数学统计计量的参数估计

1、 第五章第五章 计量资料的参数估计计量资料的参数估计 5.1 计量资料的参数区间计量资料的参数区间5.2 计量资料的假设检验计量资料的假设检验5.3 单组资料的假设检验单组资料的假设检验5.4 两组资料的假设检验两组资料的假设检验 5.1 计量资料的参数区间计量资料的参数区间统计资料定量方法测得大小,连续总体 计量资料 计数资料无序分类,离散等级资料有序分类,离散矩估计法点估计 最大似然估计法最小二乘法参数估计统计推断精确性 置信区间区间估计可靠性 置信度假设检验5.1.1 区间估计的概念区间估计的概念定义定义5-1 设设总体未知参数 , (0,1)， ，随机区间( , )称置信区间，1- 称

2、置信度, 称显著水平注:1.置信区间是总体参数的估计范围，判断有把握的概率 为置信度1，犯错误的概率为显著水平 2.显著水平常用0.05、0.01，也可用0.1等 3.当置信度为10.95时，表明在总体中独立地抽取100 个样本，那么就会有100个常数区间，其中大约有95个区 间包含待估计的参数，可靠性为95。 12 12()1P 1. , ,设设X1，X2，Xn为简单随机样本，为简单随机样本， 已知，求已知，求的置信度为的置信度为1 1 的置信区间的置信区间？2( ,)XN 25.1.2 正态总体均数的估计正态总体均数的估计2( ,/ )XNn 2( ,)XN 已知，已知， 未知未知2(0,

3、1)/XuNn22( )u122uouuu2()1P uu 21/XPun u /2称为u分布的双侧界值; 称为u分布的单侧界值.u 221P XuXunn 定理定理 已知,正态总体均数的置信度1 的置信区间 22,XuXunn 即有 的把握，保证 落在区间 内1-22XuXunn，0.0521.960u0.0122.576u0.051.645u 0.012.326u 常用的介值：当总体方差已知时，单个正态总体均数的区间估计的计算步骤：当总体方差已知时，单个正态总体均数的区间估计的计算步骤：201/XuNn1已知，选择样本函数，2u对给定的 ，查2x由样本信息计算223xunxun计算置信上、

4、下限2241xuxunn结论： 的置信度为的置信区间为，例5-1 成人每分钟脉搏次数服从正态分布，标准差 次/分，现从成人中随机抽取40名测量每分钟脉搏， 测得 次/分，求成人脉搏95%的置信区间。(72.64，76.36) 674.5X 例例 伤寒论中使用桂枝的39张处方中,桂枝用量服从 为3g的正态分布，根据样本均数8.14g，显著水平0.05, 估计桂枝用量的置信区间 的置信度0.95的置信区间为 393960. 114. 8(7.1984，9.0816) 解2. , 设设X1, X2, , Xn 为简单抽样样本，为简单抽样样本， 未知未知，求，求的置信度的置信度1 的置信区间的置信区间

5、 2( ,)XN 2 2221/XSSPtP XtXtSnnn （1）当总体方差当总体方差 未知时，用未知时，用 代替代替 250()n 2S2设总体 选择样本函数2( ,),XN 1/Xtt nSn对给定的 使得(0,1)，21P tt 22SSXtXtnn：，置信度 为的置信区间1-定理定理 X1, X2 , , Xn为总体XN(,2)简单随机样本 ，则当当未知未知时时的置信度的置信度1 1的置信区间的置信区间 22,SSXtXtnndfn1 22,SSXuXunn50n (2)当样本容量n足够大时，(大样本 )未知时的置信度1-的置信区间 当总体方差未知时，单个正态总体均数的区间估计的计

