数字电子电路课件第二章2.2

1、基本公式：基本公式：a 1 aa 0 0a a 0a 0 aa 1 1a a 1a 0 =aa 1 =aa a =0a 1=aa a=1a 0=aabbaa bb aa b= b aa b= b a01律律交换律交换律abc（ab）ca（bc）a b c（a b） ca （b c）a b c =( a b ) c = a (b c)a b c = (a b) c = a ( b c )结合律结合律a（bc）abacabc =（ a+b）（）（ac）a(b c)=ab aca+(b c)=(a+b) (a+c)aaaa aaa a=0a a=1分配律分配律重叠律重叠律a a推广推广a b c a

2、b+ c a b + c+ a b c a bababa ba b = a ba b = a b 反演律反演律非非律非非律（狭（狭 摩根定律）摩根定律）2.1.5 三个规则三个规则 任何一个含有变量任何一个含有变量a a的等式，如果将所有出现变量的等式，如果将所有出现变量a的地方都代之以一个逻辑函数的地方都代之以一个逻辑函数f，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例例2-3 已知等式已知等式a（b+e）=ab+ae，试证明将等式，试证明将等式 中所有出现中所有出现e e的地方代之以的地方代之以（c+d），），等式仍等式仍 然成立。然成立。解：原式左边解：原式左边=ab+(c+d)=ab+ac+a

3、d原式右边原式右边=ab+a(c+d)=ab+ac+ad代入规则代入规则 设设 f 是一个逻辑表达式，如果将是一个逻辑表达式，如果将 f 中所有的中所有的“” “” 互换互换，“0” “1” 互换，变量不变，互换，变量不变，则就得到一个新的逻辑则就得到一个新的逻辑函数表达式函数表达式 f，f 称为称为f 的对偶式。的对偶式。即：即：f （a，b，c，0，1）f（a，b，c，1，0）例如：例如： f= a ( b+ c )f= a+b cf = ab+a (c+ 0 )f= (a+b ) (a+c1)f= a+b+cf= a b c注意：运算符号的优先顺序不能变。注意：运算符号的优先顺序不能变。

4、对偶规则对偶规则即：即：f（a，b，c，0，1）f（a，b，c，1，0）f =（a+b）（c+d）f = a b （c + d e）注意：运算符号的优先顺序不能变。注意：运算符号的优先顺序不能变。例例24：已知：已知 f = a b+ c d，求，求f。例例25：已知：已知f = a + b + c d + e ，求，求f。 设设 f 是一个逻辑表达式，如果将是一个逻辑表达式，如果将 f 中所有的中所有的“” ” “” ” 互换，互换，0 1互换，原变量互换，原变量反变量互换反变量互换，则就得到，则就得到一个函数式就是一个函数式就是 f，f 称为称为 f 的反函数，或称为补函数。的反函数，或称

5、为补函数。反演规则反演规则2.1.6 常用公式常用公式2aaba1ababa3aabab推广推广 abacbcdeabac吸收定理：吸收定理：4abacbcabac多余项定理多余项定理2.1.7 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式标准标准“与或与或”式（最小项表达式）式（最小项表达式）最小项最小项:最小项表达式：最小项表达式：而而 f（a，b，c） = abc+bc+ac 是属于一般式是属于一般式包含了全部输入变量的与项，每个变量以原包含了全部输入变量的与项，每个变量以原变量或反变量形式出现，但只能出现一次。变量或反变量形式出现，但只能出现一次。由最小项由最小项相或所组成的与或相或所组成的与

6、或表达式。表达式。例例：f（a，b，c） =abc+abc+abc+abc 是最小项表达式是最小项表达式标准式具有唯一性，任何逻辑函数的标准式只有标准式具有唯一性，任何逻辑函数的标准式只有一个，它和逻辑函数的真值表有着严格的对应关系。一个，它和逻辑函数的真值表有着严格的对应关系。a b c = m1a b c = m0a b c = m5a b c = m3a b c = m2a b c = m4a b c = m6a b c = m7其中，每个积项叫做其中，每个积项叫做 f 的的最小项，记作最小项，记作 mi，下标下标 i是是与最小项二进制编码相对应与最小项二进制编码相对应的十进制数。的十进

