高等数学教学资料1.fourier变换

1、fourier一一变变换换laplace二二变变换换laplacefourier三三变变换换与与变变换换的的应应用用fourier变变换换出出现现于于十十九九世世纪纪初初fourierfourierfourier 变变换换分分析析级级数数数数学学研研究究和和工工程程技技术术的的一一个个基基本本工工具具 快快速速fouri er变fouri er变换换, 小, 小波波分分析析等等 fourier变换变换第一节第一节 fourier变换变换fourier一一、变变换换的的概概念念fourier二二、单单位位脉脉冲冲函函数数及及其其变变换换三三、小小结结与与思思考考2001( )dirichlet(

2、 )( )fourier( ) (cossin)2( ) ( ) 1 (0)(0) ( )2tnnnf ttf tdtf taf tan tbn tf ttf tf tf ttf t 设设是是以以 为为周周期期的的函函数数，在在任任一一个个周周期期内内满满足足条条件件，且且，则则的的级级数数处处处处收收敛敛： 当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间断断点点其其中中，222222222202( ),222 ( )cos( )cos222 ( )sin( )sinttttttttttnnaf t dttn taf tdtf tn tdttttn tbf tdtf tn tdtttt 欧拉公式

3、傅氏级数三角形式复指数形式cos,sin222jjjjjjeeeeeejj 011( )222jn tjn tjn tjn ttnnneeeeftaabj 011222jn tjn tnnnnnajbajbaee 02021( )2tttacft dtt 令令22221( )cos( )sin2ttnnttnttajbcftn tdtjftn tdtt 221( )cossintttftn tjn t dtt 221( )(1,2,3,)tjn tttft edtnt 221( )(1,2,3,)2tjn tnntntajbcft edtnt 221( )(0, 1, 2,)tjn ttntc

4、ft edtnt (0, 1, 2,)nnn 若若令令则01( )nnjtjttnnnftcc ec e njtnnc e 或者221( )( )nntjtjttttnftft edt et 一、fourier变换的概念.一、fourier变换的概念.f定定理理:(fourier:(fourier积积分分定定理理) )若若 (t)(t)在在实实轴轴r r绝绝对对可可积积在在任任一一有有限限区区间间上上满满足足dirichletdirichlet条条件件: :在在任任一一有有限限区区间间内内连连续续或或至至多多只只有有有有限限多多个个第第一一类类间间断断点点且且至至多多只只有有有有限限多多个个极

5、极值值点点，则则有有1( )2jj tfed ed ( )( )1 (0)(0)( )2f tf tf tf tf t 当当t是t是的的连连续续点点时时当当t是t是的的第第一一类类间间断断点点时时1. 2 2其其中中j 是j 是虚虚单单位位, j , j证明参阅i.n.snedon傅立叶变换科学出版社1958年f t定定义义: :若若 ( )( )在在实实轴轴r r上上有有定定义义，若若( )( )(1.2)j tff t edt ( )ff t 存存在在, , 则则称称之之为为 ( (t t) )的的f fo ou ur ri i e er r变变换换, , 记记作作 ( ( ) )= =即

6、即 ff ( )( )(1.2)j tf tf t edt fff定理的如如果果 (t)满(t)满足足fouri er积fouri er积分分条条件件那那么么在在 (t)的(t)的连连续续点点11( )( )( )(1.3)2j tf tfedf f 它它称称为为 ( ( ) )的的f fo ou ur ri i e er r逆逆变变换换。 ff ( (t t) )和和 ( ( ) )构构成成一一个个f fo ou ur ri ie er r变变换换对对，记记成成 ff (t)( )(t)( )ffff ( ( ) )称称为为 ( (t t) )在在f fo ou ur ri ie er r变

7、变换换下下的的像像， ( (t t) )称称为为 ( ( ) )在在f fo ou ur ri ie er r变变换换下下的的逆逆像像或或原原像像。ff()( )1( )()2( )( )j tj tff t edtf tfedf tf f由由f fo ou ur ri ie er r积积分分定定理理，在在 ( (t t) )的的第第一一类类间间断断点点处处：11001 522( ) ()()( . )j tfedf tf ttf tu t 例例1 1：求求 ( ( ) )= = ( ( ) )e e的的f fo ou ur ri ie er r变变换换，其其中中 tu tt 0000()=(

