数列同步练习及详解答案

1、数列同步练习测试题I 学习目标1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数2 理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项3 了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项n 基础训练题一、选择题数列an的前四项依次是:(A)an= 4n4, 44, 444, 4444,则数列an的通项公式可以是()(B)an= 4n2 在有一定规律的数列0,3, 8, 15,24, x, 48, 63,中，x的值是()(A)30(B)35(C)36(D)423 数列an满足：a1= 1, an= an 1 + 3n,则a4等于()(A)4(B)

2、13(C)28(D)434 156是下列哪个数列中的一项()(A) n + 1(B)n2 1(C)n2+ n(D)n2+ n 15 若数列an的通项公式为an= 5 3n,则数列an是()(A)递增数列(B)递减数列(C)先减后增数列(D)以上都不对二.、填空题6 (D)an= 4X 11n4(C)an= (10n 1)9数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式:2 1 2 (1)1 5时，证明an v 0.12.在数列an中，已知an =n2n 1 (n N*).(1)写出 aio, an+1, an2 ；279 是否是此数列中的项若是，是第几项3113. 已知函数 f(x) x ，设

3、an= f(n )(n N +). x(1) 写出数列an的前4项；(2) 数列an是递增数列还是递减数列为什么等差数列同步练习测试题I 学习目标1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题2 .掌握等差数列的前 n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题3 .能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系n 基础训练题一、选择题数列an满足：a1= 3,(A)98数列an是首项a1 = 1,(A)667在等差数列an中，若(A)15an+1 = an 2,贝V a1oo 等于()(B) 195(C) 201(D) 198公差d = 3的等差

4、数列，如果 an= 2008，那么n等于()(B)668(C)669a7+ a9= 16, a4= 1,贝U a12 的值是(B)30(C)31(D)670)在a和b(a b)之间插入n个数，使它们与a, b组成等差数列,b a(A)-n设数列an是等差数列，且(A)S4 1)，给出以下四个结论：an是等比数列；an可能是等差数列也可能是等比数列；an是递增数列；an可能是递减数列其中正确的结论是()(A)(B)(C)(D)二、填空题6 .在等比数列an中,a1, a10是方程3/+ 7x- 9 = 0的两根，则a4a7=.7.在等比数列an中，已知 a1+ a2= 3, a3+ a4= 6,

5、那么 a5 + a6=.&在等比数列an中，若a5= 9, q = 1，则an的前5项和为.29. 在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 3210. 设等比数列an的公比为q,前n项和为3,若S +1,3,3+2成等差数列，则q =三、解答题11. 已知数列an是等比数列，a2 = 6, a5 = 162.设数列an的前n项和为 S(1) 求数列an的通项公式；(2) 若 3= 242，求 n.12. 在等比数列an中，若 a2a6= 36, a3+ a5= 15，求公比 q.13. 已知实数a, b, c成等差数列，a+ 1, b+ 1, c+ 4成等比数列

6、，且 a+ b+ c= 15,求a, b, c.川拓展训练题14. 在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于1q,每列上的数从上到下都成等差数列.aj表示位于第i行第j列的数，其中a24 = , a428=1, a54=.16ana12a13a14a15a1ja21a22a23a24a25a2ja31a32a33a34a35a3ja41a42a43a44a45a4jai1ai2ai3ai4ai5aij(1) 求q的值；(2) 求aij的计算公式数列求和同步练习测试题I 学习目标1.会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和2 .会使用裂项相消

7、法、错位相减法求数列的和n 基础训练题一、选择题1.已知等比数列的公比为 2,且前4项的和为1,那么前8项的和等于()(A)60(B)(C)85(D)1203 .数列an的通项公式an= ( 1)n1 2n(nN ），设其前 n项和为Sn,贝U S00等于（(A)100(B) 100(C)200(D) 2004 .数列1的前n项和为（)(2n1)(2 n1)“八n,r、 2nn2n(A) r2n 1(B)；2n 1(C)4n 2(D) n 15.设数列an的前n项和为Sn, ai= 1,（A）15（B）1712若数列an是公差为的等差数列，它的前值为（）(C)19(D)21100项和为145，

8、贝U ai+ a3+ a5+ a99的a2= 2，且 an+ 2= an+ 3(n= 1, 2, 3,)，则 Soo 等于()(A)7000(B)7250二、填空题1 1 16. 21,32、4(C)75001.n 1、n(D)1495017. 数列n +歹的前n项和为.2 2 2&数列an满足：a1= 1, an+1 = 2an，贝U a1 + a 2 + a n =9.设 n N*,a R,则 1 + a + a2 + an=1C131 110.12n n =248 2n三、解答题11 .在数列an 中,a1= 11, an+1 = an + 2(n N*),求数列| an|的前 n 项和

