定积分PPT学习教案

1、会计学1定积分定积分 定积分概念dxxfba)(.1 定义：第1页/共33页注注(1)(1)定积分是一个数值定积分是一个数值与被积函数有关。与被积函数有关。bababadyyfdttfdxxf)()()(2)定积分的值只与区间长度有关，第2页/共33页第3页/共33页第4页/共33页第5页/共33页第6页/共33页第7页/共33页第8页/共33页第9页/共33页xxtdtdxd2sin1 求例)0(sin220 xdttxdxdx求例30sin01lim. 32xdtextx求例.sinlim ).2(32020 xdttxx第10页/共33页第11页/共33页baaFbFdxxf)()()(

2、则则)()(xfxF是是连连续续函函数数如如果果函函数数,上上的的一一个个原原函函数数在在区区间间ba定理：牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式)()()()(aFbFxFdxxfbaba第12页/共33页31)01(3131)1(103102xdxx2lnln)2(1212xxdxxysin0 0cossin0 xxdxs计计算算下下列列定定积积分分例例:解解轴轴上上与与在在计计算算正正弦弦曲曲线线xxy, 0sin)3( 积积所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面20cos)(cos 第13页/共33页例例4 求求 .)1sincos2(20dxxx分段函数的定积分.121

3、0dxxx例：4121323221.22.1221121232103221012122210121xxxxdxxxdxxxdxxxdxxx解：原式第14页/共33页.dsinsin03xxx计计算算积积分分练习：20sindxx aaadxxfdxxfxf0)(2)()(1为偶函数：奇偶函数的定积分 0)(2aadxxfxf为奇函数：第15页/共33页定积分的换元积分法定积分的换元积分法 dtttfdxxfba)()()(则则有有注意:换元的同时一定要换限第16页/共33页定积分的第一换元积分法定积分的第一换元积分法第17页/共33页205sincos2 xdxx计计算算例例xdxdtxtsi

4、n,cos则则设设解解0,2; 10txtx时时当当时时当当 6165011055tdttdttxdxxsincos520 于于是是第18页/共33页dxxx 053sinsin3 计计算算例例dxxx 053sinsin:解解dxxx cossin03 ;0cos2, 0 xx时时，当当 dxxx cossin03 故故有有54)52(52)sin52sin52(22525 xxxdxxxdxxcossincossin23203 0cos,2xx时时当当 dxxx 023cossin第19页/共33页定积分的第二换元积分法定积分的第二换元积分法第20页/共33页401. 4xdx计计算算例例

5、,:2tx令令解解; 0,0tx时时当当)3ln2( 22040121dtttxdx20 )1ln(2)111(220ttdtttdtdx2则则; 2,4tx时时当当第21页/共33页) 0(1022adxxaa计计算算例例tdtadxtaxcos,sin则则设设解解;0,0tx时时当当2 tax时时当当dtta2022cos24a dtta)cos(202212dxxaa022于于是是2022122)sin(tta第22页/共33页定积分的分部积分法定积分的分部积分法babavduuvudv第23页/共33页第24页/共33页计计算算下下列列定定积积分分例例 0sin1xdxx）（解：解：,

6、 xu设设),cos(sinxdxdxdv第25页/共33页则则 0sinx 0)cos(cos0dxxxx20sin)3( xdxJnn11ln111exedxxxxxeexdxxnxxnn22201cossin) 1(sincos0 exdx1ln)2( 00)cos(sinxxdxdxx201)cos(sin xxdn第26页/共33页 定积分应用定积分应用第27页/共33页(3) (3) 以所求量以所求量U U的微元的微元 为被积表达式为被积表达式, ,dxxf)(badxxfU)(在区间a,b上作定积分,得 平面图形的面积平面图形的面积一一 直角坐标情形直角坐标情形1 . 1 . 曲

7、边梯形曲边梯形当当f( (x) )在在a,ba,b上连续时上连续时, , 由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积就是ab0cxy)(xfy 第28页/共33页badxxfA|)(|bccadxxfdxxfA)()(2. 一般图形一般图形以及两条直线以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为之间的图形的面积微元为)(),(21xfxf如果函数 在a,b上连续,),()(21baxxfxf且 dxxfxfdA)()(12)(),(21xfyxfy则介于两条曲线第29页/共33页 注意注意:根据具体的图形特点根据具体的图形特点,也可以选择作为积分变量或也可以选择作为积分变

8、量或者利用图形的对称性简化计者利用图形的对称性简化计算算.例例1 求椭圆的面积求椭圆的面积(如图如图).解解 由对称性由对称性,椭圆的面积椭圆的面积14AA 其中其中1A为椭圆在第一象限部分为椭圆在第一象限部分.xyo12222byaxyx)(1xfy )(2xfy aboxx+dx则图形的面积为则图形的面积为dxxfxfAba)()(12第30页/共33页则则aadxxaabydxAA02201444abaxaxaxaba 0222| )arcsin22(4例例2 求由求由22,xyxy所围图形面积所围图形面积.解解 两抛物线的交点为两抛物线的交点为(0,0)及及(1,1).取取x为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为0,1.由前面讨论可知由前面讨论可知:31| )332()(10310223xxdxxxA(1,1)oyx第31页/共33页例例3 求由求由4,22xyxy所围图形面积.解解 两曲线的交点为两曲线的交点为(2,-2)及及(8,4).根据此图形特点根据此图形特点,可