方程根的分布

1、二次函数二次函数1、二次函数解析式求法、二次函数解析式求法2、四个二次之间的关系，二次不等式、四个二次之间的关系，二次不等式、二次方程、二次函数、二次三项式之间二次方程、二次函数、二次三项式之间的关系。尤其是二次不等式恒成立有关的关系。尤其是二次不等式恒成立有关的问题。的问题。例例1、已知、已知a0，函数，函数f(x)= -x2-ax+b在闭区间在闭区间-1,1上的最上的最大值为大值为1，最小值为，最小值为-1，求实数，求实数a、b3、二次函数闭区间上的最值问题、二次函数闭区间上的最值问题2( )(21)3(0)f xaxaxa例2、函数3在-,2有最大值1，求实数a的值。22(3)0.(1)

2、,(2),(3),xmxmmmm例例1.1.已已知知方方程程方方程程有有两两个个正正根根 求求 的的范范围围; ;方方程程有有两两个个负负根根 求求 的的范范围围; ;方方程程有有一一个个正正根根和和一一个个负负根根 求求 的的范范围围. .221212(3)401090:(1)30,3,00mmmmxxmmmxxm 解解依依题题意意有有即即913,01,001.mmmmmmm 或或解解得得则则有有所所以以 的的范范围围是是4 4、二次方程根的分布、二次方程根的分布问题（实根分布）问题（实根分布）2(3)0.(1),(2),(3),xmxmmmm例例1.1.已已知知方方程程方方程程有有两两个个

3、正正根根 求求 的的范范围围; ;方方程程有有两两个个负负根根 求求 的的范范围围; ;方方程程有有一一个个正正根根和和一一个个负负根根 求求 的的范范围围. .221212(3)401090(2)30,3,00mmmmxxmmmxxm 依依题题意意有有即即913,9,9.0mmmmmmm 或或解解得得则则有有所所以以 的的范范围围是是12(3)0,0.xxmmm依依题题意意有有所所以以 的的范范围围是是21220 (0)40.()0baxbxcacxxaac : :一一元元二二次次方方程程有有一一正正一一负负根根此此时时说说明明223501xxxmm例例2.2.关关于于 的的方方程程有有两两

4、个个小小于于 的的实实根根，求求 的的取取值值范范围围. .940 0 (1)0mf 991.40402350mmm 91.40mm实实数数 的的取取值值范范围围是是yxo11x2x 2( )235,( ),3.4f xxxmf xx解解: :令令则则为为对对称称轴轴开开口口向向为为的的抛抛物物线线上上 28(1)701,1,xmxmm例例3.3.若若方方程程有有一一根根大大于于一一根根小小于于 求求 的的取取值值范范围围. .2:( )8(1)7,( )1,.16f xxmxmf xmx开开口口向向解解 令令则则为为对对称称轴轴为为的的抛抛物物线线上上 yxo11x2x (1)0 f8170

5、,mm 即即1.m 解解得得1.mm 实实数数 的的取取值值范范围围是是200 ()axbxca 一一元元二二次次方方程程的的根根的的分分布布k两两个个根根都都小小于于02()0bkafk k两两个个根根都都大大于于,kk一一个个大大于于另另一一个个小小于于koyxoyxkoyxk02()0bkafk ()0fk 000aaa : :这这是是的的情情况况, ,若若则则在在方方程程两两边边同同时时, ,又又转转化化说说明明乘乘以以-1-1为为的的情情况况. .2.(3)0 xmxmm例例4 4已已知知方方程程的的两两个个的的根根都都在在(0,2)(0,2)内内，不不同同求求 的的取取值值范范围围

6、. .2( )(3),f xxmxm解解: :设设则则两两个个不不同同的的根根都都在在(0,2)(0,2)内内等等价价于于, ,21090303432,20(0)2(2)323mmmmmmmfmmfm 2 2 ()40()40 0 00 00 091132,1.0323mmmmmm 或或解解得得得得:.对对称称轴轴要要注注在在区区间间内内意意2koyx1k2.(3)0 xmxmm例例5 5已已知知方方程程的的一一个个根根(-2,0)(-2,0)内内，另另一一个个根根在在(1,4)(1,4)内内，求求 的的取取值值范范围围. .2( )(3), 10( 2)1000(0) 0,1(1)22 04

7、(4)5405f xxmxmmfmmfmmfmfmm 解解: :依依题题意意有有得得440,055mmm解解得得所所以以 的的取取值值范范围围是是. .:( 2)0(0)0.(1)0(4)0ffff 注注意意方方注注意意二二次次向向函函数数的的开开口口, ,若若是是, ,则则应应口口向向下下为为: :开开oyxpmnq2.(3)0 24xmxmm例例6 6已已知知方方程程的的一一个个根根小小于于 ，另另一一个个根根大大于于 ，求求 的的取取值值范范围围. .2( )(3), (2)3204,(4)5405f xxmxmfmmfm 解解: :依依题题意意有有得得45mm 所所以以 的的取取值值范

