中北大学数字信号处理原理及应用IIR数字滤波器的设计

1、DIGITAL SIGNAL PROCESSING制作人：郝利华 陈友兴 郝慧艳 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计2 /1126.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念数字滤波器数字滤波器: : 输入输出均为数字信号，经过一输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的系统。比例或者滤除某些频率成分的系统。 优点（与模拟滤波器比）：精度高，稳定，体优点（与模拟滤波器比）：精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻

2、抗匹配，能实积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器现模拟滤波器(AF)(AF)无法实现的特殊滤波功能无法实现的特殊滤波功能。( )( )( )() ()ny nx nh nh m x nm ()()()jjjY eX eH e 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计3 /1126.1.1 滤波器的分类滤波器的分类）经典滤波器经典滤波器：即一般滤波器（输入信号：即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达到目的）达到目的） 现代滤

3、波器现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）信号）第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计4 /1120 数字域频率特性考察范围数字域频率特性考察范围数字滤波器的理想幅数字滤波器的理想幅频特性频特性2）功能上分为）功能上分为低通、高通、带通、带阻、全通低通、高通、带通、带阻、全通第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计5 /112 （1）频率变量以数字频率）频率变量以数字频率

4、表示，表示，=T ，为模拟角频率，为模拟角频率，T为抽样间隔；为抽样间隔； （2）以数字抽样频率）以数字抽样频率 为周为周期；期； （3）频率特性只限于）频率特性只限于 范围，范围，这是因为依抽样定理，实际频率特性只能为抽这是因为依抽样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。样频率的一半。22ssf T/ 2s特点特点第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计6 /112）从实现的网络结构或者从单位脉冲响）从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)(IIR)滤波滤波器和有限脉冲响应器和有限脉冲响应(FIR)(FIR)滤波

5、器。滤波器。0110( )1( )( )MmmmNkkkNnnb zH za zH zh n z IIR滤波器滤波器 FIR滤波器滤波器 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计7 /1126.1.2 滤波器的技术指标滤波器的技术指标通带容限：通带容限：阻带容限：阻带容限：通带截止频率：通带截止频率：阻带截止频率：阻带截止频率：通带通带最大最大衰减：衰减：阻带阻带最小最小衰减：衰减：max()20lg20lg()()ppjjpjH eH eH e max()20lg20lg()()ststjjstjH eH eH e 12pstpst低通第第6 6章章 IIRIIR数字滤波

6、器的设计数字滤波器的设计8 /1126.1.3 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤1. 数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤数字滤波数字滤波器的设计器的设计指标指标p，st设计系统设计系统函数函数H(z)实现实现H(z)第第6、7章章的学习内的学习内容容第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计9 /1122.IIR数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤设计模拟设计模拟滤波器滤波器Ha(s)p，st频率频率变换变换p， stHa(s)复频率复频率变换变换设计原型设计原型低通滤波低通滤波器器Ha(p)p， st频率频率变换变换H(z)脉冲响应脉冲响应不变法不变法双线性变双线

7、性变换法换法归归一一化化频频率率第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计10 /1126.2 模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计n模拟滤波器设计的技术指标模拟滤波器设计的技术指标n巴特沃思巴特沃思(Butterworth)滤波器滤波器n切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器n椭圆椭圆(Ellipse)滤波器滤波器n贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器n特点：特点：严格的设计公式，现成的设计图表供严格的设计公式，现成的设计图表供设计人员使用。设计人员使用。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计11 /1126.2.1 由幅度平方函数

8、来确定系统函数由幅度平方函数来确定系统函数 当滤波器的单位冲激响应当滤波器的单位冲激响应ha(t)为实函数时，定为实函数时，定义滤波器的幅度平方函数义滤波器的幅度平方函数2*()()()aaaHjHjHj 而且满足而且满足)()(* jHjHaa物理可实现的滤波器一定是因果且稳定的物理可实现的滤波器一定是因果且稳定的2()()()( )()aaaaasjHjHjHjHs Hs 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计12 /1122(j)()()(j)aaaaHHjHjH 幅度平方函数的零极点分布特点幅度平方函数的零极点分布特点（1） Ha(s)有有极点（零点）：极点（零点