9、 Sn.12. 已知函数 f(x)= a1x+ a2x2 + asx3+ anxn(n N*, x R),且对一切正整数n 都有 f(1)=n2成立(1)求数列an的通项an；亠 1 1 1求13.在数列an中，a1= 1，当n2时，an= 12* 1，求数列的前n项和Sn.a1a2a2a3anan 11川拓展训练题14. 已知数列an是等差数列，且 ai= 2, ai+ a2+ a3= 12. 求数列an的通项公式；令bn= anxn(x R),求数列bn的前n项和公式.数列综合问题同步练习测试题I 基础训练题、选择题等差数列(A)3等比数列(A)5如果a1,an中，an中,a2,a3,a1

10、 = 1,公差d丰0,如果a1, a2, a5成等比数列，那么 d等于()(B)2(C) 2(D)2 或一2an 0,且 a2a4+ 2a3a5 + a4a6= 25,贝U a3 + a5 等于(D)20d丰0,则(B)10(C)15，a8为各项都是正数的等差数列，公差(A)a8a4a5(B)a1a8V a4a5(C)a1 + a8 a4 + a5(D)a1a8 = a4a5一给定函数y= f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1 (0,的数列an满足an +1 an(n N*),则该函数的图象是()1)，由关系式an+ 1 = f(an)得到已知数列an满足a1 = 0,an 1学 爲(n

11、N*),则a20等于(30. 1(A)0(B) .3(C) - 3、.3(D丐二、填空题6 .设数列an的首项a1 =1，且 an 141an ,21an,4n为偶数，则a2=n为奇数.,a3 =7.已知等差数列an的公差为2，前20项和等于150,那么a2 + a4 + a6+ a20=.&某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成个9. 在数列an中，a1 = 2, an+1 = an+ 3n(n N )，贝V an =.10 .在数列an和bn中，a1= 2，且对任意正整数 n等式3an+1 an = 0成立，若bn是an与 an+

12、1的等差中项，贝U bn的前n项和为.三、解答题11. 数列an的前n项和记为 S,已知an= 53 3(n N*).(1)求 ai, a2, a3；求数列an的通项公式；(3) 求ai+ a3+ a2n i的和.12. 已知函数f(x)= (x 0),设ai = 1,f(an)= 2(n N*),求数列an的通项公式x2 413. 设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3= 12, S120, S13 0,a2007 + a2008 0, a2007 a2008 v 0,则使前 n项和Sn 0成立的最大自然数n是()(A)4012(B)4013(C)4014(D)4015二、填空题6 .已知

13、等比数列an中，a3= 3, aio= 384，则该数列的通项 an =.7.等差数列an中，ai + a2 + a3 = 24, ai8+ ai9+ a2o= 78,则此数列前 20 项和 S2o=,&数列an的前n项和记为Sn,若n2 3n+ 1，贝V an =.9 .等差数列an中，公差d丰0，且ai, a3, a9成等比数列，则 粤_：6严=.a4 a7 a102 2 * 10. 设数列an是首项为1的正数数列，且(n+ 1)an1 na n + an+ian = 0(n N ),则它的通项 公式an=.三、解答题11. 设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a3 + a7 a10

14、= 8, an a4 = 4，求 Sn.12. 已知数列an中，a1 = 1,点(an, an+1 + 1)(n N*)在函数 f(x) = 2x+ 1 的图象上.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列an的前n项和Sn；设Cn= Sn,求数列Cn的前n项和Tn.13 .已知数列an的前n项和S满足条件S1= 3an + 2.(1) 求证：数列an成等比数列；(2) 求通项公式an.14. 某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 写出该渔船前四年每年所

15、需的费用(不包括购买费用)；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元n 拓展训练题15.已知函数f(x)=an= f( )(n N*).an 1m,使对任意n N*有b：v 25 2 (XV 2)，数列an满足 ai= 1,.x 4(1)求 an；设bn= an 1 + a： 2 + a；n1 ,是否存在最小正整数成立若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由16 已知f是直角坐标系平面 xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q,记作Q=f(P).设 P1(X1 , y1)

16、, P2= f(P1), P = f(P2)，Pn= f(Pn1),.如果存在一个圆，使所有 的点Pn(Xn, yn)(n N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 Pn(Xn, yn)的一个收敛圆. 特别地，当P1 = f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点.1若点P(x, y)在映射f下的象为点 Q( x+ 1,y).2(1)求映射f下不动点的坐标；若P1的坐标为(2, 2)，求证：点Pn(xn, yn)(n N*)存在一个半径为2的收敛圆.测试答案数列同步练习测试题、选择题1. C 2. B 3. C4. C 5. B二、填空题26. (1)an (或其他符合要求的答案)n 17.

