计算机图形学教学资料第9讲-5-1二维坐标变换

1、2021-10-211第五章 图形变换及显示interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-212为什么要进行图形变换n光栅图形n工程师绘图工程师甲工程师乙图形定义空间:屏幕？的解决：图形变换interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-213坐标变换的作用bkxycx 例：interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-214坐标变换它们的关系是：的两组基线性空间维是，与，若,2121vnnn的过渡矩阵。到为由基称的基变换。，称其为,av),(),(21

2、212121nnnna换的坐标变换。称其为相应于上述基变，则：及别是关于这两组基的坐标分中向量设tnnnnaxxxyyyyyyxxxv)(,(),(),(),(121212121interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-215几何变换基础：齐次坐标(homogeneous coordinate)0),(),(0),(),(hhhzhyhxzyxhhhyhxyx1h通常令interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-216续:xyw 例:在xyw 齐次坐标空间中,点 p( x, y, w ) 在

3、w = 1 平面上的投影是(x, y)pinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2173d变换的代数表示10001343332312423222114131211zyxazayaxazazayaxayazayaxax),( :),(zyxzyx；变换后变换前：interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-218矩阵表示1144434241343332312423222114131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxn引入齐次坐标后0 0 0 1interactive comput

4、er graphics-交互式计算机图形学2021-10-219坐标系固定，图形变换说明：变换的两种实现方式图形固定，坐标系变换在固定坐标系下对点集的变换，等价于对该坐标系进行相应的逆变换interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2110续 证明：假设固定坐标系下进行的变换表示为矩阵t1，变换前后的点集记为a，b.则 b=at1,.若图形固定不变，则变换前后需采用不同的基底（分记为x和x）表示图形即bx=ax, 因此， x=t1-1xinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2111本章内容

5、n二维几何变换n二维观察流程n三维几何变换n投影变换n三维显示流程如何使用户坐标系下定义的图形在屏幕上显示出来interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2112第一节 二维几何变换n平移变换n旋转变换n缩放变换n反射变换n错切变换n复合变换n坐标系变换n变换的光栅方法interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2113变换的表示:变换矩阵232221131211cycxcycycxcx11001232221131211yxccccccyx旋转、比例、错切平移整体比例投影interactive

6、computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2114平移变换（平移变换（1）n平移指将物体沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位，即称为平移向量其中tyxyxtttyytxx),(平移变换效果演示yxttyxyxn该式可写成向量形式：interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2115平移变换（2）采用齐次坐标方式描述为：ptyxttyxpyx1.10010011 称 为平移矩阵。tinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2116平移变换（3）n图形的平

7、移：刚体变换n物体上各点做同样的平移操作n图形关键点的平移及图形重定义n逆变换：10010011yxtttinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2117旋转变换（旋转变换（1）n二维旋转是将物体沿平面内的圆弧路径重定位。旋转变换效果演示需要指定旋转角和旋转基准点的位置：旋转角的正值定义基准点逆时针旋转负值则以顺时针方向旋转物体默认情况下以坐标原点为旋转基准点interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-21181000cossin0sincos)(r绕坐标原点的旋转变换（绕坐标原点的旋转变换

8、（2）prp)( 使用齐次坐标表示为：其中：称为旋转变换矩阵r),(yx),(yx逆变换:)(rinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2119绕任意基准点的旋转变换（3）),()(),(0000yxyxtrt),(yx),(yx，则变换可复合实现设基准点为：),(00yx),(yx),(yx),(00yxptpyx),(00 ),( 00ptpyx),(yx),(yx),(00yx)( prp),(00yxinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2120图元的旋转变换（4）n旋转变换是

9、刚体变换n图元上各点旋转同样角度：n旋转定义点并重定义图元interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2121缩放变换（缩放变换（1）n缩放变换是指对点的x，y坐标值进行缩放。变换的表达式为： 1000000yxssspsp，缩放效果演示其中sx , sy 称为缩放系数，可取任何正数;s称为缩放矩阵。interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2122缩放变换（缩放变换（2）缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示缩放比例不同，定位距离也不同当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；yxss当 时

10、，物体发生等比变换，否则发生差值缩放，产生变形。interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2123指定缩放固定点的指定缩放固定点的缩放变换（缩放变换（3）n缩放固定点：缩放后不改变位置的点，记为 ),(refrefyx由平移变换、相对于原点的缩放及逆平移变换复合而成interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2124指定缩放固定点的指定缩放固定点的缩放变换（缩放变换（4）1100)1 (0)1 (01yxsyssxsyxyrefyxrefx变换公式为：ptstprefrefyxrefrefyx

11、ssyx),(),(),(interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2125图元的图元的缩放变换（缩放变换（5）n多边形n缩放顶点，由新顶点定义多边形n圆（中心对称图形）n缩放半径，并在原圆心绘制圆n给定定义参数的图形n对定义参数进行变换并重定义图元interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2126反射变换（反射变换（1）n是产生物体镜象的一种变换，也称为对称变换。n变换的一般形式为：1100001yxebdayxinteractive computer graphics-交互式计算机图形学