6、算步骤：当总体方差未知时，单个正态总体均数的区间估计的计算步骤：21/Xtt nSn1未知，选择样本函数21tn对给定的 ，查2,xS由样本信息计算22311SxtnnSxtnn计算置信上、下限22111SSxtnxtnnn4 结论： 的置信度为的置信区间为，例例 逍遥丸崩解时间服从正态分布逍遥丸崩解时间服从正态分布, ,同一批号随机抽取同一批号随机抽取5丸测得崩丸测得崩解时间解时间为为21,18,20,16,15(min),求该批药丸崩解时间总体均数的置信求该批药丸崩解时间总体均数的置信度为度为0.99的置信区间的置信区间 解解21/Xtt nSn1未知，选择样本函数 0.0120.0144

7、.604t对给定的，查218,2.5495xS由已知2232.54951184.60412.750652.54951184.60423.24955SxtnnSxtnn计算置信上、下限40.9912.7506 23.2495结论：药丸崩解时间均数 的置信度为的置信区间为， ,设设X1，X2，Xn 为简单随机样本，为简单随机样本， 求求 的置信度的置信度1 的置信区间的置信区间 ？2( ,)XN 25.1.3 正态总体方差的估计正态总体方差的估计2222222221221221111nSnSnSPP 设总体 选择样本函数2( ,),XN 222211nSn对给定的 使得(0,1)，2221221P

8、 定理定理 总体方差总体方差2的置信度的置信度1的置信区间的置信区间 2222(1)1(1)2211,nnnnss即有即有 的把握保证的把握保证 落在区间落在区间 内内1-2222212211nSnS，单个正态总体方差的区间估计的计算步骤：单个正态总体方差的区间估计的计算步骤：222211nSn1选择样本函数221221,1nn对给定的 ，查22S由样本信息计算2222212311nSnS计算置信上、下限22222122111nSnS4结论：的置信度为的置信区间为，2的置信度1的置信区间 dfn1 例例3-5 某药含碳量服从正态分布某药含碳量服从正态分布, ,允许方差允许方差0.0482(mg

9、2)内内, ,任取任取5件测得含碳量件测得含碳量1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44(mg),(mg),根据根据0.05判断判断该药生产是否稳定该药生产是否稳定. . 由计算得n51.414,S0.0882,dfn-14 X1433.11)4()4(2025. 02205. 0 48442. 0)4()4(2975. 021205. 0 2的置信度0.95的置信区间 220882. 048442. 015,0882. 01433.1115 (0.0028，0.0642) 置信区间的下限0.00280.04820.0023可认为该药生产不稳定 2222(1)1(1)2211,

10、nnnnss区间估计总结区间估计总结 正态总体均数的置信度1 的置信区间 22,XuXunn 未知：22,SSXuXunn50n 大样本50n 小样本22,SSXtXtnn正态总体方差2的置信度1的置信区间 222222111,nnSS 已知：1dfn1dfn5.2 计量资料的假设检验计量资料的假设检验 5.2.1 假设检验的基本思想假设检验的基本思想考察总体均数考察总体均数 是否等于是否等于 . 0 例例 太极集团生产的一批通宣理肺丸，太极集团生产的一批通宣理肺丸，规定标准丸重规定标准丸重已知已知这批这批通宣理肺丸的通宣理肺丸的丸重服从正态分布，标准差丸重服从正态分布，标准差 2 mg。从从

11、中随机抽取中随机抽取 100 丸，样本均数丸，样本均数 ，该批药丸是否合格该批药丸是否合格. 37.5Xmg , ,称备择假设或对立假设称备择假设或对立假设10:H 038mg , ,称零假设或原假设称零假设或原假设00:H 在在H0成立的条件成立的条件下，利用样本信息，选择适当统计量，进行下，利用样本信息，选择适当统计量，进行推断，如果出现了小概率事件，则拒绝推断，如果出现了小概率事件，则拒绝H0，接受，接受H1，没有出没有出现则只能接受现则只能接受假设检验假设检验：这种根据样本提供的信息对假设进行检这种根据样本提供的信息对假设进行检 验验, ,做出拒绝或接受这一假设的决策做出拒绝或接受这一

