精品课程数字信号处理PPT课件09

1、21j021j0()()e1()()ennknnnnknkx kx nx nx kn 21j021j01()()e()()ennknnnnknkx kx nnx nx k 222111jjj0001( )( )e( )eennnnknknknnnnnnx nx kx nn 2211jj001( )eennnknknnnnx nn ()xk 第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 v 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数v 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质v 有限长序列离散傅里叶变换（有限长序列离散傅里叶变换（dft）v 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（dft）的性质）

2、的性质v 频域采样频域采样3.4 3.4 有限长序列离散傅里变换（有限长序列离散傅里变换（dftdft） 周期序列只有个有限序列值有意义，和有限长序列有着本质联系。 周期序列的离散傅里叶级数有限长序列的离散傅里叶变换（dft）周期序列和有限长序列的关系x(n)为有限长序列，长度为nnnnnxnx其他010)()(把 x(n)看成周期为n的周期序列 的一个周期)(nxnnnnxnx其他010)()(rrnnxnx)()()(nx把 看成 x(n) 的以n为周期的周期延拓主值区间：主值区间：指 从n=0 到n=n-1 的区间。)(nx主值序列：主值序列：指主值区间上的序列，x(n) 是 主值序列。

3、)(nx为x(n)的周期延拓)(nx对不同r值，x(n+rn)之间彼此并不重叠rrnnxnx)()(例例)(nx是周期为n=9的序列，则有： nnxnnxnx)()mod()(9(8)(8)(8)xxxmnnn10n1n-1, m为整数 令 9(13)(13)(4)xxx9(22)(22)(4)xxx9( 1)( 1)(8)xxxn1为n对n的余数。 则 (n)n 表示（n mod n）， 即“n对n取余数”， 或“n对n取模值”。)()()(nrnxnxnnnnnxnx其他010)()(rrnnxnx)()(nnxnnxnx)()mod()(小结 表示方法时域序列时域序列( )01( )0x

4、 kknx kk其他( )()rx kx krn小结 表示方法频域序列频域序列()m od()nxkxknxk( )( )( )nx kx k rk求和都只限定在n=0到n-1和k=0 到n-1 的主值区间进行完全适用于主值序列 x(n) 与x(k)有限长序列的离散傅里叶变换1010( )dfs ( )( )1( )idfs( )( )nnknnnnknkx kx nx n wx nx kx k wn10( ) ( )( )01dftnnknnx kx nx n wkn正变换正变换注意：离散傅里叶变换中，所处理的有限长序列都是作为周期序 列的一个周期来表示的。 即，离散傅里叶变换隐含着周期性。

5、 反变换反变换101( )( )( )01idftnnknkx nx kx k wnnn离散傅里叶变换离散傅里叶变换例例3-3 已知序列x(n)=(n)，求它的n点dft。 解解1001)()(nnnnknwwnkx k=0, 1, , n-1 序列(n) ，进行n点的dft，结果是n点的矩形序列。 10n(n )x (k )1012n 1k ( )nx krk例例3-4 已知x(n)=cos(n/6)是一个长度n=12的有限长序列， 求它的n点dft。 21111jjj66121200221111j(1)j(1)1212001( )coseee621ee2nnnknknnn kn knnnx

6、 kw 解解 61,11()0,0,11kx kk k 其其 他他再考虑到再考虑到k k的取值区间，的取值区间，212jj02j 101nrnrnnnnrnnnrmn meere ， 为为整整数数为为其其他他值值6例例 3-5 已知x(k):5( )1x kk=0 1k9 求其10点idft。 解解( )( )( )( )( )( )nnx nx knrkrnnk2( )( )095x nnn( )14 ( )09x kkk ( )10 ( )1( )( )104( )4 ( )10nnnrnkrnkrnk2( )( )( )5nx nnrn10)()(nnnznxzxz变换3.4.2 3.4

7、.2 dft与序列傅里叶变换、与序列傅里叶变换、z变换的关系变换的关系dft10( )( )( )knnnknz wnx zx n wx k若x(n)是一个有限长序列，长度为nknwzzxkx)()(1jj0(e)( )ennnxx ndtftdft21jj20(e)( )e( )nknnknnxx nx kjj22( )(e)()nnkknnx kxx e 是z平面单位圆上幅角为 的点2jkknnzwekn2x(k)也就是对x(z)在z平面单位圆上n点等间隔采样值即，将z平面单位圆 n 等分后的第k点dft的变换区间长度的变换区间长度n不同，不同， 对对x(ej)在区间在区间0, 2上的采样

8、间隔和采样点数不同，上的采样间隔和采样点数不同，所以所以dft的变换结果也不同。的变换结果也不同。注意：注意： 有限长序列x(n)为 01)(nx0n4 其余n 求其n1=5点, n2=10点离散傅里叶变换x(k)。 例例 3-6解解 (1)n1=5点2j25 1-j52j05501 e( )( )e01,2,3,41 eknkknkx kx nk 201,1,1,1,1,0,0,0,0,01nnnx n 222222242-j()j502j()1 ( )dfte1 e1 ekknnnnknnnkmn mx kx nx nk 为为整整数数为为其其他他值值，(2)n2=10点点2222j5j5j

