数值分析复习试题及答案解析

1、WORD格式整理专业资料值得拥有数值分析复习题一、选择题1.3.142和3.141分别作为二的近似数具有（）和（）位有效数字A. 4 和 3 B . 3 和 2C. 3 和 4 D . 4 和 42 1211 f （x px 宙二 f 口）+Af （二）+二 f 2.已知求积公式636，则A =（）A.6 B. 3 C. 23.通过点Xo,yo , X1,y1的拉格朗日插值基函数lo X儿X满足（）A.I。*）= o,h（X1严0b.（X。） = o，肛为尸1CIo（Xo）=h（X1）=1Dlo（X。）= 1 ,l1（M）=14. 设求方程f X =O的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A.超

2、线性 B.平方C .线性D.三次2x2 x3 = O2x-i 2x2 3x3 =35. 用列主元消元法解线性方程组3x2作第一次消元后得到的第3个方程A -X2 X3 =2 B -2X2 1.5X3 3.5C -2X2 X3 3 D X2 -O.5X3二、填空1.设 = 2.3149541.，取5位有效数字，则所得的近似值x=.f (x2f(X1 ) 1 -4T x1, x2 一f X3 - f X22.设一阶差商八3f X2,X3二2 1X3 _ X2:).=-1.56-1 _ 54-22则二阶差商f Xl，X2，X3二3.设 X =(2,-3,-1),则 |X|2=, II X ILo=2

3、4求方程x -x-1.25=0的近似根，用迭代公式y、f(x,y)5 解初始值问题y(Xo) =yo近似解的梯形公式是(1 1)A =6、Af (-1) A2f(-) AJL)对于次数f (h)-h中待定参数 A的值（i二0,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20、已知一组试验数据如下1234544.5638.52x-| 3x2 4x3 二 6, 3为 +5x2 + 2x3 = 5,4论 +3x2 +30x3= 3222.已知-1245-2457求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组（1）用拉格朗日插法求f（X）的三次插值多项式；求x ,使f（X）= 0

4、。确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度24、用Gauss消去法求解下列方程组1 1x x（x）迂f（-1）+2f（xJ+3f 区）.取步长.试求Xl, X2使求积公式 J3的代数精度尽量高，并求其代数精度。丄= 2x -5y,2134433032、T011/4-41/2-19T3/2-11-10;433032、T011 丄2,8.0012丿32、4 3 30 32A5T3 52560 3 4 6433032、011/4-41/219少02/114/11/4x1 3x2 30x3 =32, 卜=13(11x2 82x3 =38,二彳 X2 =8,X

5、3 = 2.X3 =2.22解.用反插值得x 二 f -(y)(y -(y-讯 y-7). ? (y 2)(丫5) 7). 4 (y(y 4)(y 7)(2 4)(25)(27)(4 -2)(4-5)(4 -7)(52)(5 4)(5 7).5 (y 2)(y 4 y 5)(7 -2)(7 -4)(7 -5)8 令y = 0得 x = f 亠(0)：32解令f(x) =1,x,x代入公式精确成立，得A + B =2h hA + Bx! = 02223h2A +Bx； = h3-33x= h, B= h, A= h解得 322 ，得求积公式hJ (x)dxf30= f f (x)dx h(h)3

6、 +3f r h)3对 f (x)二x ；上 3234 h9 故求积公式具有2次代数精确度。24、解：本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。， 1 1一为十一 x2 +x3 =945 26 311X2X3 二-4604513一x3 = -154 -15 3故x -154 153 = 177.691X2 = -60( -4x3) =476.924511X1 =4(9X3X2) = 227.082x3x212x1 3x| =16 52.解：由等式对f(x) =1,X，X精确成立得:解此方程组得1-63 +2施X2 :15又当f(X)= x时左边=右边此公式的

7、代数精度为2 解：梯形法为 * = yn *.2(2xn 5yn) * (2xn 5yn*)即2 ix 1yn 1(Xn Xn1)y.1515迭代得y1 =0.62667,y2 =0.55566, y3 = 0.58519, y =0.64840,y 0.722801-183-1-151A|b卜12-3315b =2，2行与1行交换得】1116解：先选列主元183-1-1570 -1 -53小了 17310 L613T.消元-183o Z6013行与2行交换LT171873-153175；消元3 -I7 176 18n 220 7-15317向TdetA=-187 22 =-66回代得解x3

