数学建模城市道路扫雪模型

1、数学建模作业城市道路扫雪模型2015姓 名：李 瑶数学与统计学院2015/10/24城市道路扫雪模型摘要：雪灾是重要的自然灾害之一，会导致道路交通受阻甚至瘫痪，从而造成严重经济损失和不良社会影响。本论文希望通过研究，构造出清除城市道路降雪、保证道路畅通的数学模型，并对城市主干道路的降雪清除进行规划，为政府抗击降雪、保证交通安全做好基础工作。长春市被大雪覆盖，有两辆扫雪车清除积雪，需要为它们设计两条最短路径，可以最大限度地减少空驶（即驶在已经作业过的街道或高速公路）的时间。这是一个关于路径选择的问题，本模型以扫雪车在规定时间内清除的雪量作为测定其效率的标准。一条路只能同时存在有限的车辆，车辆密度

2、越大，车距越小，车速越慢，扫雪效率越低。因此最大流量向正常水平恢复的速度越快，道路的流量需求越大，则扫雪的成效越显著。在一段时间内，道路上扫雪的总成效的变量只有最大车流量。而最大车流量在模型中只有三种状态：打扫前、打扫中、打扫后。因此只需要知道在某个时间点，该路段处于什么样的状态就可以计算出此时最大车流量，即可得出最优路径。关键词：最大车流量 路径选择 扫雪状态 扫雪成效本论文题目改编自1990年美国数学建模大赛B题城市道路扫雪模型一、 引言2008年，一场罕见的特大雪灾袭击了我国南方地区。这场雪灾造成了我国近十个省区严重受灾，给广大人民生命财产带来巨大损失。仅交通方面就使这些地区的民航、铁路

3、、高速公路全线受阻，数以千万计的旅客被迫滞留火车站、汽车站和机场，生产、生活资料均无法正常输送。如今灾害已过，在我们安居乐业之时，更需要认真思考有关问题，提高抗击自然灾害的能力。本论文以冰雪灾害为中心，以清除道路降雪为切入点，通过数学语言，建立道路扫雪模型，希望能为政府抗击风雪尽一点微薄之力。二、提出问题：1、提出问题：上图是长春的地图，长春市的一场大雪过后，政府从一个车库安排两辆扫雪车分别到A、B两地，找出这两辆车扫清马路积雪的有效方法，扫雪车可以利用高速公路进出马路上的扫雪区，假设扫雪车既不会发生故障也不停顿，在交叉路口不需要特别的扫雪技术。2、问题分析：这是一个关于路径选择的问题，该模型

4、以扫雪车在规定时间内清除的雪量作为测定其效率的标准。时间会受空驶影响，若空驶时间多，效率就低。因模型不限制车速，当作业时间与完成整个地区作业花费的时间总量之比获最大值时，效率最高。因此该模型可取得高效率的条件是两车所花费时间均为作业时间。如果扫雪车没有重复走某一条路，或者扫雪车重复走的路径最少，就认为是工作所花的时间最少。为使交通尽快恢复正常，应把用时最少放在最重要的位置考虑。则这个问题的有效解法应具有以下特点：1、这两辆扫雪车应将规定区域内的道路遍历一次，并且尽可能使重复的道路最少；2、扫完全部地面所花费的时间应尽量少；3、工作完成后，两辆车应尽可能快的回到起点；4、两车工作时间应大致相等；

5、5、扫雪车既不会发生故障也不停顿；6、在交叉路口不需要特别的扫雪技术。三、模型假设：对模型做出如下基本假设：1、两辆扫雪车性能相同；2、两辆扫雪车司机驾驶技术相同，并且作业速度相同；3、两辆车出发的时间相同；4、每条道路积雪的厚度，范围相同；5、在所有交叉路口，扫雪车可以不减速的转弯。6、扫雪前后，马路对汽车的速度要求相同；7、一次行驶即完成一次单向行车道的作业。8、扫雪车不会抛锚或受阻停滞；9、扫雪车必须遵守交通规则；四、符号说明：首先用点描述交叉路口，用以边描述马路。这些边，是以点作为端点，并且具有有向性。符号变量：l 起点P0和终点P1：一条边的正方向可以用表示。l 长度l:只考虑路的长