9、）：s0，s0* Ha(-s)的极点（零点）：的极点（零点）：-s0，-s0*Ha(s) Ha(-s)的极点的极点（零点）呈象限对称（零点）呈象限对称（2）虚轴上的零点一定）虚轴上的零点一定是二阶的，而且无极点是二阶的，而且无极点第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计13 /1122( )aaHjHs） (1) 由由 可可 确定出确定出 (2)根据零极点可确定出根据零极点可确定出 ，稳定可实，稳定可实现的滤波器的极点一定在现的滤波器的极点一定在s平面的左边，零点平面的左边，零点根据与根据与 对称关系取其中一半。对称关系取其中一半。 (3)按低频或高频特性确定增益常数。按低

10、频或高频特性确定增益常数。 2( )aHs( )aHs()aHs 2(aH j ）222224(36)(j)(16)(25)aH 例：例：第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计14 /1126.2.2 巴特沃思模拟低通滤波器的设计巴特沃思模拟低通滤波器的设计 2()0.5acHj ()0.707acHj ( 0)20lg3dB(aacHjHj ）1. 幅度平方函数幅度平方函数221()1()aNcHj 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计15 /1122. 系统函数系统函数全极点型全极点型21( )()1()aaNcHs Hssj 求极点：求极点：

11、21()0Ncsj 1211222( 1)()1,2,.2kjNNkccsjekN ，第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计16 /1121211222( 1)()1,2,.2kjNNkccsjekN ，巴特沃巴特沃斯圆斯圆第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计17 /112取取Ha(s) Ha(-s)左半平面的极点为左半平面的极点为Ha(s) 的极点的极点121221,2,.kjNkcsekN ，系统函数系统函数01( )()aNkkkHsss 1()NcNkkss 1221121NcNNNNNNcNcccsasasa 由低频特性决定由低频特性决定

12、第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计18 /112例：设例：设N=3，极点有，极点有6个，它们分别为个，它们分别为23122133341356jccjjccjccsessesesse ，取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s1,s2,s3组成组成Ha(s)： 32233( )()()()cajjcccHsssese 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计19 /1123. 系统函数的归一化系统函数的归一化 如果将系统函数的如果将系统函数的 ,用滤波器的截止频率用滤波器的截止频率 去除，这样对应的截止频率变为去除，这样对应的截止频率变为1rad

13、/s，即所谓归一化即所谓归一化sc 1101( )()()NcaNNkkkkccHsssss 101( )()aNkkHppp 阶数阶数N的大小主要影响幅的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。该由技术指标确定。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计20 /1124. 滤波器的阶数和截止频率的确定滤波器的阶数和截止频率的确定已知巴特沃思模拟滤波器的指标已知巴特沃思模拟滤波器的指标/102101ppcpN /102101ststcstN 20lg()H j N的推导的推导2110lg1(/)pNpc 2110lg1(/)stNstc 1

14、010lg (101) (101)lg()pstpstN 完成完成221()1()aNcHj 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计21 /112N的推导2210lg 1 (/)10lg 1 (/)NppcNststc 1010lg(101) (101)lg()pstpstN 210210101 ()101 ()pstpNcNstc 210210101()101()pstpNcNstc 10210101()101pstpNst返回第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计22 /112低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

15、（1）根据技术指标）根据技术指标 ，求，求出滤波器的阶数出滤波器的阶数N。（2） 确定确定3dB截止频率截止频率c；（3）求出）求出N个极点个极点sk，将，将sk代入系统函数代入系统函数中，得到传输函数中，得到传输函数Ha(s)。 ppstst 、第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计23 /112 例例6.2.1 已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大，通带最大衰减衰减 ,阻带截止频率阻带截止频率fst=12kHz，阻带最，阻带最小衰减小衰减 ，按照以上技术指标设计巴特，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。沃斯低通滤波器。 解解 (1) 确定阶数确