17、 (I)-,-9,25(2)78. 672 5 10 17 26提示：1 ( 1)n(2)an 一(或其他符合要求的答案)19. 10. 4159 .注意an的分母是1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15.10. 将数列an的通项an看成函数f(n)= 2n2 15n + 3，利用二次函数图象可得答案三、解答题11. (1)数列an的前 6 项依次是 11, 8, 5, 2 , 1, 4;(2)证明：T n5 , 3nv 15,二 14 3nv 1, 故当 n5 时，an= 14 3nv 0.2109n 3n12. (1)a10 ,an 13 32(2)79 是该数列的第15项.3113.

18、(1)因为an= n ，所以a仁n14 n2 n1;,an2338150, a2=a3 =,a4=234因为 an+1 an= (n + 1)1 (n 1 )= 1 +-n 1nn(n 1)又因为 n N+,所以 an+1 an0,即 an+1an. 所以数列an是递增数列.等差数列同步练习测试题、选择题1 . B 2. D二、填空题6. a47. 13提示：3. A8. 64. B 5. B9. 6n 110 . 3510 .方法一：求出前 10项，再求和即可；方法二：当 n为奇数时，由题意，得an +2 an = 0，所以a 1 = a3= a5= = a2m-1 = 1(m N*).当n

19、为偶数时，由题意，得 an+ 2 an= 2,即 a4 a2= a6 a4= = a2m+2 a2m = 2(m N ).所以数列a2m是等差数列.故 So= 5ai + 5a2+ 5 (5 1) x 2= 35.2三、解答题11.设等差数列an的公差是d,依题意得a1 2d 7,a1 3,4 3解得4a1d 24.d 2.2数列an的通项公式为an = a1+ (n 1)d = 2n + 112. (1)设等差数列an的公差是d，依题意得aiai9d 3,解得 ai 12,19d5. d 2.数列an的通项公式为 an= a1 + (n 1)d= 2n + 1.数列an的前 n 项和 Si=

20、 nx 12+ nx 2 = n2+ 11n,Sn= n2+ 11n= 242，解得 n= 11，或 n = 22(舍).13. (1)通项 an= a1 + (n 1)d= 5 + (n 1)x (= + .解不等式+ v 0,得n. 因为n N*，所以从第85项开始anv 0.糸 na1+ d= 50n+x (- = -+.2 2由(1)知：数列an的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(S )max= S84 = x 842 +x 84 =.214 . 3an+1 = 3an+ 2，an+1 an =32由等差数列定义知：数列an是公差为彳的等差数列.记 a1+ a3+ a5+ a

21、99 = A, a2 + a4+ a6+ a100= B,贝V B= (a1+ d)+ (a3 + d) + (a5+ d)+ (a99 + d)= A+ 50d= 90 + 100 .3所以 S100= A+ B= 90 + 90+ 100 = 2131.33等比数列同步练习测试题一、选择题1 . B 2. C3. A 4. B 5. D提示：5 .当a1= 0时，数列an是等差数列；当a1M 0时，数列an是等比数列; 当a1 0时，数列an是递增数列；当a1v 0时，数列an是递减数列二、填空题6. 37. 128. 2799 . 21610. 2提示：10 .分q = 1与q丰1讨论.

22、当 q = 1 时，Sn= na1，又 23= S+1 + Sn+2, 2nai = (n + 1)ai+ (n+ 2)ai, -ai = 0(舍).当q丰1, Sn=印(1 qn)1 q又 2S= S+1 + S+2,nn 1n 2、ai(1q ) = a1(1 q )a,1q )1 q1 q1 q解得q = 2，或q= 1(舍).三、解答题11. (1)an= 2x 3n1；(2)n= 5.112. q= 2 或土一.2a 2 a 111)2，解得 b 5，或b 5a c 2b,13. 由题意，得(a 1)(c 4) (bc 8c1a54a245116 8152316.1-y.曰2a441