12、假设的决策, ,称称 为参数的假设检验为参数的假设检验. . 0H依据依据：“小概率原理小概率原理”小概率事件的概率一般不超过小概率事件的概率一般不超过0.01，0.05，0.1，作为显著性水平作为显著性水平.在在H0假定下假定下, ,选择统计量选择统计量037 5382 52100.Xun 查查双侧界值，比较双侧概率。双侧界值，比较双侧概率。2. .在在P时，出现小概率事件时，出现小概率事件,拒绝拒绝H0,接受接受H1 统计结论统计结论 ：“有统计学意义（有显著性差别）有统计学意义（有显著性差别）” 3. .在在P时没有出现小概率事件，不能拒绝时没有出现小概率事件，不能拒绝H0， 统计结论：

13、统计结论：“无统计学意义（无显著性差别）无统计学意义（无显著性差别）”注注：1. .用用P与检验水准与检验水准比较比较, ,通常取通常取0.01，0.05, 0.10检验假设的步骤：1.建立原假设及建立原假设及 备择假设；备择假设；2.计算统计量；计算统计量；3.给定显著水平，给定显著水平， 确定临界值；确定临界值；4.进行比较，进行比较， 得统计结论。得统计结论。0010:;:;HH 00 1( , )/XuNn 2u ，0202,( ),()uuPHuuPH X1, X2 , , Xn为总体XN(,2)简单随机样本5.3.1 单个正态总体均数的假设检验单个正态总体均数的假设检验 注注1.1

14、.选择单侧检验还是双侧检验，需要根据研究目的和专业选择单侧检验还是双侧检验，需要根据研究目的和专业 知识来确定知识来确定. . 实际问题中，可以根据统计量来确定单、实际问题中，可以根据统计量来确定单、 双侧双侧P值和检验水准；值和检验水准； 前提前提：1. 已知已知,选用选用 u 统计量称为统计量称为的的u 检验检验 2前提信息H1H0统计量拒绝域拒绝H0正态分布已知 00=0P 00 00XXX0Xun22uuuuuu 2. .界值界值 u0.05=1.645, u0.05/2 =1.960, u0.01=2.326, u0.01/2=2.576例例 通宣理肺丸的丸重服从正态分布。若标准差通

15、宣理肺丸的丸重服从正态分布。若标准差 2 mg， 规定标准丸重规定标准丸重38 mg。从一批中随机抽取从一批中随机抽取 100 丸，样本丸，样本 均数均数 37.5 mg，该批药丸是否合格该批药丸是否合格. X解 H0：=0=38， H1： 0=38以以=0.05水水准拒绝准拒绝H0，接受接受H1，有统计学意义有统计学意义可认为该批药丸不合格可认为该批药丸不合格0100,37.5,38,2nX37.5382.52 10u 查表查表，0 050 05221 960 05.,.uuup例例 某中药丸有效期服从正态分布某中药丸有效期服从正态分布, ,标准差标准差90天天, ,要求有效期要求有效期 不

16、低于不低于1000天天, ,随机抽取随机抽取28个测得有效期平均值为个测得有效期平均值为950天天, , 在在 判断该批药丸是否合格判断该批药丸是否合格. . 查统计用表查统计用表，u0.01/22.5758， u0.01/2 |u|，双尾概率双尾概率P0.01. .以以=0.01水准拒绝水准拒绝H0，接受接受H1解解 H0：=0=1000， H1：0=1000，950 10002.93979028u 由由9500=1000,可认为该批药丸有效期的总体均数低于可认为该批药丸有效期的总体均数低于1000天天, ,不合格不合格0.01例例 安眠药睡眠时间服从正态分布，标准差安眠药睡眠时间服从正态分