16、定阶数N。 30dBst2dBp 10100.23lg(101) (101)lg()lg 1011014.25092lg 25000 212000pstpstN取大于此数的整数取大于此数的整数5N 5N 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计24 /112（2）求）求3dB截止频率截止频率c41020.132120003.7792 10 rad/s101101ststcstN(3) 求极点求极点3455123675545,jjjcccjjccsesesesese ，极点：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000第第6 6章章 II

17、RIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计25 /112将共轭极点组合起来，可得将共轭极点组合起来，可得52222222492494( )0.61801.61807.709 102.3355 101.428 106.1147 101.428 103.7792 10cacccccHsssssssssss最后得到滤波器系统函数最后得到滤波器系统函数225549314218227.709 10( )1.2230 107.4783 102.9262 106.6011 107.709 10aHssssss第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计26 /112Wp=2*pi*5000;W

18、s=2*pi*12000; %模拟截止角频率Ap=2;As=30; %衰减设置N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s)B,A=butter(N,Wc, s)H,W=freqs(B,A,Wc);subplot(211)plot(W(1:25000)/(2*pi)/1000,20*log10(abs(H(1:25000)/max(H);xlabel(频率（kHz）);ylabel(幅度谱(dB);grid onsubplot(212)plot(W(1:25000)/(2*pi)/1000,20*log10(angle(H(1:25000)/max(H);xlabel(频率（kHz）)

19、;ylabel(相位谱(dB) );grid on第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计27 /112程序运行结果如下：N = 5Wc = 3.7792e+004B = 1.0e+022 * 0 0 0 0 0 7.7094A = 1.0e+022 *0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 7.7094 B,A=butter(N,3.7792,s)B = 0 0 0 0 0 770.9024A = 1.0000 12.2297 74.7834 282.6213 660.1113 770.9024 1221121( )NcaNNNNNNcNcc

20、cHssasasa 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计28 /11205101520-50-40-30-20-100频 率 （ kHz）幅度谱(dB)0510152000.20.40.60.81频 率 （ kHz）幅度谱05101520-150-100-50050频 率 （ kHz）相位谱(dB)05101520-4-2024频 率 （ kHz）相位谱第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计29 /1124100.10.22250003.3146 10 rad/s101101ppcpNB = 0 0 0 0 0 400.0881A =1.0000

21、10.7263 57.5264 190.6772 390.6089 400.0881第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计30 /112051015202530-80-60-40-200频 率 （ kHz）幅度谱(dB)05101520253000.20.40.60.81频 率 （ kHz）幅度谱051015202530-80-60-40-20020频 率 （ kHz）相位谱(dB)051015202530-4-2024频 率 （ kHz）相位谱第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计31 /1126.2.3 6.2.3 切比雪夫模拟低通滤波器的设计切

22、比雪夫模拟低通滤波器的设计n巴特沃思滤波器的幅度特性无论在通带与阻带都巴特沃思滤波器的幅度特性无论在通带与阻带都随频随频率变化而单调变化率变化而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，因而如果在通带边缘满足指标，则在阻带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，则在阻带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济；因而并不经济；n解决办法：将指标的精度均匀地分布在通带内，或均解决办法：将指标的精度均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均内，这时就可设计出阶数较低的滤波器

23、。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性等波纹特性的逼近函数的逼近函数来完成。来完成。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计32 /112n切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中（通的幅度特性就在一个频带中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。带或阻带）具有这种等波纹特性。n（1 1）切比雪夫）切比雪夫型：在通带中是等波纹的，在阻型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；带内是单调的；n（2 2）切比雪夫）切比雪夫型：在通带内是单调的，在阻带型：在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。内是等波纹的。第第6 6章章 IIRIIR数字

24、滤波器的设计数字滤波器的设计33 /1121.1.切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的逼近型低通滤波器的逼近n幅度平方函数幅度平方函数2221()1(/)aNpHjC 1)()(2)(11NxCxxCxCNNNcos(arccos( )1()( )ch( arcch( )1NNxxCxNxx通带第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计34 /112 右 图 示 出 了 阶 数右 图 示 出 了 阶 数N=0,4,5时的切比雪夫时的切比雪夫多项式特性。多项式特性。 由图可见：由图可见： (1)切比雪夫多项式切比雪夫多项式的过零点在的过零点在|x|1的范的范围内；围内； ( 2 )

