划的单纯形法，掌握线性规划和目标规划的软件求解。第第5讲讲 目标规划（第目标规划（第2章）章）11 某厂计划在下一个生产周期内生产甲、

2、乙两种产某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。建立此问题的数学模型。12070单件利润单件利润3000103设备台时设备台时200054煤炭煤炭360049钢材钢材资源限制资源限制乙乙甲甲 消耗消耗 产品产品资源资源引例：引例： 目标规划的模型及求解目标规划的模型及求解 2.1 2.1 目标规

3、划概述目标规划概述设：甲产品设：甲产品 x1 ，乙产品，乙产品 x2 一般有：一般有：maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0同时：同时：maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法很难找到最优解。很难找到最优解。 目标值和偏差变量目标值和

4、偏差变量 目标约束和绝对约束目标约束和绝对约束 达成函数（即目标规划中的目标函数）达成函数（即目标规划中的目标函数） 优先因子（优先等级）与优先权系数优先因子（优先等级）与优先权系数 满意解（具有层次意义的解）满意解（具有层次意义的解）（一）目标规划的基本概念（一）目标规划的基本概念 目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量实现值或决策值：是指当决策变量x xj j 选定以后，目选定以后

5、，目标函数的对应值。标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和目标值之间的差异和目标值之间的差异, ,记为记为 d d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d d。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为为 d d。1 1、目标值和偏差变量、目标值和偏差变量 当完成或超额完成规定的指标则表示：当完成或超额完成规定的指标则表示：d d0, d d0 当未完成规定的指标则表示：当未完成规定的指标则表示： d d0, d d0

6、 当恰好完成指标时则表示：当恰好完成指标时则表示： d d0, d d0 d d d d 0 0 成立。成立。 引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，既目标约束。题有了新的限制，既目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有到目标值，故有 d d d d 0,0,并规定并规定d d0,

7、d d02 2、目标约束和绝对约束、目标约束和绝对约束 绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。 例如：在例如：在引例引例中，规定中，规定Z1 的目标值为的目标值为 50000,正、负正、负偏差为偏差为d、d ,则目标函数可以转换为目标约束，既则目标函数可以转换为目标约束，既70 x1 + 120 x2 50000， 同样，若规定同样，若规定 Z2200， Z3250

8、则有则有 11dd200221ddx250332ddx)3 . 2 . 1( 0,jddjj 若规定若规定36003600的钢材必须用完，原式的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 3600则变为则变为0, 360049444421ddddxxmaxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 目标函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为目标函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为 minZ = f（d、d）。）。 一般说来，有以下三种情况，

9、但只能出现其中之一：一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： .要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则尽可能小，则minZ = f（d d）。）。 .要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d）。）。 .要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d）。）。 3 3、目标函数、目标函数 优先因子优先

10、因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表是将决策目标按其重要程度排序并表示出来。示出来。P1P2PkPk+1PK ，k=1.2K。 权系数权系数k 区别具有相同优先因子的两个目标的差区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。别，决策者可视具体情况而定。 对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。有些可能就不能实现。4 4、优先因子（优先等级）与优先权系数、优先因子（优先等级）与优先权系数 5 5、满意解（具有层次

11、意义的解）、满意解（具有层次意义的解） 某厂生产某厂生产、两两种产品，有关数据如表种产品，有关数据如表所示。所示。 经研究提出下列要求：经研究提出下列要求： 1、产品、产品的产量不低于产品的产量不低于产品的产量；的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班；、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于、利润不小于 56 元。元。例例1：（二）目标规划的数学模型（二）目标规划的数学模型解：设解：设x1， x2分别表示产品分别表示产品和产品和产品的产量。的产量。 di+, di- 分别为第分别为第i个目标的负、正偏差变量个目标的负、正偏差变量建立目标约束：建立目标约束：产品产品的产量不低于产品的