8、)=1010称称为为h he ea av vi is si id de e函函数数或或单单位位阶阶跃跃函函数数。( )( )j tj tff t edtuedt t t解：(t)e解：(t)efourier变换对()01jtedtj 1(0)(1.6)uj t t(t)e(t)ef t tt t= =0 0是是u u( (t t) )e e的的第第一一类类间间断断点点00111/2020j tttedtjet j te将=cos t+jsin t代入上式左端222222111221cossinsincos2j tj tjededjttttdjd奇函数0偶函数22111ffffujju t tt

9、 t在在频频谱谱分分析析中中，称称 频频谱谱函函数数，称称为为的的振振幅幅频频谱谱, ,简简称称频频谱谱, ,的的图图象象称称为为的的频频谱谱图图. .例例如如是是的的频频谱谱函函数数( )=(t)( )=(t)是是 (t)(t)( )(t)( )( )(t)( )(t)(t)e(t)(t)e(t)(t), ,是是的的频频谱谱其其频频谱谱下下e e图图如如ffff ( )f12例例 ：求求图图1 13 3- -2 2中中所所示示单单个个矩矩形形脉脉冲冲的的频频谱谱函函数数，并并作作出出它它的的频频谱谱图图。222( )( )sin2j tj teff t edteedt解：振幅频谱2( )si

10、n2ef( )f t22et频谱图如下：( )f0e246211( )01ttf tt 练练习习：求求函函数数的的fourierfourier变变换换. .二二、单单位位脉脉冲冲函函数数及及其其fouri er变fouri er变换换. .引引例例：在在原原来来电电流流为为零零的的电电路路中中，某某一一瞬瞬时时(设(设为为t=0)t=0)进进入入一一单单位位电电量量的的脉脉冲冲，求求电电路路上上的的电电流流i (t).i (t).00tt 0 0解解：电电荷荷函函数数：q(t)=q(t)=1 10( )()( )( )limtdq tq ttq ti tdtt00( )0ti tt 狄狄拉拉克

11、克(dirac)(dirac)函函数数( -( -函函数数) )对对于于任任何何一一个个无无限限次次可可微微的的函函数数f(t),f(t),如如果果满满足足0( ) ( )lim( ) ( )t f t dtt f t dt 00001( )0;( )0( ),( )( )( )( ).tttttttttt 弱弱其其中中则则称称的的弱弱极极限限为为 - -函函数数. .记记为为即即或或简简记记为为m m，lili( ) t的图形如下010,( )1t dtdt( ) t1ot所以 -函数又称为.单单位位脉脉冲冲函函数数 - -函函数数的的筛筛选选性性质质：若若f(t)f(t)为为无无限限次次可

12、可微微的的函函数数, ,则则有有( ) ( )(0)t f t dtf 0001( ) ( )lim( ) ( )lim( )t f t dtt f t dtf t dt 分分析析：f f( (t t) )是是无无限限次次可可微微函函数数, ,f f( (t t) )是是连连续续函函数数，由由积积分分中中值值定定理理0001( ) ( )lim( )lim()(01)t f t dtf t dtf ( ) ( )(0)t f t dtf 所所以以，00() ( )( )ttf t dtf t 更更一一般般地地， - -函数的运算公式：函数的运算公式：( )( , )( ) ( )(0)xx d

13、x 000011()( )( (), )( , ()()()( )( ,()(0)( ) ( )( ( ) , )( ,( ) ( )(0) (0)( )( ), )( ,( )(0)xxxxxxxxaxaaaxxxxxx 00015(35)()33( ) ()() ()xxxxxxxx例：证明例：证明数数变变换换：-函的傅氏0( ) ( )( )1j tj ttftt edte f 即即，单单位位脉脉冲冲函函数数 ( (t t) )与与常常数数1 1构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对. . 0 0-j t-j t0 0同同理理， (t-t )与(t-t )与e构e构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对. .0()02( )2()j tjtedtedt 所所以以，jt 0 00 0类类似似，1 1和和2( )2( )构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对， e e和和2()2()构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对. . 0 0例例4 4：求求正正弦弦函函数数f(t)=sintf(t)=sint的的傅傅氏氏变变换换。0( ) ( )sinj tff ttedt解：f0000()()122jtjtjtjtj teeedteedtjj 000012()2() ()()2jj .sgntj 2 2例例5 5：证证明明=f( )( ).u tj 1 1例