25、当当 | x | 1 时 ，时 ，|CN(x)|1,在在|x|1时，时，CN(x)是双曲线函数，随是双曲线函数，随x单单调上升。调上升。 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计35 /112切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的幅频特性型低通滤波器的幅频特性第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计36 /112（1 1）通带宽度）通带宽度 （给定给定）（2 2） 是与通带波纹是与通带波纹 有关的一个参数有关的一个参数（3 3）滤波器阶数）滤波器阶数N ：通带内最大值和最小值的总数：通带内最大值和最小值的总数 由阻带衰减确定由阻带衰减确定22maxmax2min

26、min()()10lg20lg10lg(1)()()aapaaHjHjHjHj/102101p2221()1(/)aNpHjC pp切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的三个参数型低通滤波器的三个参数/10101p第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计37 /112221()astHjA阻带衰减确定滤波器阶数阻带衰减确定滤波器阶数20lgstA0.12arcch101arcch1arcch()arcch()ststpstpAN222211()1(/)astNstpHjCA带入带入2()aHj21()charcch()1ststNppCNA带入带入( )NCx第第6 6章章 IIR

27、IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计38 /11220.111charcch111charcch101ststppANN 11charcch( )cpN 当当 即为即为3dB截止频率截止频率 2A 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计39 /112Wp=2*pi*5000;Ws=2*pi*12000; %模拟截止角频率Ap=2;As=30; %衰减设置N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s) %获取滤波器阶数和3dB截止角频率B,A=cheby1(N,Ap,Wc,s) %获取滤波器系统函数系数H,W=freqs(B,A,Wc); %获取滤波器系统函数和

28、对应的频率subplot(221),plot(W/(2*pi)/1000,20*log10(abs(H);gridxlabel(频率（kHz）);ylabel(幅度谱(dB);subplot(222),plot(W/(2*pi)/1000,abs(H);gridxlabel(频率（kHz）);ylabel(幅度谱);subplot(223),plot(W/(2*pi)/1000,20*log10(angle(H);gridxlabel(频率（kHz）);ylabel(相位谱(dB);subplot(224),plot(W/(2*pi)/1000,angle(H);gridxlabel(频率（k

29、Hz）);ylabel(相位谱); 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计40 /11205101520-40-30-20-100频 率 （ kHz）幅度谱(dB)0510152000.20.40.60.81频 率 （ kHz）幅度谱05101520-30-20-10010频 率 （ kHz）相位谱(dB)05101520-4-2024频 率 （ kHz）相位谱N = 3Wc = 3.1416e+004 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计41 /1122.2.切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的逼近型低通滤波器的逼近幅度平方函数幅度平方函数22221(

30、)(/)1(/)aNpNstHjCC 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计42 /1126.2.4 6.2.4 椭圆模拟低通滤波器的设计椭圆模拟低通滤波器的设计 n幅度平方函数幅度平方函数2221()1(/)aNpHjC ( )NCx雅可比（雅可比（JacobianJacobian）椭圆函数）椭圆函数n幅频特性幅频特性第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计43 /112椭圆滤波器的特点椭圆滤波器的特点n在通带和阻带内都具有等波纹的幅度响应特性在通带和阻带内都具有等波纹的幅度响应特性n对于给定的指标，椭圆滤波器的阶数最小对于给定的指标，椭圆滤波器的阶

31、数最小 n阶数相同的不同类型中，椭圆滤波器的过渡带最陡阶数相同的不同类型中，椭圆滤波器的过渡带最陡n与切比雪夫与切比雪夫型滤波器相似型滤波器相似 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计44 /112椭圆滤波器的参数椭圆滤波器的参数210lg(1)p/102101ppp2121( )( 1)()( 1)K k KkNK k Kk（1 1）通带宽度）通带宽度（2 2） 是与通带波纹是与通带波纹 有关的一个参数有关的一个参数（3 3）滤波器阶数）滤波器阶数N/pstk 21/1kA/2022( )1sindK xx第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计45