12、2021-10-2127反射变换（反射变换（2）n关于x轴的反射变换： a=1，b=d=0，e=-1；11000100011yxyxinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2128反射变换（反射变换（3）关于y轴的反射变换：a=-1，b=d=0，e=1；11000100011yxyxinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2129反射变换（反射变换（4）关于原点的反射变换：a=-1，b=d=0，e=-1；11000100011yxyx等价于绕原点进行180度的旋转变换。interacti

13、ve computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2130反射变换（反射变换（5）关于x=y轴的反射变换：a=e=0，b=d=1；11000010101yxyx关于x=-y轴的反射变换：a=e=0，b=d=-1；11000010101yxyxinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2131反射变换（反射变换（6）关于任意轴的对称变换trsrtx11interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2132错切变换（错切变换（1）n定义：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另

14、一坐标值关于该坐标值呈线性变化。n变换矩阵的一般形式11bxydyxyxb=0或者d=011000101yxbdinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2133错切变换（错切变换（2）n相对于x轴的错切:b=01100010011yxdyx错切效果图依赖轴方向轴x方向的错切效果演示interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2134错切变换（错切变换（3）相对于y=yref的错切), 0), 0(refrefytayta（错切错切错切效果图110001011yxyrefddyxinterac

15、tive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2135错切变换（错切变换（4）相对于y轴的错切:d=01100010011yxbyx错切效果图y方向的错切效果演示interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2136错切变换（错切变换（5）相对于x=xref的错切110010011yxxrefbbyx错切效果图)0 ,)0 ,(refrefxtbxtb（错切错切interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2137复合变换复合变换n可由其它变换组合实现的 变换n如：

16、关于任意点的旋转由平移、绕原点的旋转及平移变换合成得到。n一种非常有效的构造变换的方式n复合变换的数学表达等同于矩阵乘法n利用矩阵乘法结合率可带来计算效率的改进n注意：矩阵复合顺序interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2138坐标系变换（坐标系变换（1）n目的：目的：n把已定义的图形变换到新的坐标系下把已定义的图形变换到新的坐标系下n实现：实现：n直接指定新坐标系直接指定新坐标系n定义新坐标系的定义新坐标系的y方向方向interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2139坐标系变换（坐标系变

17、换（2）直接指定新坐标系时：利用变换复合实现坐标系变换直接指定新坐标系时：利用变换复合实现坐标系变换(x0,y0)(1)坐标系的平移：坐标系的平移：t（-x0，-y0）(2)坐标系的旋转：坐标系的旋转：r()(3)单位长度变换(4)以上变换合成（注意顺序）interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2140坐标系变换（3）n变换矩阵为：),()(00yxtr100cossinsincosyxtt即：0000cossinsincos:yxtyxtyx；其中interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10

18、-2141坐标系变换（坐标系变换（4）定义新坐标系的定义新坐标系的y方向时方向时y轴单位化：轴单位化：(x0,y0)(x1,y1),(0101yxyvvppppx轴的定义：轴的定义：),(),(yxxyxuuvv变换矩阵：变换矩阵：10000yvvxuuyxyxinteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2142变换的光栅方法变换的光栅方法n利用硬件实现上述坐标变换的方法。利用硬件实现上述坐标变换的方法。n如平移变换：块操作如平移变换：块操作可由图形加速卡实现。可由图形加速卡实现。gpu编程可实现更多的图形操作。编程可实现更多的图形操作。int

19、eractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2143小结：n变换类型n变换的表示：齐次坐标，变换矩阵n变换的复合n坐标系的变换2021-10-2144第二节 二维观察流程interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2145相关概念（1）n用户域wdn连续且无限n窗口区wn矩形、可嵌套n用户坐标系wcn世界坐标系n右手直角坐标系interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2146相关概念（2）n屏幕域n设备输出图形的最大可用区域n视图区n定义图形在输出设

20、备上的显示位置及大小n可嵌套n屏幕坐标系n（规格化）设备坐标系的统称n设备坐标系：以象素为单位n规格化设备坐标系：-1，1-a，ainteractive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2147观察参考坐标系vc相关概念（3）interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2148二维观察流程（1）工程师甲工程师乙模型坐标系模型坐标系世界坐标系窗口区观察坐标系规格化设备坐标系视图区屏幕坐标系interactive computer graphics-交互式计算机图形学2021-10-2149二维观察流程（2）n在模型坐标系下定义物体，并置于世界坐标系中n定义观察参考坐标系n选择观察点（观察坐标系原点）n选择观察方向（观察坐标系y轴方向）n世界坐标系到观察参考坐标系的变换n指定观察窗口（裁剪）n窗口到视区的变换n规范化设备坐标系到设备坐标系的变换interactive computer graphics-交互式计算机图形学