抽样技术与样本平均数的抽样分布

1、抽样技术与抽样技术与样本平均数的抽样分布样本平均数的抽样分布抽样调查抽样调查(sampling survey) 从总体中抽取部分个体组成样本，对该从总体中抽取部分个体组成样本，对该样本进行观察，进而推断未知总体情况，样本进行观察，进而推断未知总体情况，称为抽样调查。称为抽样调查。 抽样调查分为非概率抽样调查和概率抽抽样调查分为非概率抽样调查和概率抽样调查两大类。样调查两大类。抽样调查的分类抽样调查的分类 非概率抽样非概率抽样(nonprobability sampling) 依据调查者的经验有目的地挑选一部分个体依据调查者的经验有目的地挑选一部分个体组成样本，然后根据对样本的观察来推断总组成样

2、本，然后根据对样本的观察来推断总体的基本情况。体的基本情况。 典型调查、重点调查就是常见的非概率抽样。典型调查、重点调查就是常见的非概率抽样。 概率抽样概率抽样(probability sampling) 总体中每个个体被抽中的概率是已知的。可总体中每个个体被抽中的概率是已知的。可以根据概率论的原理，进行随机抽样，能计以根据概率论的原理，进行随机抽样，能计算出调查结果的理论精确度和可靠程度。算出调查结果的理论精确度和可靠程度。常用的抽样方法常用的抽样方法 简单随机抽样简单随机抽样(simple random sampling) 分层随机抽样分层随机抽样(group sampling, stra

3、tification sampling) 系统抽样系统抽样(systematic sampling) 整群抽样整群抽样(cluster sampling)简单随机抽样简单随机抽样 从总体的从总体的N个个体中，完全以随机形式个个体中，完全以随机形式（不加人为干扰地）抽取（不加人为干扰地）抽取n个个体组成一个个体组成一个样本。在抽取的过程中，总体中每个个样本。在抽取的过程中，总体中每个个体被抽到的概率是均等的，并且在任个体被抽到的概率是均等的，并且在任何一个个体被抽取之后总体内成分不变何一个个体被抽取之后总体内成分不变（抽样的独立性）。（抽样的独立性）。 无法利用已知总体的信息无法利用已知总体的信

4、息分层随机抽样分层随机抽样 一种有人为干预的限制性随机抽样。一种有人为干预的限制性随机抽样。 按有关的因素或指标将总体划分为互不按有关的因素或指标将总体划分为互不重叠的几个部分（层），再从各部分重叠的几个部分（层），再从各部分（层）中独立地抽取一定数量的个体，（层）中独立地抽取一定数量的个体，最后将各个部分（层）中抽取的个体合最后将各个部分（层）中抽取的个体合在一起，组成一个样本。在一起，组成一个样本。 各层内部的差异要小，层与层之间的差各层内部的差异要小，层与层之间的差异要大异要大 等比例分层抽样等比例分层抽样机械抽样机械抽样 又称为系统抽样、等距抽样，其做法是，又称为系统抽样、等距抽样，其

5、做法是，先将总体中的所有个体按顺序编号，然后先将总体中的所有个体按顺序编号，然后每隔一定的间隔每隔一定的间隔k抽取个体，组成样本。抽取个体，组成样本。 能跑遍整个总体能跑遍整个总体 注意总体的周期性变化注意总体的周期性变化整群抽样整群抽样 以整群为单位的抽样方法，即从总体中以整群为单位的抽样方法，即从总体中抽出来的个体同属于某个群体。抽出来的个体同属于某个群体。 使用整群抽样的目的主要是为了方便和使用整群抽样的目的主要是为了方便和节省费用。节省费用。 整群抽样也有缺点，它抽取的个体在总整群抽样也有缺点，它抽取的个体在总体中分布不均匀，因此抽样误差常常大体中分布不均匀，因此抽样误差常常大于简单随

6、机抽样。于简单随机抽样。 多阶段抽样多阶段抽样 在整群抽样中，如果对抽中的整群不是在整群抽样中，如果对抽中的整群不是调查它所包含的全部个体，而是从中再调查它所包含的全部个体，而是从中再抽取部分小的整群，然后对小的整群中抽取部分小的整群，然后对小的整群中的个体进行全面调查。的个体进行全面调查。 多阶段整群抽样比单阶段整群抽样灵活，多阶段整群抽样比单阶段整群抽样灵活，在样本容量相同的条件下，多阶段抽样在样本容量相同的条件下，多阶段抽样的样本个体在总体中的散布比单阶段抽的样本个体在总体中的散布比单阶段抽样均匀。样均匀。 多阶段抽样可以利用现成的行政区划作多阶段抽样可以利用现成的行政区划作为各阶段划分

7、整群的依据。大规模抽样为各阶段划分整群的依据。大规模抽样调查一般都采用多阶段抽样方法。调查一般都采用多阶段抽样方法。 三种不同性质的分布三种不同性质的分布 总体分布（总体分布（population distribution）：总）：总体内个体观察值的次数分布。体内个体观察值的次数分布。 样本分布（样本分布（sample distribution）：样本）：样本内个体观察值的次数分布。内个体观察值的次数分布。 抽样分布（抽样分布（sampling distribution）：根：根据所有可能的样本观察值计算出来的某一据所有可能的样本观察值计算出来的某一种种统计量的观察值统计量的观察值的概率分布。