32、 /1126.2.5 6.2.5 贝塞尔模拟低通滤波器的设计贝塞尔模拟低通滤波器的设计 n系统函数系统函数n特点特点（1 1）具有在通带内逼近线性相位特性）具有在通带内逼近线性相位特性 （2 2）全极点系统）全极点系统 001011( )( )aNNNNddHsBsbb sbss212( )(21)( )( )NNNBsNBss Bs(2)!,0,1,12!()!kNkNkbkNkNk第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计46 /112 由归一化系统函数由归一化系统函数 得得 ，只需将，只需将p p代代入入 即可。即可。 归一化低通滤波器的系统函数归一化低通滤波器的系统函

33、数02012( ).aNNdHpaa pa pap ( )aHp( )aHs/cs 6.2.6 6.2.6 归一化原型滤波器设计数据归一化原型滤波器设计数据 巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的多项式系数巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的多项式系数可见表可见表6.2.16.2.1和表和表6.2.26.2.2第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计47 /1126.2.7 6.2.7 常用模拟滤波器比较常用模拟滤波器比较n工程应用中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数和工程应用中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数和相位特性的具体要求。相位特性的具体要求。n如果仅就满足滤波器幅频指标而言，

34、如果仅就满足滤波器幅频指标而言，椭圆滤波器椭圆滤波器的的性价比最高，应用较为广泛。性价比最高，应用较为广泛。 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计48 /1126.3 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器 ( )( )ah th n冲激函数：( )( )aHsH z系统函数：sz即： 平面（域）平面（域）()()()jaHjH eH j 频响特性：或第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计49 /112转换关系的两点要求转换关系的两点要求n(1) (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器

35、，仍是因果稳定的。因此转换关系应是仍是因果稳定的。因此转换关系应是s s平面的平面的左半平面映射到左半平面映射到z z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。 n(2) (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，也就是频率响应，也就是s s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到z z平面的平面的单位圆上。单位圆上。方法：方法：n抽样响应不变法抽样响应不变法n双线性变换法双线性变换法第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计50 /1126.3.1 抽样响应不变法抽样响应不变法1.变换原理变换原理数字滤波器的单位抽样响应数字滤波器的单位抽样

36、响应h(n) 模拟滤波器的单位冲激响应模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)模仿模仿( )( )atnTh nh t T抽样周期抽样周期( )H z ( )aHs 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计51 /112转换步骤转换步骤( )aHs( )ZH z 变变换换 拉拉氏氏逆逆变变换换1( )NkakkAHsss ( )ah t1( )( )kNs takkh tA eu t 等等间间隔隔采采样样()( )ah nTh n 1( )( )kNns Tkkh nAeu n 0111101( )( )1kkkNns TnnknnkNNns Tkks TknkH zh n zA

37、ezAAezez 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计52 /112 系数相同：系数相同：kA1( )NkakkAHsss 11 ( )1kNks TkAH zez 极点：极点：s 平面平面 z 平面平面kss ks Tze 稳定性不变：稳定性不变：s平面平面 z平面平面Re0ks 1ks Te 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计53 /1122.模拟滤波器与数字滤波器的频响之间的关系模拟滤波器与数字滤波器的频响之间的关系DTFTj( )( )( )()LTLT( )( )FTFT(j)(j)sTz eaaTaaaaHsHsH zH eh th

38、 tHH 采采样样( () )单位冲激响应单位冲激响应ha(t)的抽样信号为的抽样信号为( )( ) ()aanh th ttnT 关系？关系？第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计54 /112对对 求拉普拉斯变换求拉普拉斯变换( )ah t( )( )( ) ()()ststaaansnTanHsh t edth ttnTedth nT e 由于由于h(n)=ha(nT)( )( )sTsTnnz ez eh n zH z 抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换与相应序列的与相应序列的Z变换变换之间的映射关系：之间的映射关系：z=esT第第6 6章章 IIRIIR数字滤

