数字信号处理总复习

1、数字信号处理数字信号处理 总复习总复习DIGITAL SIGNAL DIGITAL SIGNAL PROCESSINGPROCESSING康莉康莉深圳大学深圳大学 信息工程学院信息工程学院第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统离散时间序列离散时间序列x(n) or x(nT) n or nT典型的离散时间序列典型的离散时间序列（1）单位脉冲序列 定义0,00,1)(nnn(n) n01典型的离散时间序列典型的离散时间序列（2）移位（延时）单位脉冲序列 定义mnmnmn, 0, 1)(n m) n01m典型的离散时间序列典型的离散时间序列（3）单位阶跃序列 定义0, 00, 1)(n

2、nnuu(n) n01典型的离散时间序列典型的离散时间序列（4）矩形序列 定义101( )0nNnNRn其它离散序列的运算离散序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和正弦序列的周期性 ？解答办法：(1)计算(2)看 是否为整数(3)若为整数，是周期的，周期为(4)若不是整数，但是一个有理数 ，则周期为N(5)若是一个无理数，如结果包含 ，则正弦信号不是周期函数0sin()An02 02 02 N k问题什么叫线性移不变系统？（P20）满足可加性 满足比例性线性移不变系统什么时候是因果系统？充要条件：( )00h nn任意序列都可表示为单位抽样序列的移位加权和例: 用单位脉冲序列表示信号

3、-3 -2 -10 1 2 3 4 53a2a6ax(n)n)6()2()3()(623nanananxkknkxnx)()()(抽样定理奈奎斯特定理满足奈奎斯特定理的条件下，信号的重建不会产生频谱混叠，可精确重建原信号2shff第二章第二章 z z变换与离散时间傅立叶变换（变换与离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT）z变换的定义z变换仅针对时域离散序列x(n)而言z是一个复变量，可表示为 nnX zx n zReIm单位圆r=102 jzre例：有限长序列：x(-1)=2, x(0)=1, x(1)=1.5, x(2)=-2, x(3)=0.5的z变换？123( )21 1.5+0.5X z

4、zzzz nnX zx n zz变换的收敛域z变换的零极点零点使 的z值，即分子为零时z的取值极点使 的z值，即分母为零时z的取值相同的Z变换，收敛域不同，则对应的时间序列也不同。( )nnx n zM 0X z X z 几种序列的收敛域几种序列的收敛域1. 有限长序列至少是除 的有限z平面， 处是否收敛需单独考虑0zz 和0zz 和Re zIm jz02. 右边序列的收敛域半径为 的圆外， 是距离原点最远的极点的半径xRxRRe zIm jz0 xRz 包括处10n 几种序列的收敛域几种序列的收敛域3. 左边序列的收敛域半径为 的圆内， 是距离原点最近的极点的半径xRxRRe zIm jz0

5、 xR20n 几种序列的收敛域几种序列的收敛域4. 双边序列的收敛域几种序列的收敛域几种序列的收敛域Re zIm jz0 xRxRROC:ROC:xxxxxxRRRRRzR时，时，( )4znx naa， 为实数，求其 变例 ：换及其收敛域10X(z)=( )=nnnnnnnnnnnx n za za za z解：10=nnnnnna za z 11-11nnnazazaza zazaz11/azza 011110111nnnazaza zazaz11azza Re zIm jz0a1/ a211(1)1( )11(1)()azzaaX zazazaz za当时，0,z 零点：1,za a极点

6、：ROC: 1/aza1X( )az当时，无公共收敛域，不存在围线积分法（留数法）部分分式展开幂级数展开（长除法）记忆老教材P54 P54 表表2-12-1逆逆Z Z变换变换（部分分式展开法）举例（部分分式展开法）举例1: 2 1: 2 阶阶 Z-Z-变换变换分子的阶小于分母 ( z-1)，没有更高阶的极点 1111 ROC: z1121142X zzz 1211111142AAX zzz 11114111141 112 4zAzX z 12112111221 114 2zAzX z举例举例1 1（续）（续）ROC 延伸到无穷 表明是右边序列 11121 z1121142X zzz n112-

7、u n24nx nu n（部分分式展开法）举例（部分分式展开法）举例2 2利用长除法计算 Bo 21121211112 z1311111222zzzX zzzzz21212112132112232 51zzzzzzz 1111521112zX zzz 121121112AAX zzz 11121192zAzX z 12118zAzX z举例举例2 2（续）（续）ROC 延伸到无穷表明是一个右边序列 11982 z11112X zzz 1298u n2nx nnu n序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换的关系S平面z平面Z Z变换的性质变换的性质线性时移乘以指数微分时间反转卷积 onZox nn

