第22讲 求和约定和应力张量

1、2021-10-131张贵杰张贵杰Tel-Mail： 河北联合大学金属材料及加工工程系河北联合大学金属材料及加工工程系金属塑性变形理论金属塑性变形理论第第22讲讲2021-10-132第十章 应力状态分析主要内容Main Content 应力状态基本概念应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 主应力及主切应力主应力及主切应力 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2021-10-13310.3 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 10.3.1 求和约定求和约定 为了简化公式和书写的方便，我们常采用求为了简

2、化公式和书写的方便，我们常采用求和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：矩阵与向量的乘法： zyzxzzyyxyzxyxx zyxlll zzyyzxxzzzyyyxxyzzxyyxxxlllllllll zyxiiizzyxiiiyzyxiiixlll,2021-10-134 其中等式右边各项可以写为其中等式右边各项可以写为 或去掉求或去掉求和符号而直接写为和符号而直接写为 。 其中有一特征：同一项中其中有一特征：同一项中 i 为重复下标，为重复下标，逢重复下标就相加，该下标称为逢重复下标就相加，该下标称为哑标哑标。非。非重复下标重复下标

3、 j 称为称为自由标自由标。 zyxjiiijl,iijliijammjb哑标哑标哑标哑标自由标自由标2021-10-135 求和约定的注意要点：求和约定的注意要点： 哑标是说明求和的记号，用什么字母表示哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无关紧要。如无关紧要。如iin313 2 1 、或，、zyxkji)(31zyxjj31kk312021-10-136 方程式左右两边的自由标必须相同。例如：方程式左右两边的自由标必须相同。例如： jijinpjkijikqprnjmnimijba ，、zyxnmkji2021-10-137njmnimijba练习：把如下公式展开，以练习：把如下公式展开，以

4、 为例。为例。12) 3 2 1(，、nmji12111112ba122112ba123113ba221211ba222212ba223213ba321311ba322312ba323313ba?23ijjiijuu,21“，”表示求导数表示求导数juuiji,其中其中2012-4-10-2, 2012-4-11-32021-10-13810.3.2 应力张量应力张量 在斜面上的应力分析中，我们得到在斜面上的应力分析中，我们得到 nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx nmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynx 用矩阵表示为用矩阵表示为2012-11-1

5、-22021-10-139 变形体内任意点的应力状态可以通过该点且变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。量来表示。 根据这九个应力分量的特点，我们可以采用根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。一种新的方法来表示它们，如下表所示。xyzyxxyzyyzxzzx2021-10-1310 zyzxzzyyxyzxyxx x面面y面面z面面x方向方向y方向方向z方向方向2021-10-1311 去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。

6、符号表示该矩阵。 zyzxzzyyxyzxyxx Tij 2021-10-1312 该矩阵的特点：该矩阵的特点： 由材料力学剪切应力互等定律，有由材料力学剪切应力互等定律，有 则此矩阵为一对称矩阵。则此矩阵为一对称矩阵。 该对称矩阵称为该对称矩阵称为二阶对称应力张量二阶对称应力张量，矩阵，矩阵中的元素称为中的元素称为应力张量分量应力张量分量。 yxxyzyyzxzzx zyzxzzyyxyzxyxx 2021-10-1313 张量在力学中是一个十分重要的概念。张量在力学中是一个十分重要的概念。 标量是一个仅由标量是一个仅由数的大小数的大小表征的量，如温表征的量，如温度、质量、能量等。度、质量、

7、能量等。 矢量是由矢量是由数的大小数的大小和和方向方向来表征的量，来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。表示。 张量则是由张量则是由数的大小、数的大小、方向方向和和方位方位来表来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。征的量，如应力张量、应变速度张量等。2021-10-1314 标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量零阶张量。 矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在

8、的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。坐标变换。jijiuau jjiiuauija为正交矩阵，有为正交矩阵，有jiTijijaaa1矢量可以称之为矢量可以称之为一阶张量一阶张量2021-10-1315 而张量相当于矢量的某种集合，既包含了而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。关，存在坐标变换。 , ,321uuuTzzzyyyxxxuuuuuuuuu321321321njmnimijaajnmnmiijaa具有如此坐标变换的张量称为具有如此坐标变换的张量称为二阶张量二阶张量202