8、-3，x2 -2,儿-1 ；行列式得16 7解:3是f(x)=x2-3=0的正根，f(x)=2x，牛顿迭代公式为2Xn，人 33 右云5，1,2，.)取Xo=l.7,列表如下:科1231.732351 732051.7320529、已知数据如11.41.32.22.-0.9310.4730.2970.2240.1681求形如y a bx拟合函数。解:拟合曲线为=-2.0535=3.02651a亠bx ,令z1 ,贝 U z = abxy _y5555、Xi = 9, X：= 17.8, v Zi= 16.971,、 ZjXi 土i -4i -4i 二解此方程组得5 1；8 b = 35.902

9、1f2.05353.0265 x(XX0)(XXi)30、解：过点（x0,f0）,（Xi,fi）,（X2,f2）的二次拉格朗日插值多项式为L2(xr f。.fi(X0 Xj(X0 X2)(Xi X)(Xi X2)(X2 X0)(X2 Xj代值并计算得 Sin0.34 :丄2(0.34) =0.333363i、解：Vn 1h(yn %),彳hyn 1 二yn 2【(yn Xn) (Vn i 人 i),(n ,1,2,3丄)y =i,yk =1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.32、解:Bj =2 1312-1 - Bj2_3

10、12311扎12-1 =0,Bg 二30广10 0一022 1-101611l _艮仝.2（）=0,得（傀）=Gauss - Seide迭代法收敛。121411 1120】002 1-102 T31_21112J二P（Bj）=咼1 ;即Jacob迭代收敛,简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。.Gauss-SeideI迭代法收敛快一些。又Q1112误差分析的原则有：1 ）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。一、选择题(共30分，每小题3分)1、下列说法中不

11、属于数值方法设计中的可靠性分析的是()。(A)方法收敛性；(B)方法的稳定性；(C)方法的计算量；(D)方法的误差估计。2、 已知方程x3 3- 2x- 5=0在区间2,3存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代()次可以保证误差不超过-10。2(A) 5 ；(B) 7 ；(C) 10 ；(D) 12。3、 一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是()(A)调换方程位置；(B)选主元；(C直接求解；(D)化简方程组。4、 设 f(x) =9x8 3x4 10，则 f20,21,22,23,24,25,26,27,28和 f30,3-,32,33,34,35,36,37,38,39 的值分别

12、为(C)迭代矩阵B严格对角占优;(D)迭代矩阵 B的谱半径p (B)1。(A ) 1, 1；(B) 9X 8!,0 ；(C) 9, 0；(D) 9, 1。5、若用复化的辛浦生公式计算积分nsin xdx ,0问积分区间要()等分才能保证误差不超过2 10* ?(A) 10 ；(B) 15；(C) 20；(D) 25。6、用一般迭代法 x(k T)二 Bx(k) .g求解方程组Ax=bW解，则当()时，迭代收敛。(A )方程组系数矩阵 A对称正定;(B )方程组系数矩阵 A严格对角占优;7、在区间0,1上满足y(0)=1.5,y(1)=2.5的0次拟合多项式曲线是()(A) y = 2；(B)

13、y = 1.5 ；(C)8、 复相关系数的取值区间为：()(A) 0 空 R 乞 1 ；(B) 1 乞 R 乞 1 ；9、 方差分析主要用于分析()(A) 自变量和因变量都是分类变量(C)自变量和因变量都是数值变量y = 2.5 ；(D) y = 4。(C) - ： R - 1 ；(D) - 1 _ R _(B) 自变量和因变量都是顺序变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量(B)各分类间均值相等10、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是()(A) 各分类间方差相等（C）各分类间均值不相等（D）各分类间至少有两组均值相等二、填空题（共30分，每小题3分）1、 数值计算中主要研究的误差