12、产量不低于产品的产量的产量:0 1121ddxx21 xx 102 2221ddxx561083321ddxx11 221xx充分利用设备有效台时，不加班充分利用设备有效台时，不加班:利润不小于利润不小于 56 元元:原材料约束原材料约束:102 21xx5610821xx优先等级优先等级: : 第一目标：第一目标： 即产品即产品的产量不大于的产量不大于的产量。的产量。 11dP第二目标：第二目标：即充分利用设备有效台时，不加班即充分利用设备有效台时，不加班)(222ddP第三目标：第三目标：即利润不小于即利润不小于 56 元元33dP达成函数：达成函数：)3,2, 1( 0 ,0,11 25

13、6108102 0 )(min21213321222111213322211iddxxxxddxxddxxddxxdPddPdPZii目标规划模型：目标规划模型：3322211)(mindPddPdPZ 若在引例中提出下列要求：若在引例中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标、完成或超额完成利润指标 50000元；元； 2、产品甲不超过、产品甲不超过 200件，产品乙不低于件，产品乙不低于 250件；件； 3、现有钢材、现有钢材 3600吨必须用完。吨必须用完。试建立目标规划模型。试建立目标规划模型。 分析：目标约束与系统约束分析：目标约束与系统约束例例2、maxZ1=70 x1 + 12

14、0 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0)4 . 3 . 2 . 1( 0 ., 03000 10 3 2000 5 4 36004 9 250 200 500001207021212144213322211121jddxxxxxddxxddxddxddxxjj解：设解：设x1， x2分别表示产品甲和产品乙的产量。分别表示产品甲和产品乙的产量。 di+, di- 分别为第分别为第i个目标的负、正偏差变量个目标的负、正偏差变量优先等级：题目有三个目标层次，包含四个目标值。

15、优先等级：题目有三个目标层次，包含四个目标值。 第一目标：第一目标： 第二目标：有两个要求即甲第二目标：有两个要求即甲 ，乙，乙 ，但两，但两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即可用单件利润比作为权系数即 70 :120，化简为，化简为7:12。11dP32 dd)127( 322ddP第三目标：第三目标：)(443 ddP达成函数：达成函数：)()127(min44332211ddPddPdPZ)4 . 3 . 2 . 1( 0 ., 03000 10 3 2000 5 4 36004 9 250 200 50

16、00012070)()127(min2121214421332221112144332211jddxxxxxddxxddxddxddxxddPddPdPZjj目标规划模型为：目标规划模型为：maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0)2 .1( 0 .n)1.2(j 0)2 .1( ).()2 .1( )(min1111LlddxmibxaLlqddxcddPZlljnjijijnjllljkjKkLllkllklk目标规划模型一般形式目标

17、规划模型一般形式建模的步骤建模的步骤 1 1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；目标值，列出目标约束与绝对约束； klkl和和 4 4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数重要程度的不同，赋予相应的权系数 。 3 3、给各目标赋予相应的优先因子、给各目标赋予相应的优先因子 P Pk k（k=1.2Kk=1.2K）。）。 2 2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只

18、需要给绝对约束加上负偏差转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。变量和减去正偏差变量即可。 5 5、根据决策者的要求，按下列情况之一、根据决策者的要求，按下列情况之一 构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。llddldld. .恰好达到目标值，取恰好达到目标值，取 。. .允许超过目标值，取允许超过目标值，取 。. .不允许超过目标值，取不允许超过目标值，取 。 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理目标规划是在线性规划

19、的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 2 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。 1 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。求得更切合实际的解。（三）目标规划与线性规划的比较（三）目标规划与线性规划的比较119 4 4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，

20、但需花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。 3 3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。120小结小结适用范围：适用范围：两个变量的目

21、标规划问题，两个变量的目标规划问题，优点：优点：操作简单操作简单有助于理解目标规划的求解原理和过程有助于理解目标规划的求解原理和过程。2.2.1 目标规划的图解法目标规划的图解法2.2 目标规划的求解方法目标规划的求解方法 3 对下一个优先级对下一个优先级Pi i求出求出解的区域解的区域 ，满足满足 4 重复重复3，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；确定目标规划的满意解。止；确定目标规划的满意解。 图解法解题步骤如下：图解法解题步骤如下： 1 画出约束条件的直线图形（包括绝对约束，对于画出约束条件的直线图形（包括绝对约束，对于目标约束目标约束暂不考虑

