南京工业大学高等数学ch1-7

1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较前页后页返回机动 x0.1 0.01 0.001 02x0.2 0.02 0.002 0 x20.01 0.0001 0.000001 0由上表可见由上表可见： 当当x0 0 时，时，x，2x，x2 均为无穷小，均为无穷小，但是它们趋于零的速度却有所不同但是它们趋于零的速度却有所不同。22limlim0lim02020 xx ， ，xx ， ，xx xxx 特征：特征：引例返回前页后页返回机动,0limck,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limc,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无

2、穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作前页后页返回机动 , 当当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且前页后页返回机动证明证明: :当当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb前页后页返回机动)(o证证:1lim, 0)1lim(0

3、lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx前页后页返回机动设设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如 xxx5arcsin3tanlim0 xxx53lim0 53 前页后页返回机动 l li im m 2 2 0 0 x x x xsinarcsin求求例例xxxxxarcsinsin，时，时，当当 0 解：解：xxxsinarcsinlim0 xxxxsin,arcsin 可见：可见：1lim0 xxx xxsinarcsin 有有前页后页返回机动 l li i

4、m m 3 3 0 0 x x2323sinxx x 求求例例31 22sin0 xxx时时解：解：232023203 3 xxxxxxxx limsinlim232333xxxx ，前页后页返回机动 思思考考：要要注注意意哪哪些些问问题题？限限时时，运运用用“替替代代定定理理”求求极极 o2nxxxxxxxexxxxxxxxxx112cos1)1ln(1arctanarcsintansin02 n n 时时当当常用的等价无穷小：常用的等价无穷小： o；是是否否一一定定有有，若若xxxxxxxx 1前页后页返回机动例例4 4.sinsintanlimxxxx230 求求解解.sin,tan,xxxxx时时当当0302 )(limxxxx 原式原式. 0 解：解：)cos1(tansintanxxxx ,213x,时时当当0 x,22sinxx330221)(limxxx 原式原式161 错错 ?前页后页返回机动内容小结内容小结返回0lim,0, )0(c,1,0lim ck无穷小的比