6、度。l 车道数w:给定马路上同方向可以并排行驶几辆汽车。l 平均车速v:某个时刻该边上所有汽车速度的平均值v=1n i=1nvi.平均车速关于时间的函数为v=v(t).l 车流量需求J：在某一时刻有多少车需要以多少速度通过这条边，关于时间的函数为J=J(t).l 最大车流量：一条路只能同时存在有限的车辆，车辆密度越大，车距越小，车速越慢.l 车道数w.l 扫雪后的最大车流量bf.五、模型建立流量取决于数量和速度，以及其他的一些量，对于一条路而言，路上的任意位置，它的流量取决于该位置上所经过的车辆密度和速度J=vdndl 1.假设在同一条路上，车的速度相等且分布均匀，则式1.可化为J=nvl.在

7、这个假设下，一条路上任意一个位置的流量是相等的。如果在分叉的道路上没有车辆停下或者加入，则车流量还应满足Ji=jJij扫雪过程中，该路段的最大车流量取决于扫雪车工作时的行驶速度vwk、扫雪前的最大车流量以及该方向的车道数。如果每两点之间只有一条通路，那么路径可以用一个向量来表示：,其中对任意的非负整数jn有R.一条路径可以用边的向量表示，R=由于扫雪车在该模型中，只有清扫中和非清扫中两种工作的模式，因此只需要一个变量表示车的状态。不妨记b值为：扫雪车是否在清扫积雪，若是，则为真（值为1）；若否，则为假（值为0）。在本论文中，我们需要按照时间和位置，来记录扫雪车的工作。则有b=来描述工作状态。联

8、合工作路径和扫雪车的工作状态，就可以正确的模型中的扫雪方案：l 因为最大流量向正常水平恢复的速度越快，则扫雪的成效越显著，我们可以规定在一个时间点上，成效增长的速度正比于扫雪车扫雪的速度和道路最大车流量同扫雪前最大车流量的差的乘积dydt=k1vwk(-bf)l 道路的流量需求越大，越应该尽早清理。因此，道路的流量需求越大，则清扫的成效越大，规定其有正比例关系，则有dydt= vwk(-bf).由于扫雪车在一条道路上工作的速度不变，则它在一条道路上的成效是Y=lJ (-bf).l 在一段时间内，道路上扫雪的总成效为Y=ityidt得出总成效为Y=iiJ(-bf)idt.在该公式中，变量只有最大

9、车流量。最大车流量在模型中只有三种状态：打扫前、打扫中、打扫后。因此只需要知道在某个时间点，该路段处于什么样的状态就可以计算出此时最大车流量。计算方法如下：1. 初始化道路信息；2. 记录两辆扫雪车初始位置；3. 计算按照方案扫雪车到达下一个位置的时刻，形成一组时段并记录；4. 将这一组时段中，扫雪车处于扫雪状态的路的状态置为打扫中，计算最大车流量，然后将该路之后的状态置为打扫后，计算最大的车流量；5. 在本组到达时刻当中，选取最小值记为t,若其对应的扫雪车的工作方案中存在下一步计划，就按方案继续进行，并将该车所对应的运行时段出列，使其下一步所占用的时段入列；6. 若上一时段中该扫雪车状态为扫雪中，则该时段车所在路的状态置为打扫中，计算最大车流量，并将该路在此后的状态置为打扫后，计算最大车流量；7. 若时段记录非空，则返回第5步；否则记录方案完成时间为tend=t.算法完成后，我们便获得了各条道路的最大车辆随时间变换情况，从而完成从方案到成效的对应关系。当路径所对应的方案成效最大时，便是该题目的解。六、方案成效1. 对于两种不同的方案，只有当衡量的时间相同，才有比较的意义；2. 方案越快使得交通畅通，它的成效越大；3. 方案完成的时间越短，它的总成效越大。4. 本模型为扫雪作业提供了最短路径；