14、有 和。2、x*的相对误差约是 x*的相对误差的倍。3、方程求根的二分法的局限性是 。4、 求方程根的割线法的收敛阶为。5、 求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。2ax1 x2 = -36、 若用高斯-赛德尔法解方程组 xi *ax2 =4，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是a应满足7、 线性代数方程组 Ax=bB容的充要条件是 _。8、单纯形算法的基本思路是 ：。9、 参数假设检验的含义是 。10、假设检验的基本思想的根据是 三、（7分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。f(x)dx Ao f (xo) Ai f(Xi)8x1 -x2 x3 =8四、（8分）已知方程

15、组2x1 10xx3 =11或Ax二b分别写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭xi X2 -5X3 - -3代法的分量形式。y（o）=1五、（9分）设步长为h，分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出微分方程y =y 1的求解公式。六、（8分）设总体 X在区间a, b上服从均匀分布，其中a、b未知，X1,X 2 /, X n为总体 X的样本，求a、b的极大似然估计量.七、（8分）将如下线性规划问题化成标准型：Min Z = -x1 2x2 3x(1)(2)(3)X1 +x2 +X3 兰7X1 -X2 X3 -2-3x1 x2 2x3 =5X1,X2 _0

16、,X3 无限制参加答案一、选择题(共30分，每小题3分)1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是(C )。(A)方法收敛性；(B)方法的稳定性；(C)方法的计算量；(D)方法的误差估计。2、已知方程x3 3- 2x- 5=0在区间2,3存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代( C )次可以保证误差不超 过 1 10 3 O2(A) 5 ;(B) 7 ;(C) 10 ；(D) 12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是()(A)调换方程位置；(B)选主元；(C直接求解；(D)化简方程组。4、 设 f(x) =9x8 3x4 10，则 f 20,21,22,23,24,25

17、,26,27,28和 f30,31,32,33,34,35,36,37,38,39 的值分别为(B )(A ) 1, 1；( B) 9X 8!, 0；(C) 9, 0；(D) 9, 1o兀5、若用复化的辛浦生公式计算积分sin xdx，问积分区间要(A0超过2 10止?(A) 10 ;(B) 15;(C) 20;)等分才能保证误差不6、用一般迭代法x(k二Bx(k) g求解方程组Ax=bW解，则当(D) 25oD )时，迭代收敛。(A )方程组系数矩阵 A对称正定;(B )方程组系数矩阵 A严格对角占优;(C)迭代矩阵B严格对角占优;(D)迭代矩阵 B的谱半径p (B)1o7、在区间0,1上满

18、足y(0)=1.5,y(1)=2.5的0次拟合多项式曲线是(A )(A) y = 2;(B) y = 1.5 ;(C)8、 复相关系数的取值区间为： (A )(A) 0 R 1 ;(B)-1 R _1 ;9、 方差分析主要用于分析(D )(A)自变量和因变量都是分类变量(C) 自变量和因变量都是数值变量y = 2.5 ;(D) y = 4。(C) - ： R - 1 ;(D) - 1 _ R _ ：(B) 自变量和因变量都是顺序变量(D) 自变量是分类变量，因变量是数值变量11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是(B )(A)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等(C) 各分类间均值不

19、相等(D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每小题3分)1、 数值计算中主要研究的误差有 和。12、x*的相对误差约是x*的相对误差的-倍。*23、方程求根的二分法的局限性是 。收敛速度慢，不能求偶重根。4、 求方程根的割线法的收敛阶为 。 1.618或 出525、 求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。 5f6、 若用高斯-赛德尔法解方程组丿x, *ax2 =4，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是a应满足2axt +x2=-3,V2 一。a 云7、 线性代数方程组 Ax=bB容的充要条件是。rank(A) = rank(A,b)&单纯形算法的基本思路是 :根据问题的标准

20、型，从可行域中某个基本可行解(顶点)开始，转换到另一个基本可行解(顶点)，并使得每次的转换，目标函数值均有所改善，最终达到最大值时就得到最优解。9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。10、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。”三、(7分)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。1f(x)dx Ao f(xo) A1 f(x1)-j8xt _x2 +x3 =8四、(8分)已知方程组 2xp +10x2 -X3 =11或Ax =b分别写出该方程组的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭x1 x