7、制数。= m0 +m1 + m2 + m7上例上例：f（a，b，c） =abc+abc+abc+abc= m（0，1，2，7）a b c0 0 10 1 11 0 10 0 00 1 01 0 01 1 01 1 1对应最小项对应最小项 mi例例2-6 将将 f=abc+acd+cd 展开成最小项表达式展开成最小项表达式将将一般式一般式展开成最小项表达式的方法展开成最小项表达式的方法f=abc + acd + cd= m14 +m15+ m3 + m7 + m0 +m4 + m8 + m12= m（0，3，4，7，8，12，14，15） 若函数若函数表达式不是一个简单的与表达式不是一个简单的与

8、-或式，则首先或式，则首先将其变换成与将其变换成与-或表达式，再展开成最小项表达式或表达式，再展开成最小项表达式1 1 1 x1 1 1 01 1 1 114 ,150 x1 10 0 1 10 1 1 13 ,7 xx 0 00 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 0 00,4,8,12包含了全部输入变量的或项，每个变量以原包含了全部输入变量的或项，每个变量以原 变量或反变量形式出现，但只能出现一次。变量或反变量形式出现，但只能出现一次。由最大项由最大项相与所组成的或与相与所组成的或与表达式。表达式。例例：f(a，b，c) =( a + b + c )( a+b+c) 是最大项表达

9、式是最大项表达式而而 f(a，b，c) = (a+b+c)(b+c) 是属于一般式是属于一般式标准标准“或与或与”式（最大项表达式）式（最大项表达式）最大项最大项:最大项表达式：最大项表达式：a+b+c=m0a+b+c=m1a+b+c=m2a+b+c=m3a+b+c=m4a+b+c=m5a+b+c=m6a+b+c=m7最大项与最小项之间的关系：最大项与最小项之间的关系：a b c0 0 10 1 11 0 10 0 00 1 01 0 01 1 01 1 1对应最大项对应最大项 m ia b c = m0a b c = m7对应最小项对应最小项 mia b c = m1a b c = m2a

10、b c = m3a b c = m4a b c = m5a b c = m6= m ( 0 , 2 , 5 )=m0 m5 m2 例例：f（a，b，c） =(a+b+c)（a+b+c）(a+b+c)补充：补充：f（a，b，c） =(a+b) （b+c)0 0 x0 0 00 0 1x 1 00 1 01 1 0=m0 m1 m2 m6 = m ( 0 ,1, 2 , 6 )0 , 12 , 6 最大项是最小项的反最大项是最小项的反, ,最小项又是最大项的反。最小项又是最大项的反。 最大项与最小项是互补的。最大项与最小项是互补的。即：即： mi = mi mi = mi 即：即： mi + mi

11、 = 1 (mi + mi = mi + mi = 1 )最大项与最小项关系最大项与最小项关系 作作 业业小小 结结 1. 1. 逻辑代数的基本定理、定律。掌握常用公式及逻辑代数的基本定理、定律。掌握常用公式及逻辑代数的三个规则。逻辑代数的三个规则。 2.2.将任意逻辑函数展开成最小项的方法。将任意逻辑函数展开成最小项的方法。异或标异或标准式准式:f 2 -1 = ai mi i = 0 n=a0m0 a1m1 a2n1m2n1同或标同或标准式准式:f 2 -1 = ai mi i = 0 n=(a0+m0 ) (a1+m1 ) (a2n1+m2n1)同或、异或标准式同或、异或标准式例例2-7 将将 f=ab+bc转换为异或转换为异或标标准形式。准形式。f=ab + bc= m（2，4，5，6）1 0x011 01 0x1 04 , 5011 01 02 , 6=abc+abc+abc+abc=abc abc abc abc变换成只含原变量的变换成只含原变量的异或表达式异或表达式=(1 a