22、正负偏差变量），暂不考虑正负偏差变量），确定绝对约束的围确定绝对约束的围城的城的可行域可行域 ，偏差变量以直线移动的方向加以考虑，偏差变量以直线移动的方向加以考虑（即在目标约束所代表的直线上，用箭头标出正、负偏（即在目标约束所代表的直线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向）；差变量值增大的方向）； 2 对对P1级目标，确定解的区域级目标，确定解的区域 满足满足 ；,.)2 , 1(1iRRii01RR 1R0RiR例例3 3：顾客访问策略：顾客访问策略目标：目标：访问时间最好不超过访问时间最好不超过680680小时；小时；访问时间最好不少于访问时间最好不少于600600小时；小时；销售利润

23、尽量不少于销售利润尽量不少于70,00070,000；访问老顾客数最好不少于访问老顾客数最好不少于200200个；个；访问新顾客数最好不少于访问新顾客数最好不少于120120个个模型模型顾客访问策略顾客访问策略0 120 200000,70125250 60032 68032 5524413321222111215544332211所有变量ddxddxddxxddxxddxxStdPdPdPdPdPZMin0 120 200000,70125250 60032 68032 5524413321222111215544332211所有变量ddxddxddxxddxxddxxStdPdPdPdPd

24、PZMin目标规划的求解目标规划的求解-序贯算法序贯算法068032 11211所有变量ddxxStdZMin068032 0 211所有变量xxd第一级目标第一级目标X100300200600500400X21002003004005001(1)1d1d 060032 68032 2221212所有变量ddxxxxStdZMin第二级目标第二级目标06003268032 0 21212所有变量xxxxd(2)2d2d(1)1d1dX100300200600500400X21002003004005001第三级目标第三级目标 0000,701252506003268032 0 2121213所

25、有变量xxxxxxdX100300200600500400X21002003004005001(1)1d1d(2)2d2d(3)3d3d 0 000,70125250 60032 68032 332121213所有变量ddxxxxxxStdZMinX100300200600500400X21002003004005001(1)1d1d(2)2d2d(3)3d3d 0 200000,70125250 60032 68032 4412121214所有变量ddxxxxxxxStdZMin第四级目标第四级目标 0200000,701252506003268032 0 12121214所有变量xxxxx

26、xxd(4)4d4dX100300200600500400X21002003004005001(1)1d1d(2)2d2d(3)3d3d(4)4d4d(5)5d5d第五级目标第五级目标0 120 200000,70125250 60032 68032 55212121215所有变量ddxxxxxxxxStdZMin 0 120200000,701252506003268032 0 212121215所有变量xxxxxxxxd 某电视机厂装配黑白和彩色电视机，每装配一台某电视机厂装配黑白和彩色电视机，每装配一台电视机需占用装配线电视机需占用装配线1 1小时，装配线每周计划开动小时，装配线每周计划

27、开动4040小时。预计市场每周彩色电视机的销量是小时。预计市场每周彩色电视机的销量是2424台，台，每台可获利每台可获利8080元；黑白电视机的销量是元；黑白电视机的销量是3030台，每台台，每台可获利可获利4040元。该企业决策者确定的目标为：元。该企业决策者确定的目标为： 第一优先级：充分利用装配线每周计划开动第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时；小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过量不超过10小时；小时； 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因彩色电视机的

28、利润高，取其权数为因彩色电视机的利润高，取其权数为2。 试建立该问题的目标规划模型，并求解试建立该问题的目标规划模型，并求解黑白和彩色黑白和彩色电视机的产量。电视机的产量。例例4（书例（书例2-5）132A010 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 x2 x1B1d1d2d2dC 3d 3d 4d 4dDEFHGE(24 ,26)E(24 ,26)为所求的满意解。为所求的满意解。)41(0, 0,302450 40)2(min21442331222111214332211iddxxddxddxddxxddxxddPdPdPZii解：设解：设x1， x2