39、波器的设计数字滤波器的设计55 /112模拟信号模拟信号ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(j)和其采样信和其采样信号号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系为之间的关系为( )ah t(j)aH 1()()aaskHjHjjkT 1( )()sTasz ekH zHsjkT 考虑滤波器是稳定的，令考虑滤波器是稳定的，令s=j1( )()aaskHsHsjkT z=esT第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计56 /11212()()jakkH eHjTT 1()()jaH eHjTT 1( )( )()sTaasz ekH zHsHsjkT 将将s=j代入，代入，=

40、T，代入得到：，代入得到：只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即限于折叠频率以内时，即()0,2saHjT 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计57 /112混叠失真混叠失真任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱混叠，即产生频率响应的混叠失真的频谱混叠，即产生频率响应的混叠失真 在在 处衰减越快，处衰减越快，失真越小失真越小/ 2s 2ssfTT 混混叠叠第第6 6章章 IIRIIR数字滤

41、波器的设计数字滤波器的设计58 /112,sfTTT T ccTT 当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计59 /112抽样响应不变法的修正抽样响应不变法的修正j1()H eT 如果如果fs很高，很高，T 很小，则数字滤波器增益太高很小，则数字滤波器增益太高 不希望不希望为了使数字滤波器增益，不随采样频率而变化，为了使数字滤波器增益，不随采样频率而变化，进行简单修正进行简单修正12()()jakkH eHjTT 第第6 6章章

42、IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计60 /11211( )1kNks TkTAH zez 2()()(),jaakkH eHjHjTT ( )()ah nTh nT 若没有混叠，应取若没有混叠，应取“=”但实际滤波器，很难做但实际滤波器，很难做到严格带限到严格带限第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计61 /112当极点是复数时，将互为共轭的两项合并，当极点是复数时，将互为共轭的两项合并，得到得到式中式中*101121112111kkkkkks Ts TkkTATAbb za za zz ez e jkkks 012Re,2RekkTjTkkkkbTAbTeA

43、e 2122cos,kkTTkkkaeT ae 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计62 /112 1.5 j1.50671.5 j1.5067111.511.5132j1.5j1.5( )1121.5sin 1.506712cos 1.5067TTTTTTTH zezezTeT zeT zez 例：模拟滤波器的系统函数为例：模拟滤波器的系统函数为24.52( )34.52aHsss 试用抽样响应不变法，设计试用抽样响应不变法，设计IIR数字滤波器数字滤波器解：解：11.5j1.5067s 21.5j1.5067s j1.5j1.5( )1.5j1.50671.5j1.

44、5067aHsss第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计63 /112分别取抽样间隔分别取抽样间隔 和和 ，得到，得到0.2 ,0.1Tss 0.05s11120.1319( )11.41490.5488zHzzz 12120.0388( )11.70190.7408zHzzz 13120.0105( )11.85020.8607zHzzz 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计64 /112B=4.52;A=1 3 4.52; %模拟滤波器系统函数分子和分母多项式系数W=0:0.1:40;H0=4.52./(4.52-W.*W+j*3*W); %模

45、拟滤波器的频率响应H=abs(H0);H=20*log10(H/max(H);T1=0.2;fs1=1/T1; %分别选取三种抽样频率T2=0.1;fs2=1/T2;T3=0.05;fs3=1/T3;Bz1,Az1=impinvar(B,A,fs1) %抽样响应不变法得到数字滤波器Bz2,Az2=impinvar(B,A,fs2) %系统函数的分子分母多项式系数Bz3,Az3=impinvar(B,A,fs3)w=0:0.1:pi;H1,w1=freqz(Bz1,Az1,w);H1=20*log10(abs(H1)/max(abs(H1);H2,w2=freqz(Bz2,Az2,w);H2=2