8、zX z 1212Zax nbxnaXzbXz /Znooz x nX z z ZdX znx nzdz 1/ZxnXz 1212Zx nxnXz Xz Z Z变换的性质变换的性质初值定理终值定理离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换变换对：单位圆上序列的z变换序列的傅立叶变换离散时间傅立叶变换 1 2jj njj nnX ex n ex nX eed以及需记忆的表格需记忆的表格新教材：新教材：P64P64：表：表2.1 2.1 几种序列的几种序列的z-z-变换及其收敛域变换及其收敛域P90P90：表：表2.2 2.2 z-z-变换的主要性质和定理变换的主要性质和定理P99P99：表：表2.3

9、2.3 序列傅立叶变换的主要性质序列傅立叶变换的主要性质P107P107：表：表2.4 2.4 一些常用的傅立叶变换对一些常用的傅立叶变换对第三章第三章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFTDFT）周期序列的傅立叶级数（周期序列的傅立叶级数（DFSDFS）21100( )DFS ( )( )( )NNjnknkNNnnX kx nx n ex n W2110011( )IDFS( )( )( )NNjnknkNNkkx nX kX k eX k WNN2jNNWe其中：有限长序列的频域表示有限长序列的频域表示离散傅立叶变换离散傅立叶变换10( ) ( )( ) 01NnkNnX kDFT x

10、 nx n WkN101( )( )( ) 01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质教材教材P171P171表表3.33.3线性序列的圆周移位圆周卷积和线性卷积，条件：圆周卷积和线性卷积的计算圆周卷积和线性卷积的关系12-1LNN共轭对称性圆周共轭对称序列满足：圆周共轭对称序列满足：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虚部圆周奇对称 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圆周偶对称arg( )arg()( )

11、epepNNxnxNnRn 幅角圆周奇对称 共轭对称性圆周共轭反对称序列满足：圆周共轭反对称序列满足：*( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 实部圆周奇对称 Im( )Im()( )opopNNxnxNnRn虚部圆周偶对称 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圆周偶对称 幅角没有对称性抽样抽样Z Z变换变换频域抽样理论频域抽样理论由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。( )X k条件频域抽样点数N大于序列长度M即NM11011( )( )1NNkkNzX zX kNWz内插公式

12、：需要记忆的表格：教材P171表3.3需要理解的图表：教材 P141 表3.1第四章第四章 快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFTFFT）直接计算傅立叶变换的问题直接计算傅立叶变换的问题计算量大，计算量为O(N2)具体地，直接计算傅立叶变换时，需计算复数乘法复数乘法N 2次次复数加法复数加法N (N 1)计算中，重复计算的项较多快速傅立叶变换快速傅立叶变换 降低运算量的思路(1)合并重复项，(2)利用对称性、周期性和可约性，将长序列的DFT变成短序列的DFT快速傅立叶变换的计算量复数乘法复数加法直接计算傅立叶变换与快速傅立叶变换的计算量的比较：2log2NN222(DFT)2(FFT)logl

13、og2FFmNNNmNN2logNN1212( )( )( )()( )( )2kNkNX kX kW XkNX kX kW XkFFTFFT的计算公式的计算公式按时间抽选的按时间抽选的FFTFFT算法特点算法特点原位运算倒位序规律蝶形运算两节点的距离：2m1 的确定存储单元的数目：序列需N个存储单元，系数需N/2个存储单元rNW一些符号的中文对应傅立叶变换FT（连续时间、连续频率）离散时间傅立叶变换DTFT周期序列的离散傅立叶级数DFS有限长序列的离散傅立叶变换DFT快速傅立叶变换FFT傅里叶变换形式的归纳傅里叶变换形式的归纳时间函数时间函数频率函数频率函数连续、非周期非周期、连续连续、周期

14、(T0)非周期、离散(0=2/T0)离散、周期离散、周期离散(T)和非周期周期(s=2/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和离散(0=2/T0)傅里叶变换 FT傅里叶级数DFS序列的傅里叶变换DTFT离散傅里叶变换DFT周期序列的DFS请总结出以下变换对公式请总结出以下变换对公式周期序列的DFS序列的傅立叶变换（DTFT）离散傅立叶变换（DFT）快速傅立叶变换（FFT）第五章第五章 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构什么是IIR？什么是FIR？均针对单位冲激响应的序列长度而言当单位冲激响应的序列当单位冲激响应的序列h(n)h(n)是无限长时，是是无限长时，是IIRIIR

15、 当单位冲激响应的序列当单位冲激响应的序列h(n)h(n)是有限长时，是是有限长时，是FIRFIRIIRIIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构IIR系统函数的表示：01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z系统函数： 10( )()()NMkkkky na y nkb x nk对应的差分方程： IIRIIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构4种基本结构直接I型直接II型（典范型）级联型并联型差分方程:10( )()()NMkkkky na y n kbx n k需需N+M个个延时单元延时单元直接直接型型实现N阶差分方程的直接I型结构直接直接型（典范型）型（典范型）NM