8、的概率分布。从总体分布到抽样分布从总体分布到抽样分布 总体总体X的概率分布的概率分布 这是一个均匀分布（这是一个均匀分布（uniform distribution）总体）总体 总体均数为总体均数为130，方差为，方差为50一一二二三三四四五五测验分数测验分数(X)120125130135140户数户数11111概率概率0.200.200.200.200.20样本（样本（n=2）的所有可能结果）的所有可能结果(120, 120)M=120(125,120)M=122.5(130,120)M=125(135,120)M=127.5(140,120)M=130(120,125)M=122.5(125

9、,125)M=125(130,125)M=127.5(135,125)M=130(140,125)M=132.5(120,130)M=125(125,130)M=127.5(130,130)M=130(135,130)M=132.5(140,130)M=135(120,135)M=127.5(125,135)M=130(130,135)M=132.5(135,135)M=135(140,135)M=137.5(120,140)M=130(125,140)M=132.5(130,140)M=135(135,140)M=137.5(140,140)M=140样本（样本（n=2）的平均数的抽样分布）

10、的平均数的抽样分布平平均均数数120 122.5125 127.5130 132.5135 137.5140次次数数123454321概概率率.04.08.12.16.20.16.12.08.04不同总体情况下的抽样分布不同总体情况下的抽样分布示意图示意图抽样分布的定理抽样分布的定理 设总体设总体X服从分布服从分布F(x)，（，（X1，X2，Xn）是抽自该总体的一个简单随机样本）是抽自该总体的一个简单随机样本（simple random sample），总体均值与），总体均值与样本均值、总体方差与样本均值的方差样本均值、总体方差与样本均值的方差有如下关系：有如下关系：XXE)(nXDX22)(

11、抽样分布的定理抽样分布的定理 从总体中随机抽出容量为从总体中随机抽出容量为n的一切可能样的一切可能样本的平均数之平均数等于总体的平均数；本的平均数之平均数等于总体的平均数； 从总体中随机抽出容量为从总体中随机抽出容量为n的一切可能样的一切可能样本的平均数的方差，等于总体方差除以本的平均数的方差，等于总体方差除以n样本（样本（n=2）平均数的平均数和方差）平均数的平均数和方差NXNiiX1=(120+122.52+1253+127.54+1305+132.54+1353+137.52+140)/25= 30 25)(122NXNiXX样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 若（若（X1，X2，Xn

12、）是抽自总体）是抽自总体X的一的一个容量为个容量为n的简单随机样本，则依据样本的简单随机样本，则依据样本的所有可能观察值计算出的样本均值的的所有可能观察值计算出的样本均值的分布，称为样本均值的抽样分布。分布，称为样本均值的抽样分布。 定理定理设（设（X1，X2，Xn）是抽自正态分）是抽自正态分布总体布总体XN(, 2)的一个容量为的一个容量为n的简单的简单随机样本，则其样本均值也是一个正态随机样本，则其样本均值也是一个正态分布随机变量，且有分布随机变量，且有样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布XXE)(nXDX22)(),(2nNX)1 , 0(/2NnXZ例题例题 某类产品的强度服从正态分布

13、，总体平某类产品的强度服从正态分布，总体平均数为均数为100，总体标准差为，总体标准差为5。从该总体。从该总体中抽取一个容量为中抽取一个容量为25的简单随机样本，的简单随机样本，求这一样本的样本均值介于求这一样本的样本均值介于99101的概的概率。如果容量为率。如果容量为100呢？呢？样本均值的抽样分布（样本均值的抽样分布（2已知已知） 非正态总体、非正态总体、已知时已知时设总体设总体X的均值的均值和和2，当样本容量趋，当样本容量趋向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于正态分布，且样本均值的数学期望和方正态分布，且样本均值的数学期望和方差分别为差分别为XXE)(n

14、XDX22)(例题例题 某类产品的强度不服从正态分布，某类产品的强度不服从正态分布，总体平均数为总体平均数为100，总体标准差为，总体标准差为5。从该总体中抽取一个容量分别为从该总体中抽取一个容量分别为25的简单随机样本，求这一样本的样的简单随机样本，求这一样本的样本均值介于本均值介于99101的概率。如果容的概率。如果容量为量为100呢？呢？例题例题 某种灯具平均寿命为某种灯具平均寿命为5000小时，标准差小时，标准差为为400小时，从产品中抽取小时，从产品中抽取100盏，问它盏，问它们的平均使用寿命不低于们的平均使用寿命不低于4900小时的概小时的概率是多少？率是多少？ 如果是从如果是从2

15、000盏灯具中不放回地抽取盏灯具中不放回地抽取100盏呢？盏呢？样本均值的抽样分布（样本均值的抽样分布（2未知未知） 正态总体、正态总体、未知时未知时设总体设总体X服从正态，从中抽取容量为服从正态，从中抽取容量为n的样本，则样本均值的抽样分布为的样本，则样本均值的抽样分布为df=n-1的的t分布，且样本均值的数学期望和方分布，且样本均值的数学期望和方差分别为差分别为XXE)(nXDX22)(样本均值的抽样分布（样本均值的抽样分布（2未知未知） 非正态总体、非正态总体、未知时未知时设总体设总体X分布形态未知，从中抽取容分布形态未知，从中抽取容量为量为n的样本，则大样本时其样本均值的的样本，则大样本时其样本均值的抽样分布趋近抽样分布趋近t分布分布有限总体修正系数有限总体修正系数 设总体设总体X