46、0*log10(abs(H2)/max(abs(H2);H3,w3=freqz(Bz3,Az3,w);H3=20*log10(abs(H3)/max(abs(H3);第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计65 /112%以下是画图部分subplot(1,2,1)plot(W/10,H);xlabel(频率/Hz);ylabel(幅度/dB);title(模拟滤波器的幅频特性);subplot(1,2,2)plot(w1/pi,H1,b-,w2/pi,H2,r-.,w3/pi,H3,g-);legend(T=0.2s,T=0.1,T=0.05,3);hold on;xlab

47、el(omega/pi);ylabel(|H(ejomega)|/dB);title(数字滤波器的幅频特性); 程序运行结果如下：Bz1 = 0 0.1319Az1 = 1.0000 -1.4149 0.5488Bz2 = 0 0.0388Az2 = 1.0000 -1.7019 0.7408Bz3 = 0 0.0105Az3 = 1.0000 -1.8502 0.8607 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计66 /11201234-60-50-40-30-20-100频 率 /Hz幅度/dB模 拟 滤 波 器 的 幅 频 特 性00.51-60-50-40-30-2

48、0-100/|H(ej)|/dB数 字 滤 波 器 的 幅 频 特 性 T=0.2sT=0.1T=0.05第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计67 /1123、优缺点、优缺点 优点优点时域逼近良好，时域逼近良好，h(n)模仿模仿ha(t) 频率之间保持线性关系频率之间保持线性关系T 缺点缺点频率响应有混叠效应，只适用于限带频率响应有混叠效应，只适用于限带的滤波器设计的滤波器设计适合：衰减特性很好的低通或带通滤波器适合：衰减特性很好的低通或带通滤波器 （高频衰减越快，混叠效应越小）（高频衰减越快，混叠效应越小）不适合：高通或带阻滤波器不适合：高通或带阻滤波器第第6 6章章

49、 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计68 /1124.z平面与平面与s平面的映射关系平面的映射关系s 平面的极点平面的极点sk与与z平面的极点平面的极点 互相映射。将互相映射。将极点的映射关系推广，可以得到冲激响应不变法模极点的映射关系推广，可以得到冲激响应不变法模拟拟s平面与数字平面与数字z平面的映射关系，即：平面的映射关系，即：设设有有得到得到skTskez sTzejsjzre jTj TreeeTreT 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计69 /112TreT 010101rrr时，时，时，2jMsTTTzeee第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器

50、的设计数字滤波器的设计70 /1126.3.2 双线性变换法双线性变换法 对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能使设对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器的频域响计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器n原因：从原因：从S S平面到平面到Z Z平面的映射是多值的映射关系平面的映射是多值的映射关系抽样响应不变法的主要缺点：抽样响应不变法的主要缺点：第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计71 /112针对抽样响应不变法的混叠失

51、真现象，采用非线性频率针对抽样响应不变法的混叠失真现象，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 之间，再用之间，再用 转换到转换到z z平面上平面上T/sTez 1.1.变换原理变换原理v通过标准的变换将此横带域映射到整个通过标准的变换将此横带域映射到整个Z Z平面上去，平面上去，由此建立由此建立S S平面与平面与Z Z平面一一对应的单值关系，消除多值平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。性，也就消除了混淆现象。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计72 /112频率压缩频率压缩 设设 经过非线性频

52、率压缩后用经过非线性频率压缩后用 表示，这里用正切变换实现频率压缩：表示，这里用正切变换实现频率压缩：( ),aHs sj 111),( jssHa11tan2T 1111j/2-j/21j/2-j/2111eesin()2j211cos()ee22TTTTTT 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计73 /112转换关系转换关系几种平面的映射几种平面的映射1111/2-/2/2-/2jTjTjTjTeejee 1111zsz11szsTsez111,sjsj 11112222s Ts Ts Ts Teesee1111s Ts Tese12s Te第第6 6章章 IIRI

53、IR数字滤波器的设计数字滤波器的设计74 /112待定系数的引入待定系数的引入 为了使滤波器的某一频率与数字滤波器的任一为了使滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系，可以引入待定系数频率有对应的关系，可以引入待定系数c c 11tan2cT 11111th21s Ts TescsTce1111zsczcszcsn实现频率压缩：实现频率压缩：n实现实现s平面压缩：平面压缩：n转换到转换到z平面：平面：第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计75 /1122.2.常数常数c的确定的确定n考虑当考虑当很小时，很小时， 即即 此时滤波器的低频特性得到很好的近似此时滤波器