9、1022j()j()j()1051 e1 e1 e1 e1 e1 ekknkkkkn jj()502,4,6,81 e01,3,5,71 ekkkk n=5有限长序列 n=5 周期延拓 n=10 有限长序列 n=10 周期延拓 结果与n=5时完全不同同样x(n)，不同n，不同( )x nx(k)结果完全不同第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 v 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数v 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质v 有限长序列离散傅里叶变换（有限长序列离散傅里叶变换（dft）v 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（dft）的性质）的性质v 频域采样频域采样3.5

10、3.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（dftdft）的性质）的性质3.5.1 3.5.1 线性线性1212( )( )( )( )dft ax nbxnax kbxkdftx1(n)=x1(k)dftx2(n)=x2(k)设设x1(n) 、x2(n)都是都是n点有限长序列点有限长序列（a, b为任意常数）为任意常数）3.5.2 3.5.2 圆周移位圆周移位长度为长度为n的有限长序列的有限长序列 x (n) 的圆周移位的圆周移位y (n) = x ( n + m )n rn (n) 圆周移位的含义圆周移位的含义1. x(n)以以n为周期周期延拓为周期周期延拓nnxnx)()(2. 移位移位)(

11、nx)()(mnxmnxn3. 对对 取主值区间，即取主值区间，即x (n+m)n rn (n)(mnx时域圆周移位定理时域圆周移位定理设x(n)是长度为n的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即 )()()(nrmnxnynn则圆周移位后的dft为 ( ) ( ) ()( )( )dftdftmknnny ky nxnmrnwx k再利用dfs和dft关系 ()( ) ()( )( )( )( )dftdftnnnmknnmknx nmrnx nm rnwx k rkwx k有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的

12、线性相移移 ，而对频谱的幅度没有影响。，而对频谱的幅度没有影响。 2jek mkmnnw 证证 利用周期序列的移位性质加以证明。 () ()( )dfsdfsmknnx nmx nmwx k频域圆周移位定理频域圆周移位定理设x (k)是长度为n的频域有限长序列，2()( )( )( )jidftenlnlnnnnxklrkwx nx n 时域序列的调制等效于频域的圆周移位。时域圆周卷积定理时域圆周卷积定理3.5.3 3.5.3 圆周卷积圆周卷积若 12( )( )( )y kxk xk则 11201210( )idft( )()()( )()()( )nnnmnnnmy ny kxm xnmr

13、nxm xnmrn x1(n) x2(n)n点圆周卷积运算点圆周卷积运算 n可以大于有限长序列的长度可以大于有限长序列的长度 圆周卷积的思路： （2） 根据dfs的周期卷积公式 nnmnnmmnxmxmnxmxny)()()()()(102121011021)()()()()()(nmnnnnrmnxmxnrnyny （3）对周期卷积结果取主值序列 （1） 将 和 以n为周期延拓为 和1( )xn2( )xn)(1nx)(2nx圆周卷积和周期卷积过程一样，只是圆周卷积结果要取主值序列。 周期卷积的过程： （1）两个周期序列的自变量 n 用哑变量 m 代替； （2）一个周期序列不动， （3）在m

14、=0到n-1区间内进行将 与 逐点相乘后求和，)(1mx)(2mnx另一个周期序列的全部序列值全部序列值翻褶、移位； （4）计算出n=0, 1, , n-1的y(n)结果将所得结果周期延拓，得到整个周期序列。 ( )y n时域圆周卷积定理还可以表示为时域圆周卷积定理还可以表示为若 12( )( )( )y kxk xk则 12( )( )( )y nxnxnn圆周卷积用 来表示， 圆周内的n表示所作的是n点圆周卷积。n注意：两个长度 n序列的n点圆周卷积长度仍为n，与线性卷积不同。频域圆周卷积定理频域圆周卷积定理若若12()()()y nxn xn则则1120121012( )dft ( )1

15、( )()( )1( )()( )1( )( )nnnlnnnly ky nxl xklrknxl xklrknxkxknn时域序列相乘，乘积的时域序列相乘，乘积的dft等于等于各个各个dft的圆周卷积再乘以的圆周卷积再乘以1/n。 3.5.4 3.5.4 有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积圆周卷积圆周卷积线性卷积线性卷积实际问题大多总是要求解线性卷积。实际问题大多总是要求解线性卷积。fftfft是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算而不失真呢是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算而不失真呢？1()xn补 个零1ln2()xn补 个零2lnl点dftl点idftl点d

16、ft12( )( )x nxnl快快设 x1(n)是n1点的有限长序列（0nn1-1） x2(n)是n2点的有限长序列（0nn2-1）（1）线性卷积 （2）圆周卷积（3）有限长序列线性卷积与圆周卷积的关系（1）线性卷积 112121120( )( )( )()()()()lmnmy nx nxnx m xnmx m xnmx1(m)的非零区间为 0 m n1-1 x2(n-m)的非零区间为 0 n m n2-1 将两个不等式相加，得到 0 n n1+n2-2 yl(n)是n1+n2-1 点有限长序列102121)()()()()()(lmllnrmnxmxnxnxnyl（2）圆周卷积思路：先假设进行l点的圆周卷积， 再讨论l取何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。lmaxn1, n2，即将x1(n)与x2(n)都补零成l点的序列。先将序列x1(n)与x2(n)以l为周期进行周期延拓 )()()()()()(222111rlnxnxnxklnxnxnxrlkl它们的周期卷积