数理方程与特殊函数钟尔杰例题与习题1

1、1/16习题习题2.4,2题题(求方程通解求方程通解)(1) uxx +10 uxy +9 uyy = 0解解:特征方程特征方程09102 0)9)(1( 1 dxdy9 dxdy1cxy 29cxy yx yx 9 原方程化简为原方程化简为0 u)()( gfu )9()(yxgyxfu 其中其中, f 和和 g 是任意函数是任意函数2/16 0),3sin(0, 00,0,0002tttxxxxttuxuuutxuau 例例1.分离变量法求解分离变量法求解 波动方程定解问题波动方程定解问题 1)sin()sin()cos(),(nnnnxantdantctxu 3, 13, 0)sin()

2、3sin(20nndncn 0)sin(0210 dnandn解解:利用公式利用公式)3sin()3cos(),(xattxu 3/1600.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.8100.511.5 1)12sin(1214)(kxkkxf 1,0,01,01xx，4/16例例6p.51解解:设设 u(x, t) = v (x, t) + w (x) 代入方程代入方程, 可得可得09894 w20, 0 xxww w = x2利用叠加原理利用叠加原理, 得得0,3sin0, 0000 tttxxvxvvv )0,0(94 t

3、xvvxxtt 0,3sin, 002020 tttxxuxxuuu )0,0(9894 txuuxxtt 5/16xttxv3sin2cos),( 1)sin()32sin()32cos(),(nnnnxntdntctxvxnxcnn3sin)sin(1 3, 13, 0nncn0)sin(321 nnnxnd dn = 023sin2cos),(xxtwvtxu 6/16热传导方程热传导方程第一类边界第一类边界方程的方程的fourier解解 1)(sin),(2ntnannxebtxuxxnxbnn3sin2sinsin1 b1 = 1, b3 = 2, bn = 0 )3, 1( nxe

4、xetxutata3sin2sin),(22)3( 0, 03sin2sin)0,0(002 xxtxxtuuxxutxuau初始条件初始条件 7/16习题习题3.1第第1题题(1)(, 00, 0000 xlxuuuutttlxx )0,0(2 tlxuauxxtt解解: 固有值问题固有值问题 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 固有值固有值2)(lnn 固有函数固有函数xlnxn sin n = 1,2, 1)sin()sin()cos(),(nnnxlnatlndatlnctxu 利用初值条件利用初值条件0)sin(1 nnxlnc 8/16)()sin(1xlxxlndlannn

5、 cn = 0 lnxdxlnxlxldlan0sin)(2 llxdxlnxlnlxdxlnxlx00cos)2(sin)( 1cos)(2sin)(2302 nnlxdxlnnll)1(1 )(443nnnald 所以所以 1443sinsin)1(1 4),(nnxlntlannaltxu 9/16习题习题3.2第第1题题)(0, 000 xlxuuutlxx )0,0(2 tlxuauxxt解解: 固有值问题固有值问题 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 固有值固有值2)(lnn 固有函数固有函数xlnxn sin n = 1,2, 1)sin()exp(),(nnxlnatln

6、atxu 利用初值条件利用初值条件)()sin(1xlxxlnann 10/16 lnnnlxdxlnxlxla0332)1(1 4sin)(2 1332)sin()exp()1(1 4),(nnxlnatlnnltxu 00.5100.5100.5100.5100.51-10111/16固有值问题固有值问题i 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx xlnbxxnn sin)( 222lnn 00.20.40.60.8100.51xsin( x)12/16 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 固有值问题固有值问题ii2224)12(lnn xlnbxxnn2)12(sin)( 00.

7、20.40.60.81-1-0.500.51xsin(1+1/2) x)13/16 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 固有值问题固有值问题iii2224)12(lnn xlnaxxnn2)12(cos)( 00.20.40.60.81-1-0.500.51xcos(1+1/2) x)14/16 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 固有值问题固有值问题ivxlnaxxnn cos)( 222lnn 00.20.40.60.81-1-0.500.51xcos( x)15/16 0 , 0)0(0, 0lxhxxxlxxx 固有值问题固有值问题v通解通解:xbxaxx sincos)( x(0)=0a=00 lxhxxxbx sin 0sincos lhl hl tanlhvv tan令令lv vy2 lvkk