17、布，标准差1.5小时，小时，10人服人服 用后，测得平均睡眠时间为用后，测得平均睡眠时间为21.15小时，该批号安眠药睡小时，该批号安眠药睡 眠时间的总体均数是否高于眠时间的总体均数是否高于20小时。小时。 查统计用表查统计用表，u0.012.3263， 2.3263u，P0=20，21.15202.42441.510u 以以=0.01水水准拒准拒绝绝H0,接受接受H1,有统计学意义有统计学意义 可认为该批号安眠药睡眠时间总体均数高于可认为该批号安眠药睡眠时间总体均数高于20小时小时 1.建立原假设及备择假设；建立原假设及备择假设；2.计算统计量；计算统计量；3.给定显著水平，确定临界值；给定

18、显著水平，确定临界值；4.进行比较，进行比较， 得统计结论。得统计结论。前提：前提：2. 未知未知, 选用选用 t 统计量称为统计量称为的的t 检验检验 2 前提信息H1H0统计量拒绝域拒绝域拒绝H0正态分布2未知 00=0P 00 00=1.9，5082. 2165183. 09 . 1225. 2 t以以=0.05水准拒绝水准拒绝H0，接受接受H1，有统计学意义有统计学意义可认为该厂产品的平均抗体强度高于可认为该厂产品的平均抗体强度高于1.9.1.9. 由由df15，查表查表， t0.01(15) 2.6025 t0.05(15)1.7531, t0.05(15) t t0.01(15)

19、，单尾概率单尾概率P0.0516,2.225,0.5183nXS例例 甘草流浸膏中甘草酸含量服从正态分布甘草流浸膏中甘草酸含量服从正态分布, ,要求甘草酸要求甘草酸 含量不得低于含量不得低于8.32(%), 随机抽取随机抽取4个样品测得样本均个样品测得样本均 数数=8.30(%), 样本标准差样本标准差 S=0.03(%), 判断该厂产品的判断该厂产品的 甘草酸含量是否低于标准甘草酸含量是否低于标准. . 3333. 1403. 032. 830. 8 tdf3，查表查表， t0.05(3)2.3534，-t t0.05(3) ， 单侧概率单侧概率P0.05，接受接受H0 解解 H0：=0=8

20、.32， H1：0=8.32 可认为该厂产品的甘草酸含量不低于标准可认为该厂产品的甘草酸含量不低于标准8.32(%) 注：注：大样本时大样本时, ,总体不论是否服从正态分布总体不论是否服从正态分布, ,可使用可使用的的 u 检检 验验,用用S 代替代替 例例 某产品的某项指标服从均数为某产品的某项指标服从均数为70的正态分布，技术革新的正态分布，技术革新 后，从产品随机抽取后，从产品随机抽取81件，测得样本均数件，测得样本均数 ，样本，样本 标准差标准差 ，问能否认为技术革新提高了产品的该项，问能否认为技术革新提高了产品的该项 指标指标。75X 14S 5.3.2 正态总体方差的假设检验正态总

21、体方差的假设检验 2的的2检验检验 22220010:;:HH 222202222102222222210022(1)(1)(1)()1(1)(1),nSnnSPnSnS 是是小小概概率率事事件件 若小概率事件出现，拒绝接受原假设若小概率事件出现，拒绝接受原假设. 双侧检验界值双侧检验界值：22122, 2212 或或222, 0( )PH 单侧检验界值单侧检验界值： 2210,( )PH 2210:;H 左侧检验左侧检验21 220,( )PH 2210:;H 右侧检验右侧检验2 前提信息H1H0统计量P值拒绝H0正态分布 P 2221nSc cs s- -= =202 S202 S202

22、S20 202 202 202 202 221222222221例例 某药物含碳量服从正态分布，方差不超过某药物含碳量服从正态分布，方差不超过0.0482，随机抽，随机抽 取取5件测含碳量件测含碳量(%) 为为 1.32， 1.55， 1.36，1.40，1.44， 问这批产品的方差是否正常问这批产品的方差是否正常. .5056.13048. 00882. 04222 df=4，查表查表，20.01(4) =13.2767， 20.01(4) 2， 故可用故可用=0.01水准的单侧检验拒绝水准的单侧检验拒绝H0 2202048. 0 解解 H0：H1：2202048. 0 由样本计算得 n=5