29、分别表示彩色和黑白电视机的产量。分别表示彩色和黑白电视机的产量。13301 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 Ax2 x1B1d1d2d2dC B (0.6250 , 4.6875) C (0 , 5.2083) ， B、C 线段上线段上的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。 )2 . 1(0, 0,8 2 102 5 .621210)(min21212221112122111lddxxxxddxxddxxdPddPZll例例5、用图解法求解目标规划问题、用图解法求解目标规划问题134 例例6、已知一个生产计划的线性规划模型为、已知一

30、个生产计划的线性规划模型为 01006014021230max21212121xxxxxxxZ)( )( )( 丙丙资资源源乙乙资资源源甲甲资资源源 其中目标函数为总利润，其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品为产品A、B产量。现产量。现有下列目标：有下列目标： 1、要求总利润必须超过、要求总利润必须超过 2500 元；元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产生产量不超过量不超过 60 件和件和 100 件；件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。试建立

31、目标规划模型，并用图解法求解。 解：以产品解：以产品 A A、B B 的单件利润比的单件利润比 2.5 2.5 ：1 1 为权系数，为权系数，模型如下：模型如下： )4 .3 .2 .1(0,010060140225001230)5 .2(min21442331222111212343211lddxddxddxddxxddxxdPddPdPZll 0 x2 0 x11401201008060402020 40 60 80 1002d2d1d1d3d3d4d4dABCD 结论：结论：C(60 ,58.3)C(60 ,58.3)为所求的满意解。为所求的满意解。作图：作图： )4 . 3 . 2 .

32、 1(0, 010060140225001230)5 . 2(min21442331222111212343211lddxddxddxddxxddxxdPddPdPZll 检验：将上述结果带入模型，因检验：将上述结果带入模型，因 0； 0； 0， 存在；存在； 0， 存在。所以，存在。所以，有下式：有下式： minZ=P3 2d2d1d1d3d3d4d4d2d 将将 x160， x2 58.3 带入约束条件，得带入约束条件，得30601258.32499.62500；260+58.3=178.3 140；16060158.358.3 100 由上可知：若由上可知：若A A、B B的计划产量为的

33、计划产量为6060件和件和58.358.3件时，所需甲资件时，所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低此，企业必须采取措施降低A A、B B产品对甲资源的消耗量，由原产品对甲资源的消耗量，由原来的来的100100降至降至78.578.5（140140178.3178.30.7850.785），才能使生产方），才能使生产方案（案（6060，58.358.3）成为可行方案。）成为可行方案。应用举例应用举例例例7（人事问题）（人事问题）某单位领导在考虑本单位职工的升某单位领导在考虑本单位职工的升级调资

34、方案时，依次遵守以下规定：级调资方案时，依次遵守以下规定：1、不超过年工资总额、不超过年工资总额60000元；元；2、每级的人数不超过定编规定的人数；、每级的人数不超过定编规定的人数；3、II，III级的升级面尽可能达到现有人数的级的升级面尽可能达到现有人数的20%，且无越级提升；，且无越级提升；4、III级不足编制的人数可录用新职工，又级不足编制的人数可录用新职工，又I级职工中有级职工中有10%要退休。要退休。有关资料汇总于下表，问该领导应如何拟订一个满意的方案。有关资料汇总于下表，问该领导应如何拟订一个满意的方案。解：设解：设x1， x2 ， x3分别表示提升分别表示提升I，II级和录用到

35、级和录用到III级的级的新职工人数。新职工人数。 di+, di-分别为第分别为第i个目标的负、正偏差变量个目标的负、正偏差变量第一优先级第一优先级P1：不超过年工资总额不超过年工资总额60000元；元；第二优先级第二优先级P2 ：每级的人数不超过定编规定的人数；：每级的人数不超过定编规定的人数；第三优先级第三优先级P3 ： II，III级的升级面尽可能达到现有人数的级的升级面尽可能达到现有人数的20%。确定优先因子：确定优先因子：60000)15(1000)12(1500)1 . 01010(20001132211 ddxxxxx建立目标约束：建立目标约束：年工资总额不超过年工资总额不超过6

