吉林大学线性代数线性代数18课xm42

1、第四章 第二节向量组的线性相关性线性相关v称为a是线性相关。v否则，称为a是线性无关的。12122:,mmmak kkkkk12m1a ,a ,aaaa0如果存在不全为零的使得1234 , 5 , 6789123014-2516078901230104-20510607890124 =2578 （ ）（）3- 693216 =25 - 4987213115 =4622879 线性相关线性无关线性相关线性无关几何意义1m a0a0，线性相关，线性无关2m 12a ,a 线性相关两个向量共线3m 3,12a ,a a 线性相关三个向量共面123123123045607890123045607890

2、( )a() ( )= akkkkkkar aar aa x0 x0 x0列数有非零解线性相关列数只有零列解满秩线性无关线性相关和线性表示12211221121121:,(2)01()mmmmmmamkkkkkkk12m1m12m-112m-1ma ,a ,aaaa0aaaaaaaaaaa0齐次线性方程组是否有解122:,(,a)ammaaxxxa12m12m1a ,a ,aa ,a ,aaaa0 x0有非零解？有非零解？是否列满秩列满秩？线性无关例题412( ,)| 10( )neer en e ee例题5233331021 ,2 ,4 ,157,102102102(,)124 022 02

3、2157055000(,)2()2rr 11212121212aaaa ,a aa ,aa ,a aa ,a aa ,a例题633,101()(,) 110011()| 20bakbbaka kkk1211222333112312a ,a ab = a +ab = a +ab = a +ab ,b ,ba ,a ax0 x0 x0 x0线性无关线性无关列满秩另一种证法v列满秩：线性无关3101()(,) 110011| 20( )( )( )3( )3bakkr br ar ar b12312b ,b ,ba ,a a定理5i)若a线性相关，则b线性相关；若b线性无关，则a线性无关ii)m个n

4、维向量组（nm）必然线性相关。1:,:,ab12m12mma ,a ,aa ,a ,aa):,:,iiiaba12m12ma ,a ,aa ,a ,abb如果线性无关，线性相关，则 一定可以有 唯一的线性表示。第一结论证明1(,)(,)( )( )1( )( )( )11aabr br ar amr br am 12m12mma ,a ,aa ,a ,aa不是列满秩，所以线性相关。1221122+1:,:,0mmmmmakkkbkkk12m112mm1a ,a ,aaaa0a ,a ,aaaaaa0线性相关必然也线性相关更直观的证明334,1212a ,a ,aa ,a ,aa线性相关线性相关

5、线性相关意味着有冗余向量31212a ,a ,aa ,a线性无关线性无关第二结论证明,(,)( )( )aan mar annmr am12m12ma ,a ,aa ,a ,a不是列满秩线性相关123123123123123135246135024601350,24603502460123456kkkkkkkkkkkkkkk ，是否线性相关？是否有非零解与，同时正交三维空间中，必然存在非零解。第三结论证明(,)(, )( )( )( )( )1( )1( )( )( )(,)abr ar br amr bmmr bmr bmr ar bm12m12m12ma ,a ,aa ,a ,aba ,a

6、 ,axb有唯一解。122001220122122111:,:,01()a()()mmmmmmmmmmmiiabkkkkakkkkkkkklllklklakl 12m12m1111a ,a ,aa ,a ,abaaab0baaabaaabaaa0aa线性无关, 线性相关线性无关可以由 线性表示表示是否唯一？设两式相减线性无关系数唯一。3332321,kkk12121ba ,a ,aab,a aaaa线性无关性相关, 线例题73234234232342332323423234232341)2)2)121112111a ,a ,aa ,a ,aaa ,aaa ,a ,aa ,a ,aa ,aa ,a ,aaa ,aa ,aaa ,a ,aaa ,aaa