23、, =1.4140,0.0882xs 可认为该批产品的方差高于可认为该批产品的方差高于0.0482，不正常不正常 2的置信度的置信度1的置信区间的置信区间 22122221,1SnSn 回忆回忆：1dfn解 计算得1433.11)4()4(2025. 02205. 0 48442. 0)4()4(2975. 021205. 0 2的置信度的置信度0.95的置信区间的置信区间 220882. 048442. 015,0882. 01433.1115 (0.0028，0.0642) 置信区间的下限置信区间的下限 0.04820.002300 000 00XXX0Xun22uuuuuu 2的检验的检

24、验（三）：（三）：正态分布正态分布 前提信息H1H0统计量P值拒绝H0正态分布 P 2221nScs-=202 S202 S202 S20 202 202 202 202 2212222222215.4 两组资料的假设检验两组资料的假设检验 5.4.1 配对配对比较比较 用于用于(1) 同一对象处理前后的数据同一对象处理前后的数据 (2) 同一对象两个部位的数据同一对象两个部位的数据 (3) 同一对象分别接受两种不同处理同一对象分别接受两种不同处理 5.4.2 成组比较成组比较 （1）总体方差已知，两个正态总体均数的比较）总体方差已知，两个正态总体均数的比较 （2）总体方差相等，两个正态总体均

25、数的比较总体方差相等，两个正态总体均数的比较 （3）总体方差不等，两个正态总体均数的比较）总体方差不等，两个正态总体均数的比较 （4）方差齐性检验）方差齐性检验案例：案例：已知人体红细胞数服从正态分布，现检查某地区正常成年已知人体红细胞数服从正态分布，现检查某地区正常成年男子男子34名名, ,测得红细胞样本均数、样本标准差分别为测得红细胞样本均数、样本标准差分别为465.13, 54.80(万万/ /mm3););正常成年女子正常成年女子34名名, ,样本均数样本均数, ,样本标准差分别为样本标准差分别为422.16,49.20( (万万/ /mm3).).试判断该地红细胞平均数是否与性别有关

26、试判断该地红细胞平均数是否与性别有关.前提：前提：两组正态资料的假设检验两组正态资料的假设检验2111(,)XN 2222(,)XN 抽样抽样: :12XX2212SS问题：是否问题：是否 12 5.4.1 配对配对 t 检验检验 已知已知2111(,)XN 2222(,)XN 原理：假设两种处理效果相同原理：假设两种处理效果相同, , 即即思路：思路：12XXX221212(,)XN H0:d = 0，检验统计量为检验统计量为 0(1)22(1)( )nt nttH 处理处理 1 2 观测值观测值 样本含量样本含量 总体均数总体均数ijx12jjjdxx11x21x1d12x22x2d1nx

27、2nxndnnn1 2 12d1212,00ddtSn- -= =1dfn=-=-例例 考察中药眼伤宁对家兔角膜伤口愈合的作用考察中药眼伤宁对家兔角膜伤口愈合的作用, , 测得造模测得造模兔兔 用药前及用药后两月的角膜厚度值用药前及用药后两月的角膜厚度值(mm),问在问在 下下 判断眼伤宁对促进角膜伤口愈合有无作用判断眼伤宁对促进角膜伤口愈合有无作用. . 用药用药造模兔编号造模兔编号12345678910前前0.740.740.720.720.760.720.720.760.640.68后后0.560.580.580.580.560.600.600.600.580.600016.101004