36、0000元元每级的人数不超过定编规定的人数：每级的人数不超过定编规定的人数：对对I级有：级有：12)1 . 01010(221 ddx对对II级有：级有：15123321 ddxx对对III级有：级有：15154432 ddxxII，III级的升级面尽可能达到现有人数的级的升级面尽可能达到现有人数的20%：达成函数：达成函数：对对II级有：级有：2.012551 ddx对对III级有：级有：2 . 015662 ddx)()(min653432211 ddPdddPdPZ目标规划模型：目标规划模型： )61(0,0,34.2033475.05.0)()(min32166255144323321

37、22111321653432211iddxxxddxddxddxxddxxddxddxxxddPdddPdPZii用单纯形法求解得多重解，如下表用单纯形法求解得多重解，如下表已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价见下表。有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七和单位运价见下表。有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：项目标，并规定其相应的优先等级：P1B4是重点保证单位，必须全部满足其需求；是重点保证单位，必须全部满足其需求；P2 A3向向B1提供的产量不小于提供的产量不小于100；

38、P3每个销地的供应量不小于其需求量的每个销地的供应量不小于其需求量的80；P4所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10；P5因路段的问题，尽量避免安排将因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往的产品运往B4；P6给给B1和和B3的供应率要相同；的供应率要相同；P7力求总运费最省。力求总运费最省。试求满意的调运方案。试求满意的调运方案。例例8 8（运输问题）（运输问题）解：在不考虑优先等级的情况下，用表上作业法可求得解：在不考虑优先等级的情况下，用表上作业法可求得最小运费的调运方案，再根据提出的目标要求建立目标最小运费的调运方案，再根据提出的

39、目标要求建立目标规划模型。规划模型。 销销地地 产产地地 B B1 1 B B2 2 B B3 3 B B4 4 产产量量 A A1 1 A A2 2 A A3 3 A A4 4 2 20 00 0 0 0 1 10 00 0 2 20 00 0 2 25 50 0 1 15 50 0 1 10 00 0 3 30 00 0 2 20 00 0 4 40 00 0 1 10 00 0 销销量量 2 20 00 0 1 10 00 0 4 45 50 0 2 25 50 0 最小运费的调运方案最小运费的调运方案最小运费最小运费=2950元。元。 供应约束：供应约束：建立目标模型：建立目标模型：4

40、00200300343332312423222114131211xxxxxxxxxxxx 需求约束：需求约束：25045010020044342414333323132232221211312111ddxxxddxxxddxxxddxxxA3向向B1提供的产量不小于提供的产量不小于100：1005531ddx每个销地的供应量不小于其需求量的每个销地的供应量不小于其需求量的80：8 . 02508 . 04508 . 01008 . 020099342414883323137732221266312111ddxxxddxxxddxxxddxxx%)101(295010103141 ddxciji

41、jij调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10：因路段的问题，尽量避免安排将因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往的产品运往B4：0111124ddxB1和和B3的供应率要相同：的供应率要相同：0)(450200)(1212332313312111ddxxxxxx力求总运费最省：力求总运费最省：295013133141 ddxcijijij达成函数为：达成函数为：13712126115104987635211)()(mindPddPdPdPddddPdPdPZ 某电子公司生产录音机和收音机两种产品，它们均需某电子公司生产录音机和收音机两种产品，它

42、们均需经过两个工厂加工，每一台录音机在第一个工厂加工经过两个工厂加工，每一台录音机在第一个工厂加工2 2小时，然后送到第二个工厂装配试验小时，然后送到第二个工厂装配试验2.52.5小时才变为小时才变为成品；每一台收音机需在第一个工厂加工成品；每一台收音机需在第一个工厂加工4 4小时，在小时，在第二个工厂装配试验第二个工厂装配试验1.51.5小时才变为成品。录音机与小时才变为成品。录音机与收音机每台厂内的每月储存成本分别为收音机每台厂内的每月储存成本分别为8 8元和元和1515元。元。第一个工厂有第一个工厂有1212部制造机器，每部每天工作部制造机器，每部每天工作8 8小时，小时，每月正常工作天