23、于是q4a424a b c 15.14. (1)设第4列公差为d,则d51故 a44= a54 d =16 161由于aj0,所以q0,故q =.2111在第 4 列中，ai4= a24 + (i 2)d = (i 2)i.8 1616由于第i行成等比数列，且公比q=丄，2所以，aij= ai4 qj 4 =丄i (丄)j 4 i (1)j .16 2 2数列求和同步练习测试题、选择题 1 . B 2. A 3. B 4. A 5. C提示：1 .因为 a5 + a6 + a7 + a8= (a1 + a2+ a3 + a4)q4= 1 x 24= 16,所以 S8= (a1+ a2+ a3+

24、 a4)+ (a5+ a6+ a7+ a8)= 1 + 16= 17.2 .参考测试四第14题答案.2,所以 S100 = 50x ( 2) = 100.14.-1 31112(111 1 1；)7()32 3 53 5(2n1)(2 n 1)2(121 1 _) (_ 331)(11)n5)(2 n 12n12n 13 .由通项公式，得a1+ a2= a3 + a4= a5 + a6= = 1 1 12(2n 1 2n 1)5. 由题设，得an+2 an= 3,所以数列a2n-1、a2n为等差数列,前100项中奇数项、偶数项各有 50项,X 3= 3775,其中奇数项和为50 X 1+ 50

25、 49 x 3= 3725，偶数项和为50 X 2 + 50 492 2 所以 Si00= 7500.二、填空题 n(n 1)11 n 八6. 117.-18.(4n-1)2 2n31,(a0)9. n1,(a1)1an1(a0,且 a 1)1 a ,提示:10.6 利用.n 1.一 n化简后再求和28. 由an+1=2an,得薯 2，：罷=4,故数列a2是等比数列，再利用等比数列求和公式求和10. 错位相减法.三、解答题11 由题意，得an +1- an= 2,所以数列an是等差数列，是递增数列二 an=- 11 + 2(n 1) = 2n- 13,也 13由 an= 2n- 13 0,得

26、n .2所以，当 n 7 时，an 0；当 nw 6 时，anv 0.当 nw 6 时，Sn= | a1| +1 a2| + | an| =- a1- a2一an=-nX (- 11) + n(n X 2= 12n n2;2an当 n 7 时，Sn= | a1| +1 a2| + | an| =- a1- a2一a6 + a7 + a8 + =(a1+ a2+ + an) - 2(a1 + a2+ + a6)X 2 - 26 X (- 11) + X 2 = n2- 12n + 72.2=-x (- 11)+ 血卫26) (n N*).7)12n n2, (nsn2n212n 72, (n12

27、. (1) / f(1) = n2,- a1+ a2+ a3+ + an= n2.所以当n= 1时，a1= 1 ；当 n2 时，a1+ a2 + a3+ + an-1= (n-1)2一得，an = n2 (n 1)2= 2n 1.(n2)因为n= 1时，a1= 1符合上式.所以 a-= 2n- 1(n N*).111aa2a2 a3anan 1111 11-(1-)(-)232 351111(1)()23351 1 11 33 5(2n 1)(2 n 1)1 1 1( )2 2n 1 2n 11 1( )11n2(1 2n 1) 2n 11 113.因为 an 1-24(12n)(n2).所以

28、Sna1 a2an 1(2(2(2洛)12(n1)(212212n1)2n 12d2n2n14. (1)an= 2n；(2)因为 bn= 2nxn,所以数列bn的前n项和Sn= 2x+ 4x2+ 2nxn.当 X= 0 时，Sn= 0 ;当 x= 1 时，Sn= 2 + 4+ 2n=应 迥=n(n + 1);2当 xm 0 且 xm 1 时，Sn = 2x+ 4x2+ 2nxn,xSi= 2/+ 4x3+ 2nxn h 两式相减得(1 -x)0= 2x+ 2x+ 2xn 2nxn+1,所以(1 x)Sn= 2 x(1_x-) 2nxn +1,1 x即Sn2x(1 xn)2nxn 1(1x)21

29、 x2n 1 2n 1n(n1)，(x 1)2x(1xn)x)22nxn 1,八(11 x，(x 1)综上，数列bn的前n项和Sn数列综合问题同步练习测试题一、选择题1 . B 2. A提示：3. B 4. A 5. B5 .列出数列an前几项，知数列an为：0，,3 , 0, 3，-、3 , 0不难发现循环规律，即 ai= a4= a7 = = a3m2= 0；a2= a5 = a8=a3 m 1 3 ；a3= a6 = a9=a3m =所以 a20= a2= 3.填空题111 ； 1 2； 4 解答题7. 855129. 3n2 3n + 22 210.21 - (1)n(1)a13,a2

