正弦定理教案

1、正弦定理及其运用教学目标通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；掌握由正弦定理而推论出的三角形面积公式。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。学习引入如图，固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动. BCA 思考： (1)C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大.(2)能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ (3)那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？还有其方法吗？ 讲授新课

2、探索研究在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, A则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B (图11-3)从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的

3、正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。讲解范例：例1 在中，已知，cm，解三角形。例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。例题答案例1解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2解：根据正弦定理，因为，所以，或

4、当时， ， 当时， ，评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角.正弦定理的变形公式：，；，；三角形面积公式：例3 中，若，求的面积引入三角形形状的判断设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则典例剖析例8在中，则的面积是（）AB C D例9在中，若，则的值为（）A B C D例10在中，若，则这个三角形中角的值是（）A或B或C或D或 例12. 在ABC中，已知a，b，B45，求角A、C及边c例8C 例9.B 例10.D 例12解 A160 C175 c1A2120 C21

5、5 c2课后作业一、选择题2在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）A B C D3 在ABC中，若，则等于（ ）A B C D 4 在中，若，则等于（ ）A B C D 5已知ABC中，a10， A45，则B等于 ( ) （A）60 （B）120 （C）30 （D）60或120二、填空题6在中，若，则最大角的余弦值等于_7在中，已知，则_8在中，若，AB=5，BC=7，则AC=_9在ABC中，a，b分别是A和B所对的边，若a，b1，B30，则A的值是 三、解答题10在ABC中，已知A30，a，b分别为A，B的对边，且a4b，解此三角形答案2.B3 C 4 D 或 5.D6 7、6或3 8、3 9、60或120解析：由正弦定理计算可