43、数为每月正常工作天数为2525天，第二个工厂有天，第二个工厂有7 7部装配试部装配试验设备，每部每天工作验设备，每部每天工作1616小时，每月正常工作天数仍小时，每月正常工作天数仍为为2525天。每台机器每小时的运转成本是：第一个工厂天。每台机器每小时的运转成本是：第一个工厂为为1818元，第二个工厂为元，第二个工厂为1515元。每台录音机的销售利润元。每台录音机的销售利润为为2020元，收音机为元，收音机为2323元。依市场预测，下月录音机与元。依市场预测，下月录音机与收音机的销售量估计分别为收音机的销售量估计分别为15001500台和台和10001000台。台。例例9 9（生产问题）（生产

44、问题）该公司确定下列次序为目标优先次序：该公司确定下列次序为目标优先次序： P1：厂内的储存成本不超过厂内的储存成本不超过2300023000元。元。P2 ：录音机销售量必须完成录音机销售量必须完成15001500台。台。P3 ：第一、二工厂的生产设备应全力运转，避免有第一、二工厂的生产设备应全力运转，避免有空闲时间。两厂运转成本当作它们间的权系数。空闲时间。两厂运转成本当作它们间的权系数。P4 ：第一个工厂的超时作业时间全月份不宜超过第一个工厂的超时作业时间全月份不宜超过3030小时。小时。P5 ：收音机销售量必须完成收音机销售量必须完成10001000台。台。P6 ：两个工厂的超时工作时间

45、总应予限制，其限制两个工厂的超时工作时间总应予限制，其限制的比率依各厂每小时运转成本为准。的比率依各厂每小时运转成本为准。 试建立这个问题的目标规划模型。试建立这个问题的目标规划模型。解解 设设x1,x2分别表示次月份录音机与收音机的产量。分别表示次月份录音机与收音机的产量。 di+, di-分别为第分别为第i个目标的负、正偏差变量。个目标的负、正偏差变量。（1 1）第一、二工厂设备运转时间约束：）第一、二工厂设备运转时间约束：第一个工厂设备总能力：第一个工厂设备总能力：8 8121225=240025=2400小时小时第二个工厂设备总能力：第二个工厂设备总能力：16167 725=28002

46、5=2800小时小时于是于是28005 . 15 . 224004222211121ddxxddxx（2 2）厂内储存成本约束：）厂内储存成本约束：230001583321ddxx（3 3）销售目标约束：）销售目标约束：10001500552441ddxddx（4 4）第一个工厂超时作业之约束：）第一个工厂超时作业之约束：3011111ddd1d注意：这里对偏差变量注意：这里对偏差变量 引进它的偏差变量，且用引进它的偏差变量，且用（5 5）达成函数为：）达成函数为：1111, dd分别表示它的负、正偏差变量。分别表示它的负、正偏差变量。)56()56(min216551142134231ddp

47、dpdpddpdpdpf达成函数中达成函数中 级目标的权系数是取第一、第二两工级目标的权系数是取第一、第二两工厂每小时运转成本比率厂每小时运转成本比率18：15=6：5。综合上述分析，即得这个问题的目标规划模型如下：综合上述分析，即得这个问题的目标规划模型如下：63pp 和约束条件：约束条件：)56()56(min216551142134231ddpdpdpddpdpdpf11, 5 , 2 , 1 0,30100015002300015828005 . 15 . 22400422111111552441332122211121iddxxdddddxddxddxxddxxddxxii目标约束中

48、偏差变量的选择目标约束中偏差变量的选择 目前的有关目标规划的文献往往给人们这目前的有关目标规划的文献往往给人们这样一种印象，似乎模型中目标约束中的正样一种印象，似乎模型中目标约束中的正负偏差变量要成对出现。而实际上决策者负偏差变量要成对出现。而实际上决策者在解决实际多目标决策问题时，模型中目在解决实际多目标决策问题时，模型中目标约束中的正负偏差变量可能只出现一个标约束中的正负偏差变量可能只出现一个（正偏变量或负偏差变量）或成对出现。（正偏变量或负偏差变量）或成对出现。目标约束中偏差变量的正确选择对于多目目标约束中偏差变量的正确选择对于多目标决策问题的求解结果有很大的影响，决标决策问题的求解结果

