微积分9_1对弧长曲线积分

1、第九章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小,

2、常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义空间中的光滑曲线同样可定义空间中的光滑曲线.LOxy)(tT一、第一型曲线积分的概念与性质一、第一型曲线积分的概念与性质目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲

3、线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.目录 上页 下页 返回 结束 存在条件：存在条件：.),(,),(存存在在对

4、对弧弧长长的的曲曲线线积积分分上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf推广：推广：的的曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),( zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质szyxfd),() 1 ( （, 为常数)szyxfd),()2( 由 组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目录 上页

5、下页 返回 结束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(目录 上页 下页 返回 结束 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续

6、注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf目录 上页 下页 返回 结束 xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广

7、推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目录 上页 下页 返回 结束 .)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)( 角角形形为为顶顶

8、点点的的三三是是以以其其中中计计算算BAOLdsyxL Ldsyx)( 101010)1(2ydydxxxxdx.21 例例2 BOABOAdsyxdsyxdsyx)()()(yxOBA11解解 ;2)1(1,1012dxdxxdsxxy ;,100dxdsxy .,100dydsyx :OA:AB:BO目录 上页 下页 返回 结束 例例3axyxLdsyxIL2,2222 为为圆圆周周其其中中求求解一解一 设设L：)cos1 ( ax sinay 2 , 0 yxo a 202222 sin)cos1 ( adaaI 202 cos22da 2022 2cos22da 2022cos2cos

9、2dda8a2目录 上页 下页 返回 结束 解二解二 设设L：2,2 , cos2)( ar addrrds2 )(22 222cos2 adaIyxo ar 222sin4 a8a2目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中 为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线目录 上页 下页 返回 结束 计算的一般程序计算的一般程序1. 画线画

10、线L；2. 恰当恰当选择选择L的参数方程，的参数方程，3. 确定积分限，确定积分限， 注意下限一定比上限小注意下限一定比上限小。目录 上页 下页 返回 结束 d d s练习练习. 计算,d)(222szyxI其中 为球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx29222zyx化为参数方程 21cos2x sin2y则目录 上页 下页 返回 结束 2.第一型曲线积分的性质 1. 对称性 2. 轮换性 3. 被积函数定义在积分曲线上目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dsxI

11、L其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,d2sx其中 为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目录 上页 下页 返回 结束 ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( L

12、dsLyxf弧弧长长时时当当,),( ),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz 3. 对弧长曲线积分的几何与物理意义对弧长曲线积分的几何与物理意义目录 上页 下页 返回 结束 LLyLxdsyxIdsxIdsyI.)(,22022 别别为为轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量分分轴轴、对对曲曲线线yxL)5(曲曲线线弧弧的的重重心心坐坐标标)4(., LLLLdsdsyydsdsxx 目录 上页 下页 返回 结束 oxy a LxdsMx1 adttaacos21. 2 , 的均匀圆弧的重心的

13、均匀圆弧的重心中心角为中心角为求半径为求半径为 a，故故令令线线密密度度由由于于该该曲曲线线为为均均匀匀圆圆弧弧1 , LdsM.2 aadt 解解.sin a 例例7),( sin ,cos ttaytax知知曲曲线线的的参参数数方方程程为为：系系，将将此此圆圆弧弧如如图图放放入入坐坐标标adtdttatads 22)sin()cos(.sin0:处处且且与与圆圆心心距距离离轴轴上上，故故重重心心在在扇扇形形的的对对称称由由对对称称性性知知 ay 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立

14、坐标系如图,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf)

15、,(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)szyxfd),(),(为常数szyxgd),(目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22x

16、x d)(12d)()(22rr)(),(ttf目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目录 上页 下页 返回 结束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.