28、30. 01360. 0 t以以=0.01水准拒绝水准拒绝H0，接受接受H1，有统计学意义有统计学意义，可认为可认为眼伤宁对促进角膜伤口愈合有作用眼伤宁对促进角膜伤口愈合有作用 0.01df =9，查表，查表，t0.01/2(9) =3.2498， t0.01/2(4) |t|01:0,:0ddHHmmmm=由样本计算由样本计算 0.1360,0.0430,19ddSdfn=-=-=2212SS2212s ss s= =问题：是否问题：是否 已知已知222(,)YN211,n X S 设总体设总体 的样本容量、均数、方差为的样本容量、均数、方差为211(,)XN 总体总体 的样本容量、均数、方

29、差为的样本容量、均数、方差为222, ,n Y S方差齐性检验方差齐性检验(常用常用单侧检验单侧检验) 22小小大大SSF df1n分子分子-1, df2n分母分母-1 0,( )FFFPH 计算中取样本方差中较大者为分子计算中取样本方差中较大者为分子, ,较小者为分母较小者为分母2212SSH0：2221 22112:H例例 测定功能性子宫出血症实热组与虚寒组的免疫功能测定功能性子宫出血症实热组与虚寒组的免疫功能, , 淋巴细胞转化率淋巴细胞转化率(%)为为 实热组实热组 0.709 0.755 0.655 0.705 0.723 虚寒组虚寒组 0.617 0.608 0.623 0.635

30、 0.593 0.695 0.718 0.606 0.618 0.684 设两组的淋巴细胞转化率都为正态分布，试判断两组的总设两组的淋巴细胞转化率都为正态分布，试判断两组的总体体 方差是否不等方差是否不等 11225,0.7049,0.0362,10,0.6397,0.0432,nXSnYS22012:H22121:H220362. 00432. 0 F1.4241，df19，df24 查统计用表查统计用表, F0.05(9，4)5.9988, F5.9988 不能以不能以0.05水准的单侧检验拒绝水准的单侧检验拒绝H0 ，无统计学意义，不无统计学意义，不能认为两组的总体方差不等能认为两组的总

31、体方差不等 解总体总体 , ,其样本容量、均数、方差分别为其样本容量、均数、方差分别为21(,)XN 22(,)YN 211,nXS总体总体 , ,其样本容量、均数、方差分别为其样本容量、均数、方差分别为 222,nYS222112212(1)(1)2nSnSSnnt(n1+n2-2) 212111)()(nnSYXt 其中其中 1.已知已知 （方差齐）（方差齐）211(,)XN 222(,)YN 2212= 前前提提：5.4.2 成组比较成组比较12 是是否否121212012112(2)12(2)20(2)2:11( )nnnnnnHHXYttSnntttH （双侧检验）（双侧检验） 22

32、2112212(1)(1)2nSnSSnn其中其中 解解 H0：12，H1：12 2111nnS 0.02255df510213 0.70940.6397=3.09090.02255t以以0.01水准的双侧检验拒绝水准的双侧检验拒绝H0, 接受接受H1有统计学意义有统计学意义, ,可认为实热组转化率均数高于虚寒组可认为实热组转化率均数高于虚寒组 由前面结论，可以认为由前面结论，可以认为方差齐方差齐，选用成组，选用成组 t 检验检验. .查表，查表，t0.01/2(13) =3.0123， t0.01/2(13) |t|例例 测定功能性子宫出血症实热组与虚寒组的免疫功能测定功能性子宫出血症实热组

33、与虚寒组的免疫功能, , 淋巴细胞转化率淋巴细胞转化率(%)为为 实热组实热组 0.709 0.755 0.655 0.705 0.723 虚寒组虚寒组 0.617 0.608 0.623 0.635 0.593 0.695 0.718 0.606 0.618 0.684 设两组淋巴细胞转化率都为正态分布，在设两组淋巴细胞转化率都为正态分布，在 下均数是否下均数是否 不等？不等？ 0.0111225,0.7049,0.0362,10,0.6397,0.0432,nXSnYS012112:HH2.211(,)XN 222(,)YN 2212 前前提提： ，已已知知, ,12 是是否否221212122212121212221212(,),(,)(,