8、范围围是是. .:注注意意方方向向注注意意二二次次函函数数的的开开口口, ,若若是是, ,开开口口向向下下 则则应应为为: :oyx42oyx42(2)0.(4)0ff 200 ()axbxca 一一元元二二次次方方程程的的根根的的分分布布 12,k k两两个个根根都都在在内内 12,( , )xm nxp q000aaa : :这这是是的的情情况况, ,若若则则在在方方程程两两边边同同时时, ,又又转转化化说说明明乘乘以以-1-1为为的的情情况况. .2koyx1koyxpmnq121202()0()0bkkafkfk ()0()0()0()0fmfnfpfq 10 xaxxaa2 2例例7

9、.7.关关于于 的的方方程程:,:,在在 0,20,2上上仅仅有有一一解解, ,求求实实数数 的的取取值值范范围围. .：在在讨讨论论函函数数在在区区间间上上的的零零点点时时注注意意闭闭两两端端点点，一一定定要要考考虑虑是是否否为为零零点点。31.5a 12( ,) k k内两个实根有且仅有一根在区间1koyx2k2x1x 1koyx2k2x1x 1koyx22xk 1x oyx2k2x11xk 1212() ()0() ()0,f kf kf kf k ，或或解解出出参参数数，求求出出另另一一根根，验验证证. . 2.( )(0),()0,1.0.1.2.f xxxa af mm mabcd

10、m练练习习设设二二次次函函数数则则函函数数在在内内零零点点的的个个数数是是()()与与 的的取取值值有有关关 2:( )1,2f xxxax 解解 二二次次函函数数的的开开口口向向上上, ,对对称称轴轴为为如如图图12x x1 oy(0)0,( 1)0,()0,10,fafaf mm 因因则则故故有有011,(1)0,mf m从从而而则则 ( )1,1f xmm m所所以以函函数数在在区区间间和和上上各各有有一一个个零零点点. .b:,0a 注注意意二二次次函函数数的的和和以以及及说说明明开开口口方方向向对对称称轴轴等等条条件件. .2.( )1,( ).1.,1,1.bcf xaxbxcaf

11、 xabcd例例8 8 若若实实系系数数二二次次函函数数满满足足则则函函数数()()只只有有一一个个零零点点且且小小于于零零点点个个数数不不确确定定没没有有零零点点有有两两个个零零点点 且且一一个个小小于于一一个个大大于于 2:,( )bcbcg xxxaaaa解解 因因条条件件中中有有与与故故可可考考虑虑函函数数, ,x1 oy( )( )f xg x此此时时函函数数与与函函数数零零点点个个数数相相同同, ,( ),1,1.g x所所以以函函数数有有两两个个零零点点且且一一个个小小于于一一个个大大于于( 1)11()0,( )bcbcgaaag x 因因为为又又函函数数开开口口向向上上, ,

12、如如图图, ,d:有有时时要要利利用用条条件件进进行行转转换换, ,这这就就说说明明是是化化归归思思想想. . 2.210,0,3(1),(2),(3),ax xxaxaaaaaa例例9 9已已知知集集合合. .当当时时 求求实实数数 的的取取值值范范围围; ;当当 为为单单元元素素集集时时 求求实实数数 的的取取值值范范围围; ;当当 为为双双元元素素集集时时 求求实实数数 的的取取值值范范围围. . 2:210,3,xxaa 解解 转转化化为为方方程程在在区区间间上上没没有有解解 有有一一解解( (含含两两个个相相同同的的解解) )和和有有两两个个不不同同的的解解时时, ,求求 的的取取值

13、值范范围围. .oxy321 2 2( )21,0,3 ,( ),f xxxxyf xya设设作作出出和和的的图图像像两两图图像像的的交交点点个个数数对对应应于于方方程程根根的的个个数数, ,如如图图可可知知, ,(1)22aaa 实实数数 的的取取值值范范围围是是或或. .(2)212.aaa 实实数数 的的取取值值范范围围是是或或(3)21aa 实实数数 的的取取值值范范围围是是. .:,( )( )aaxaf xyf xyaa 遇遇到到方方程程有有几几解解 求求参参变变数数 的的取取值值范范围围的的题题型型时时. .一一般般都都是是把把参参变变数数 和和变变量量, ,变变成成的的形形式式

14、, ,然然后后分分别别作作出出函函数数和和函函数数的的图图像像, ,两两图图像像的的交交点点个个数数, ,即即为为方方程程根根的的个个数数, ,从从而而分分别别得得到到 的的取取值值范范围围. .这这种种方方说说明明分分离离数数法法叫叫形形结结合合法法. .oxy321 2 210.( )(3)1f xmxmxxm例例已已知知的的图图象象与与 轴轴的的交交点点至至少少有有一一个个在在原原点点的的右右侧侧，求求实实数数 的的取取值值范范围围. .2:(3)101(1)0,.3mxmxmx解解 转转化化为为方方程程至至少少有有一一个个正正根根. .当当时时符符合合21212(2)0,(3)409130 ,03,01.010mmmmmmxxmmmmxxm 当当时时 若若方方程程有有两两个个正正根根( (含含两两个个相相同同的的正正根根),),或或则则有有即即得得若若方方程程有有一一个个正正根根和和一一个个零零根根, ,不不合合题题意意. .2