30、43盲3364当n = 1时,由题意得a1 = 5S 3,所以3a1 =4因为 an= 5S 3,-1 3 ；当n 2时， 所以 an1 = 5Sn 两式相减得an an 1 = 5(Sn Sn 1) = 5a n, 即 4an= an 1.3由a1 =!(n2, n N*).44所以外1由等比数列定义知数列an是首项a1 =3，公比4q =-的等比数列.4所以an丄)n 14(3)a1 + a3+a2n 1 =4(1116丄164?(1116n).122a24由等差数列定义知数列a2是首项af = 1,公差d= 4的等差数列.29由 a n 1 f(an)= 2,得 an所以 a： = 1+

31、 (n 1)x4= 4n 3.由f(x)的定义域x 0且f(an)有意义，得an 0.所以 an= 4n 3 .1S)212a!- 12 11d013. (1)21S1313a1- 13 12d022a111d0a1 6d 024 7d3 d 00，故兰 v dv-3.(2)由(1)知：dv0，所以 a1a2a3 a13.13t S12= 6(a1 + a12)= 6(a6 + a7) 0, S13 =(a1+ a13)= 13a7V0,2二a7V 0，且a6 0，故S6为最大的一个值.14. (1)设第n分钟后第1次相遇，依题意有 2n + + 5n = 70 ,整理得 n2 + 13n 1

32、40 = 0.解得 n = 7, n=-20(舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟.设第n分钟后第2次相遇，依题意有 2n + 血+ 5n= 3x 70,2 整理得 n2 + 13n 420 = 0.解得 n = 15, n = -28(舍去).第2次相遇是在开始运动后15分钟.15. (1)a13,a21, a32,a41,a51, a60, ai 1,a81,a90 ,a 101.(答案不唯一)(2)因为在绝对差数列an中，a1 = 3 , a2= 0,所以该数列是 a1 = 3 , a2= 0 , a3 = 3 , a4= 3 , a5= 0 , a6= 3 , a7= 3 , a8=

33、 0,即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3 , 0 , 3 ,a3n 13,所以 a3n 23, (n= 0 , 1 , 2 , 3,).a3n 30,证明：根据定义，数列an必在有限项后出现零项，证明如下： 假设an中没有零项，由于an= | an- 1 an-2| ,所以对于任意的n ,都有an 1,从而当 an-1 an-2 时，an= an-1- an- 2 3)； 当 an-1 v an-2 时,an= an-2 an- 1 3)；即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1.a2n 1 (a2n 1a2n),令 Cn=(n = 1 , 2 , 3,).a2n (a

34、2n 1 a2n ),贝y 0 v CnW cn-1- 1(n = 2 , 3 , 4 ,).由于C1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项6V 0 ,这与Cn 0(n= 1, 2 , 3,)矛盾，从而an必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an-1 = A(AM 0),则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0 , A , A,即又 a3= a1 + 2d = 12a1 = 12 2d,an 3k,an 3k 1 代(k = 0, 1, 2, 3，)an 3k 2 A,所以绝对差数列an中有无穷多个为零的项数列全章综合练习同步练习测试题、选择题1 . B 2. A二、填空题3.A 4

35、. D5.6. 3 2n 37.1808. an =1,2n4,(n(n1)2)69.710.an1 *=-(n N )n提示:22an 110.由(n + 1)a n 1 na n + an+ 1an= 0，得(n+ 1)an+1 nan(an+1+ an) = 0,因为 an0，所以(n+ 1)an+1 nan= 0,即a2a3n所以an a. a2三、解答题an1an 1211. Si3= 156.12. (1) /点(an, an+1+1)在函数 f(x)= 2x+ 1 的图象上,.an+ 1 + 1 = 2an+ 1,即卩 an+ 1= 2an.-a1 = 1, anM 0, 1 =

36、 2,an.an是公比q= 2的等比数列, an= 2n 1.(2)8.=2n 1.1 2(2n 1)(3) / Cn= Sn = 2n 1 ,Tn= C1+ C2 + C3+ + Cn= (2 1) + (22 1)+ +=(2 + 22+-+ 2n) n =2 (1 2n)1 2n = 2n+1 n 2.13. 当n = 1时，由题意得 Si = 3a1 + 2,所以a1 = 1; 当n 2时，因为S= 3an+ 2,所以 Sn 1 = 3 an 1 + 2 ； 两式相减得 an= 3an 3an1, 即 2an = 3an-1.由 a1 = 1 m 0 ,得 an m 0.X0X0 1所以 a3 (