49、有很大的影响，决策者应该根据实际决策情况选择目标约束策者应该根据实际决策情况选择目标约束中的偏差变量中的偏差变量. . 例例10 某企业在计划期内生产两种产品。每生产某企业在计划期内生产两种产品。每生产一件产品一件产品1 1可以获利可以获利1212元，每生产一件产品元，每生产一件产品2 2可以可以获利获利1414元，生产一件产品元，生产一件产品1 1所需设备所需设备A A和设备和设备B B的台的台时分别为时分别为8 8台时和台时和1010台时，生产一件产品台时，生产一件产品2 2所需设所需设备备A A和设备和设备B B的台时分别为的台时分别为1010台时和台时和6 6台时。设备台时。设备A A

50、和设备和设备B B的有效台时分别为的有效台时分别为15001500台时和台时和10001000台时，台时，该企业决策者确定的目标优先级为：该企业决策者确定的目标优先级为： 第一优先级：实现利润不低于第一优先级：实现利润不低于50005000元；元； 第二优先级：充分利用设备第二优先级：充分利用设备A A和设备和设备B B的有效台时的有效台时 问问: :如何安排产品如何安排产品1 1和产品和产品2 2的生产的生产. . 建立目标规划模型时，企业决策者需要从建立目标规划模型时，企业决策者需要从两个方面进行考虑：首先要考虑现有的设两个方面进行考虑：首先要考虑现有的设备资源在短期内能否满足所提出的目标

51、，备资源在短期内能否满足所提出的目标，短期内设备的生产能力难以改变，所以这短期内设备的生产能力难以改变，所以这属于短期规划决策问题。其次是如果现有属于短期规划决策问题。其次是如果现有设备的生产能力不能满足既定的目标，那设备的生产能力不能满足既定的目标，那么要实现上述目标，在长期内又应该如何么要实现上述目标，在长期内又应该如何决策，因为设备的生产能力在长期可以改决策，因为设备的生产能力在长期可以改变，所以这属于长期规划决策问题。变，所以这属于长期规划决策问题。 设产品设产品1 1的产量为的产量为x1，产品，产品2 2的产量为的产量为x2 ，短期规划决策目标规划模型为：短期规划决策目标规划模型为：

52、)(min32211ddPdPz0,1000610150010850001412321213212211121dddxxdxxdxxddxx 利用解目标规划的单纯形法，模型的满意解为，利用解目标规划的单纯形法，模型的满意解为， 其余变量为零，即产品其余变量为零，即产品1的产量为的产量为19.23单位单位,产品产品2的产量为的产量为134.62单位。可以验证，实际利润为单位。可以验证，实际利润为2115.38元元,第一优先级的目标没有完成，设备第一优先级的目标没有完成，设备A和和设备设备B的有效台时得到充分的利用的有效台时得到充分的利用,第二优先级的第二优先级的目标完成。这说明了在短期内，即使现

53、有设备的目标完成。这说明了在短期内，即使现有设备的生产能力得到充分的利用，仍然不能实现决策者生产能力得到充分的利用，仍然不能实现决策者所提出的利润目标。所提出的利润目标。 62.2884,62.134,23.191*2*1dxx 与短期规划决策目标模型不同，因为设备的生产与短期规划决策目标模型不同，因为设备的生产能力在长期可以改变，长期规划决策目标规划模能力在长期可以改变，长期规划决策目标规划模型在设备生产能力目标约束中同时考虑了正负偏型在设备生产能力目标约束中同时考虑了正负偏差变量，其模型为：差变量，其模型为： )(min32211ddPdPz0,100061015001085000141232132121332122211121ddddddxxddxxddxxddxx 可以求出模型的满意解为，可以求出模型的满意解为， 其余变量为零，即产品其余变量为零，即产品1 1的产量为的产量为416.67416.67单位，不单位，不生产产品生产产品2 2，两个优先级的目标都得到完成。由两，两个优先级的目标都得到完成。由两个正偏差变量的值可以看出：从长期来看，要实个正偏差变量的值可以看出：从长期来看，要实现决策者既定的利润目标，现有设备现决策者既定