圆切线证明的方法

1、切线证明法切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.切线的性质定理的推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心1_ 1ji- -jm-.ijmj-j.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角。MWWWMWWWWMUlWWWMWWWWWWVWWWWWMWWWMMWWUWWWWWWIWWWWMWIWMWVWIWWWVWWWWWdh一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出 过这一点的半径，证明直线垂直于半径.【例1】如图1，已知AB为。O的直径，点D在

2、AB的延长线上，BD =OB，点C在圆上，/CAB = 30o .求证：DC是O O的切线.思路：要想证明DC是。O的切线，只要我们连接 0C,证明ZOCD = 90o 即可.证明：连接OC，BC.AB 为O O 的直径，：ZACB = 90o .1 vzCAB = 30o ,BC=丄 AB = OB .2 .BD = OB，.BC= OD .zOCD = 90o .2DC是O O的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论， 特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.【例2】如图2，已知AB为OO的直径，过点B作O O的切线BC,连接

3、0C,弦AD /0C .求证：CD是O O的切线. - mi-jj-ti r- mm ii r- mm i-u- -.i ni- j- - m i -i.-u-u- -.i ni- j-j- m i-i.-u-u- -.i nij- r图2切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.思路：本题中既有圆的切线是已知条件， 又证明另一条直线是圆的切线. 也 就是既要注意运用圆的切线的性质定理， 又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是OO的切线，只要证明/ ODC = 90o即可.证明：连接OD .OC /AD , =/3 ,/2 = /4 .OA = OD , /! = /

4、2 . /3 =/4 .又 vOB = OD , OC = OC ,/.zOBC/ODC . A/OBC = /ODC .BC 是O O 的切线，：/OBC = 90o .QDC = 90o .DC是O O的切线.【例3】如图2，已知AB为O O的直径，C为O O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为 D .求证：AC平分ZDAB .思路：利用圆的切线的性质一一与圆的切线垂直于过切点 的半径.证明：连接OC .CD是O O的切线，：0C丄CD .AD 丄 CD , AOC /AD . =/2.OC = OA , a/1 =/3 .z2 = /3 .AC 平分ZDAB .【评析】已知一条直线

5、是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的.在解决 有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线.例 4】如图1 , B、C是。O上的点，线段AB经过圆心0,连接AC、=2 ZB . AC是O 0的切线吗？为什么?BC,过点C作CD丄AB于D , ZACD 解：AC是。0的切线.理由：连接0C,v0C=0B,/0CB= ZB.V/C0D是AB0C的外角，zC0D= Z0CB+ ZB=2 ZB. vZCD=2 ZB,ZCD = ZC0D .CD 丄 AB 于 D ,/DC0+ ZC0D=90 ./DC0+ ZACD=90 .即0C丄AC .C为O 0上的点，AC是O 0

6、的切线.【例5】如图2，已知0 0是厶ABC的外接圆，AB是OO的直径，D是AB的延长线上的一点，AE丄DC交DC的延长线于点E,且AC平分ZEAB.求证:图2DE是O 0的切线.证明：连接0C,贝U 0A=0C, zCA0= ZAC0,VAC 平分/EAB,zEAC= ZCAO= ZAC O,AE/CO,又AE丄DE,CO 丄DE,DE是。O的切线.二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3 , AB=AC , OB=OC , O O与AB边相切于点D .证明:连接OD , 作 OE丄AC,垂足为E.VAB=AC, OB = OC .AO

7、 为/BAC 角平分线，Z DAO= /EAOVOO与AB相切于点D , zBDO= ZCEO=90 .VO=AO ZADO 也 AEO，所以 OE= OD .OD是O O的半径，：OE是O O的半径. OO与AC边相切.ACBF【例7】 如图，在AABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O O相切.证明：连结OE, AD.VAB是O O的直径，AD 丄 BC.又VAB=BC，23= Z4.BD=DE，Z1= Z2.又 VOB=OE，OF=OF， OF 也0F (SAS).QBF= ZOEF.BF与。0相切，OB 丄 BF

8、. Z)EF=90 0.F与。O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD 是ZBAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O O相切.证明一：作直径AE,连结EC.VPA=PD ， Z= Z1+ ZDAC.27CAD 是ZBAC 的平分线， zDAB= ZDAC. Z= ZB+ /DAB，/= ZB.又v/B= ZE，/= ZEVAE是。O的直径，AC 丄EC，ZE+ /EAC=90 0/+ /EAC=90即 OA 丄 PA.PA与O O相切.OE.证明二：延长AD交。O于E,连结OA ,ADo是ZBAC的平分线，BE=CE,0E 丄 BC.左+ Z

9、BDE=90 0.OA=0E , zE= Z1.VPA=PD , zPAD= /PDA.又v/PDA= ZBDE, /+ ZPAD=90 0 即OA丄PA.PA与O O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用【例9】如图，AB=AC , AB是O O的直径，O O交BC于D , DM丄AC于M求证：DM与O O相切. 证明一：连结OD.VAB=AC , zB= ZC.OB=OD ,.证明二是通过证两角互余证明垂直/= ZB.力=ZC.OD /AC.DM 丄AC,DM 丄 OD.DM与O O相切证明二：连结OD , AD.AB是。O的直径，AD 丄 BC.又 VA

10、B=AC, Z= Z2.DM 丄AC, Z+ Z4=90 0OA=OD , Z= Z3. Z3+ Z4=90 0.即OD丄DM.DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】 如图，已知：AB是OO的直径，点C在OO上，且ZCAB=30 0BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O O的切线证明：连结OC、BC.OA=OC ,:./A= /仁 Z3O0.zBOC= ZA+ Z1=60 0.又vOC=OB ,zOBC是等边三角形.OB=BC.vOB=BD ,OB=BC=BD.OC 丄 CD.DC是。O的切线.说明：此题解法颇多，但这种

11、方法较好 【例12】如图，AB是。O的直径,求证：PC是O O的切线.证明：连结OCvOA2=OD OP, OA=OC ,OC2=OD OP,OC OPOD OC .又/1= Z1 , zOCP s/ODC.CD 丄 AB , 且 OA2=OD OP. zOCP= ZODC.CD 丄 AB ,zOCP=90 0 PC是。O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG的外接圆，但 CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点0,连

12、结0C，证明CE丄OC即可得解.证明：取FG中点0,连结0C.VABCD是正方形，BC 丄 CD，CFG 是 RtO是FG的中点， 0是Rt /FG的外心.vOC=OG，23= ZG，AD /BC，zG= 24.AD=CD，DE=DE，ZADE= ZCDE=45 0， DE DE (SAS).2= 21，21= 23.vz2+ Z3=90 0即CE丄OC.CE与:FG的外接圆相切二、若直线I与。O没有已知的公共点，又要证明I是。O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】 如图，AB=AC，D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE，作DF丄AC，F是垂足.VAB是O D的切线，DE 丄 AB.DF 丄 AC， zDEB= ZDFC=90 .VAB=AC， zB= ZC.又vBD=CD ，DE/CDF (AAS)DF=DE.:F在O D上.证明二:DE 丄 AB.AB=AC , BD=CD , /= Z2.DE 丄 AB , DF 丄 AC, DE=DF.在O D上.AC与O D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC,BD与。O切于A、B,且AC /BD，若/CO