16、只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元个延时单元，故称典范型。线性移不变系统交换级联子系统的次序，系统函数不变思路：将系统函数按零极点因式分解:级联型级联型121212121( )( )1kkkkkkkzzH zAAHzzz并联型并联型111220100121112( )( )1NNkkkkkkkzH zGGHzzz各类型基本结构的特点各类型基本结构的特点直接型特点：系数对滤波器的性能控制作用不明显极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差运算的累积误差较大直接II型所用延时单元（N）较直接I型少（N+M）级联型通过调整系数可单独调整零极点的位置而不影响其他零极点运算的累积误差较小具

17、有最少的存储器并联型通过调整系数可单独调整极点位置，但不能单独调整零点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高例：设IIR数字滤波器差分方程为：试用四种基本结构实现此差分方程。( )8 ( )4 (1)11 (2)2 (3)y nx nx nx nx n531(1)(2)(3)448y ny ny n 123123841125311448zzzH zzzz解：对差分方程两边取z变换，得系统函数： 123123841125311448zzzH zzzz得直接型结构：典范型结构： 11211220.37941.245.264111142zzzH zz

18、zz1121128 10.1910.311.32111142zzzzzz将H(z)因式分解：得级联型结构： 11128162016111142zH zzzz将H(z)部分分式分解：得并联型结构：FIRFIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构FIR滤波器系统函数的表示：10( )( )NnnH zh n z对应的差分方程:10( )( ) ()Nmy nh m x nmFIRFIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构5种基本结构：横截型级联型频率抽样型快速卷积型线性相位型横截型（卷积型、直接型）横截型（卷积型、直接型）差分方程:10( )( ) ()Nmy nh m x nm级联型级联型/211201

19、201( )( )()NNnkkknkH zh n zzzN为偶数时，其中有一个 （N-1个零点）20k将 H(z) 分解成实系数二阶因式的乘积形式:频率抽样型频率抽样型1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz用内插公式表示的系统函数：快速卷积结构快速卷积结构在满足以下条件的情况下，可用圆周卷积代替两序列的线性卷积，：121LNNFIRFIR滤波器具有严格线性相位的条件滤波器具有严格线性相位的条件01nNFIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足：( )(1)h nh Nn 偶对称：( )(1)h nh Nn 或奇对称：即对称中心在 (N-1) / 2处则FIR滤波器的频

20、率响应具有严格线性相位。线性相位线性相位FIRFIR滤波器的结构滤波器的结构第六章第六章 无限长单位冲激响应滤波器无限长单位冲激响应滤波器IIRIIR的设计方法的设计方法数字滤波器的优点数字滤波器的优点精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能数字滤波器的实现结构数字滤波器的实现结构IIRFIR01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n z低通、高通、带通、带阻、全通滤波器数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标1.滤波器的频率响应2.()()()jjjH eH ee ：通带截止频率c：阻带截止频率st通带最大衰减：1阻带最小衰

21、减：2频率响应的参量频率响应的参量幅度平方响应相位响应群延迟响应全通系统的应用全通系统的应用级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器为什么用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器？因为模拟滤波器已有现成的设计方法用模拟滤波器设计数字滤波器的方法有哪些：冲激响应不变法混叠现象阶跃响应不变法混叠现象，程度比冲激法轻微双线性不变法不混叠冲激响应不变法冲激响应不变法1( )Nkakk

22、AHsss11 ( )1kNks TkTAH zez 优点优点缺点缺点T2.保持相位的线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器1. h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好( )ah t变换方式变换方式阶跃响应不变法阶跃响应不变法 111( )at nTzH zLHszsZ Z变换方式变换方式1.阶跃响应不变法存在周期延拓和混叠现象。2.混叠现象比冲激响应不变法要小。特点特点双线性不变法双线性不变法 解决混叠现象双线性变换法原理双线性变换法原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。双线性变换法的目的双线性变换法的目的

23、1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz变换方法变换方法缺点：缺点：1.除了零频率附近，与之间严重非线性2.线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器3.若模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，则不会产生畸变第七章第七章 有限长单位冲激响应滤波器有限长单位冲激响应滤波器FIRFIR的设计方法的设计方法加窗函数对频率响应的影响：加窗函数对频率响应的影响：不连续点处边沿加宽, 形成过渡带，过渡带宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。 在处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和大小取决于旁瓣的幅度和大小。称为Gibbs效应2cN 改变N 只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。主瓣与旁瓣的相对比例由窗函数形状决定。sinsinsin22 ( )sin22RNNxWNNxN幅度函数：各种窗函数的选择各种窗函数的选择对窗函数的要求： 窗谱主瓣尽可能窄,以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹矩形窗函数矩形窗函数4N主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大三角形（三角形（Bartlett）窗）窗8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小汉宁（汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）窗（升余弦