924-四小结思考题

1、四、小结四、小结 思考题思考题二、二分法二、二分法三、切线法三、切线法一、问题的提出一、问题的提出2/172 2、求近似实根的步骤：、求近似实根的步骤：确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离间间称称为为所所求求实实根根的的隔隔离离区区区区间间区区间间内内的的唯唯一一实实根根使使所所求求的的根根是是位位于于这这个个确确定定一一个个区区间间,baba高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难，希高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难，希望寻求方程近似根的有效计算方法望寻求方程近似根的有效计算方法1 1、问题、问题轴轴交交点点的的大大概概位位置置出出它它与与的的图图形形，然

2、然后后从从图图上上定定如如图图，精精确确画画出出xxfy)( 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的 近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根常用方法常用方法二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）3/17区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅有一个实根内仅有一个实根在在，且方程，且方程，设设,),()(0)()(,)(babaxfbfafbacxf ；，则则若若110)( f).(2,11 fbaba，计算，计算的中点的中点取取 1 1、

3、作法、作法,)()(1111bbaaff 同同号号，则则取取与与若若);(210)()(111111ababbabfaf ，且且即即知知，由由 及及也也有有同同号号，则则取取与与若若111111,)()(babaabff );(2111abab );(21,1111ababba 且且时，可求得时，可求得当当总之总之 );(21)(21,2222211211ababbababa 且且时时，可可求求得得复复上上述述做做法法，当当作作为为新新的的隔隔离离区区间间，重重以以 ).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重复如此重复 4/17小小于于的的近近似似值值，那那么么其其误误差

4、差作作为为或或如如果果以以)(21abbannn 2 2、实例分析、实例分析.10,04 . 19 . 01 . 11323 使使误误差差不不超超过过近近似似值值的的实实根根的的用用二二分分法法求求方方程程例例xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(内连续内连续在在显然显然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(内单调增加内单调增加在在故故xf如图如图至至多多有有一一个个实实根根0)( xf, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff. 1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf.1 ,

5、 0, 1, 0即即是是一一个个隔隔离离区区间间取取 ba下面计算得下面计算得: :5/17; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 ;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672.

6、0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 .10,671. 0,670. 03 其其误误差差都都小小于于作作为为根根的的过过剩剩近近似似值值作作为为根根的的不不足足近近似似值值即即6/17更接近方程的根更接近方程的根比比横坐标横坐标轴的交点的轴的交点的作切线，这切线与作切线

7、，这切线与那个端点（此端点记作那个端点（此端点记作同号的同号的在纵坐标与在纵坐标与 0100)(,()(xxxxfxxf 是根的一个隔离区间是根的一个隔离区间，内有唯一个的实根内有唯一个的实根在在上保持定号则方程上保持定号则方程在在及及，且，且上具有二阶导数，上具有二阶导数，在在设设,),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf 定义定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做实根的近似值，这种方法叫做切线法切线法（牛顿法）（牛顿法）1 1、作法、作法如图，如图，abxyoab 1x)(x

8、fy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxfbfaf,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 则切线方程为则切线方程为7/17作切线，作切线，在点在点)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf 可记可记同号同号与与如果如果注意注意abxyoab 1x)(xfy 2x,)()(0001xfxfxx .01 更更接接近近方方程程的的根根比比xx:, 0轴轴交交点点的的横横坐坐标标得得到到切切线线与与令令xy 8/17.10,04 . 19 .

9、 01 . 12323 使误差不超过使误差不超过近似值近似值的实根的的实根的用切线法求方程用切线法求方程例例xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是是一一个个隔隔离离区区间间上，上，如图，在如图，在 1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf2 2、实例分析、实例分析同号，同号，与与)()(xfxf . 10 x令令代入代入(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674.

10、0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx计算停止计算停止. .10,671. 03 其误差都小于其误差都小于得根的近似值为得根的近似值为9/171 1、问题、问题一、问题的提出一、问题的提出2 2、求近似实根的步骤、求近似实根的步骤二、二分法二、二分法1 1、作法、作法2 2、实例分析、实例分析三、切线法三、切线法1 1、作法、作法2 2、实例分析、实例分析四、小结四、小结1 1、求方程近似实根的常用方法、求方程近似实根的常用方法: :二分法、切线法二分法、切线法( (牛顿法牛顿法) )、割线法、割线法2 2、切线法实质：、切线法实质：特定的迭代法特定的迭代法求方程的根的迭代法是指由根的近求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发似值出发, ,通过递推公式将近似值加通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程以精确化的反复演算过程. .基本思想基本思想: :)(0)(xxxf )()()(xfxfxx 优点优点: :1 1、形式简单便于计算、形式简单便于计算; ;2 2、形式多样便于选择、形式多样便于选择. .作业：作业：第第180180页页 1 1；2 2 。10/17误差不超过误差不超过使使