54、的低频特性得到很好的近似， 不适合于不适合于高通、带通滤波器高通、带通滤波器的设计的设计n考虑滤波器的截止频率考虑滤波器的截止频率 可以较准确的控制模拟截止频率的位置可以较准确的控制模拟截止频率的位置 11tan2cT 2cT1ccT 11tantan22ccccTc 12Tc cot2ccc 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计76 /1123. 3. 逼近情况逼近情况js由由cjzcj 122 222czc（1 1）当）当 时，时， ；这就是说，；这就是说，s s平面的平面的 轴映射轴映射z z平面的单位圆上。平面的单位圆上。（2 2）当）当 时，则有时，则有 ；这

55、表明；这表明s s左半平面左半平面映射到映射到z z平面的单位圆内。两者均是稳定的。平面的单位圆内。两者均是稳定的。（3 3）当）当 时，则有时，则有 ；这表明；这表明s s右半平面右半平面映射到映射到z z平面的单位圆外。平面的单位圆外。0j01z1z1z 0cszcs第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计77 /112由由jcjecj 2arctanctan2c 111111jjzesccjze 00 00 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计78 /112逼近情况的结论逼近情况的结论n模拟滤波器模拟滤波器Ha(s)中最大和最小值将保留在数字滤

56、波器中最大和最小值将保留在数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。的通带或阻带。n如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。的数字滤波器也一定是稳定的。n由于由于s s平面的整个平面的整个j轴映射为轴映射为z z平面上的单位圆，因此平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了冲激响应不变法所存在的混双线性变换法确实消除了冲激响应不变法所存在的混叠误差，所以逼近是良好的。叠误差，所以逼近是良好的。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤

57、波器的设计79 /1124.4.模拟滤波器的数字化模拟滤波器的数字化n系统函数系统函数1111111( )( )1aazs czzH zHsHcztan()2()()tan()2jaacH eHjHjcn频率响应频率响应第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计80 /1125.5.优缺点优缺点n优点：优点：消除了抽样响应不变法所固有的混叠误差消除了抽样响应不变法所固有的混叠误差 n缺点：缺点：和和间存在着严重的非线性间存在着严重的非线性00 00 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计81 /1121 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性

58、相位数字滤波器非线性相位数字滤波器2 2）要求模拟滤波器的幅频）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会响应为分段常数型，不然会产生畸变。产生畸变。分段常数型模拟滤波器经分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点字滤波器，但临界频率点产生畸变。产生畸变。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计82 /11211/T 112 arctanc预畸变预畸变给定数字滤波器的给定数字滤波器的截止频率截止频率 ，则，则111tan2c 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计83 /112按按 设计模拟滤波器，经双线

59、性变换后，即可设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到得到 为截止频率的数字滤波器为截止频率的数字滤波器11第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计84 /1126.6.双线性变换的表格设计双线性变换的表格设计n数字系统函数数字系统函数NNNNNkkkNkkkasBsBsBBsAsAsAAsBsAsH.)(221022100011112112)()(11zzTHsHzHazzTsa12001212120.( )1.NkNkkNNNkNkka zaa za za zH zb zb zb zb zn模拟系统函数：模拟系统函数：n关系式：关系式：n查查书表书表6.3.16.3.1

60、可得对应的系数可得对应的系数第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计85 /112例例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将下图所示的变法将下图所示的RC低通滤波器转换成数低通滤波器转换成数字滤波器，并画出其结构图。字滤波器，并画出其结构图。 解：首先写出该滤波器的传输函数解：首先写出该滤波器的传输函数Ha(s)为为1( ),aHssRC 利用脉冲响应不变法转换利用脉冲响应不变法转换11( )1TTH zez 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计86 /112 利用双线性变换法转换利用双线性变换法转换1122