21、2 _5x3 = -3代法的分量形式。五、(9分)设步长为h，分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出下列微分方程的求解公式：y=x _y +1:y(0) =1。六、(8分)设总体X在区间a, b上服从均匀分布，其中a、b未知，X1, X 2 / , X n为总体X的样本，求a、 b的极大似然估计量.七、(8分)将如下线性规划问题化成标准型：Min Z - -x1 2x2 - 3x3s.t.X1+X2+X3 兰7(1)X1X2+X3 兰2(2)-3X1 X2 2x3 =5(3)X1, X2 -0 , X3 无限制试题.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1. 设有节点X

22、o,x2 ,其对应的函数y = f x的值分别为y,yi,y2,则二次拉格朗日插值基函数lo (x)为2. 设f xj=x2，则f x关于节点怡=0,为=1, % =3的二阶向前差分为 13.设 A = 10-11x =2,则A3J4. n 1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定?2. 什么是不动点迭代法？ x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于:x的不动点？3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三. 求一个次数不

23、高于3的多项式P3 x，满足下列插值条件：x123yi2412y；3并估计误差。（10分）1 1四. 试用n =1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分l=Jodx。（ 10 分）01 + x五. 用Newton法求f （x）二x-cosx =0的近似解。（10分）六. 试用Doolittle分解法求解方程组：51 3-320x1 2x2 3x3 = 24七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组为8X2 X3 =12的迭代格式，并判断其是否收敛?2x-| -3x2 15x3 =30（10 分）八.就初值问题 yy考察欧拉显式格式的收敛性。（io分）y（o）= yo参考答案填空题（每小题3分，共1

24、2分）1. l0 x （x -X1）（x -x；2.7 ； 3. 3 , 8; 4. 2n+1。 （xo Xj（ X。 X2 ）简答题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）对于对称正定阵A从aH - ；三怎可知对任意k iL的元素不会增大，误差可控,（4分）不需选主元，所以稳定。（2 分）（2 分）3）X在其定义域内满足李普希兹条件。（2 分）2. 解：（1）若X二叩:x ，则称X为函数X的不动点。（2 分）（2） X必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于X的不动点:1）X是在其定义域内是连续函数;2）X的值

25、域是定义域的子集;（8 分）3. 解：参照幕法求解主特征值的流程步1:输入矩阵A,初始向量v0，误差限，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1,:=0 , u0=v0/|v0| g;步 3:计算 vk=Auk-1;步4：计算并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- 1 |，计算，输出 mk,uk;否则，转6;步6:若kN,置k:=k+1, i :=mk，转3;否则输出计算失败信息，停止解：（1）利用插值法加待定系数法：、r2设 P2 x 满足 P2 11=2, P2 2 =4,P2 3=12,则 P2 x = 3x -7x 6, （3分） 再设 P3 x 卡 x K x-1

26、 x-2 x-3K =232（3 分）（1 分）（1 分）P3 x = 2x -9x 15x -6（2） R3（x）TfCxqx2%3）四.解：应用梯形公式得1石一f 0 f 10.75应用辛普森公式得:I2扑o）+4f帥6_= 0.69444444应用科特斯公式得:丄 7f 0 32f - 12f 1 32f9042+ 7f（1）l（2 分）（2 分）（1 分）（2 分）（1 分）（2 分）251001U11U12U13413-19=l2110|U22U23-3卡一! 31l32U33 _（3 分）（1 分）（2 分）（4分）（2 分）= 0.6931746（2 分）五.解：由零点定理，x-

27、cosx=0在（0,）内有根。（2分）2由牛顿迭代格式Xm =冷_人_COS冷 门=0,1,（4分）1 +sin xn卄兀取x得，4捲=0.73936133;冷=0.739085178x3 =0.739085133 & =0.739085133*故取 x ： x4 =0.739085133六.解：对系数矩阵做三角分解：12 5-6A= 213-7 =LU-3 4 1二 4 j若 Ly 二 b，则 = 10, y2 - -1, y3 = 4 ；若Ux =y，则 x =（3,2,1）t。七.解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为00.5-0.5B =-10-10.50.502其特征多项式为det（ I -B）二，