高三数学课件轨迹问题离心率定义整理

1、bb2=ac早读练习2,2,2. 7ecomabccm（理科）（理科）21最优解法!2010年广东高考理科数学 2212111112121212()()12(05.(2010)1xyaap xyq xyapa qehhhllellh已知双曲线的左、右顶点分别为 、 ，点，是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹 的方程；若过点，的两条直线 和 与轨迹 都广东卷只有一个交点，且，求 的值 1122(2 0)( 2 0)1xaa由题意知，析，解：，例1.(理科数学)要考虑渐近线! 得x01111211111122221111(2)2(2)22222.02.()11.22yapyxxya qyxx

2、yxyxxyxyxxxxxxp xyyy则直线的方程为；直线的方程为联立解得交点坐标为，即，则，而点，在双曲线上，所以 2222222222222122221221.(0)112124220164 12220111202.221131202.2exhhykxh hykxkhxhk hkhhhhkkkxyhhxllkxk 将代入上式，整理得所求轨迹 的方程为设过点， 的直线为，联立，得令，得，解得，由于，则，故，且且1212111212(0).()1222222 2 22 2 2()()33.3233haallyhhllaha hhhhllyxyxe 过点 ，分别引直线 ， 通过 轴上的点， ，

3、且使，因此由，得，此时， ， 的方程分别为与，它们与轨迹 分别仅有一个交点，与，所以符合条件的 的值为或，2212221210.120()66a 1)b )336c 0,1d (0)3xyabaabaqaqae 设椭圆的长轴两端点为 、若椭圆上存在一点 ，使，则离心率的取值范围为 ，例2：12120aqaacace关键是将条件转化为只含 ，的不等式，再将 ， 的不等式转化为 的不等式进切入点：行求解 222221(00) .5.1152.33xylababeaebecede设斜率为 的直线 过双曲线，的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率 的取值范围是22222145. a

4、bcaeeaa 以双曲线的渐近线为参照，数形结合可得一渐近线的斜率，所以，可知，解故选析：1211222222()12060tan32633.33611).3papaaapoapobcabaceaeeaa设 是椭圆的上 或下 顶点，则，所以，从而，所以，所以，即又，解所以，故选析：答案：12aceceaac求椭圆、双曲线的离心率及其范围，常将条件转化为关于 和 的方程或不等式，然后再转化为 的方程或不等式进行处理在解决与椭圆、双曲线的离心率有关的问题时，除了用好离心率公式外，还要注意用好其他几何性质，如本题建立关于 ， 的不等式的关键是利用了椭圆的存在范围 22221(00)1 46 . 5

5、.223 2 .2. 3xyabababcd若 双 曲 线，的 一 个 焦 点 到 一 条 渐近 线 的 距 离 等 于 焦 距 的， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 是ddb 22221(00)1 46 . 5 .22 3 2 .2. 3xyabababcd若双曲线，的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率是2222,0|23422 3,.3bcyxabccdbabcacced 设焦点为，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故，所以：选解析 2233242 3 330 2.(20 (0)44332 .,010)333ykxxymnmnkabcd 直线与圆相交于、 两点

6、，若，则 的取值范围是，江西卷22213,23322 31332( 3)0.0442. axkmnkkkkbc 方法 ：圆心的坐标为，且圆与 轴相切当时，由点到直线的距离公式，得，解得或故得，方法 ：数形结合如图，由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除 ，考虑区间不对称，排除 ，利用斜率估解值，选析：c2已知点已知点a(3,5)、b(2,15)，试在直线，试在直线l：3x4y40上找一点上找一点p，使，使|pa|pb|最小，并求出最小值最小，并求出最小值d0 01圆锥曲线是解析几何的核心内容，同时也是高考命题的热点之一这一部分在高考中考查的知识主要有：(1)圆锥曲线的定义及其简单的几何性质

7、；(2)求曲线的方程；(3)有关定值、最值问题等2复习本部分内容时，重点要注意以下问题：(1)理解圆锥曲线的定义，注意定义在解题中的应用(2)正确区分椭圆、双曲线的标准方程中a、b、c三者之间的数量关系(3)熟悉圆锥曲线的几何性质，特别注意离心率及其范围的处理方法(4)重视解析几何中的最值问题(5)注意函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用20112011届圆锥曲线第二轮复习届圆锥曲线第二轮复习特别提示特别提示1()2()求曲线的轨迹 方程 常见的方法主要有直接法、定义法、相关点法和参数法对于求曲线的轨迹 方程 ，要能依据已知条件对选用哪种方法迅速作出判断参数法求轨迹方程！课堂练习题课堂练

8、习题参数法求轨迹方程！ 221212121 12222222222194 .1.19494.1.1949.42xyaappa aapa pxyyxabxyyxcd设 、是椭圆的长轴两个端点， 、 是垂直的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为相关点法求轨迹方程！1210020001100220002222()3,03,0()().3.393.11.9494p xyaap xyp xyyyyappxxxyyyappxxxyxyxxxyxcy设交点， 易知，因为 、 、 共线，所以因为 、 、 共线，所以由解得，将其代入，得解故选析： 22(2010)1,090121caboxyab bcpabptt

9、xc 揭阳二模 已知点，点 、 是：上任意两个不同的点，且满足，设 为弦的中点求点 的轨迹 的方程；试探究在轨迹 上是否存在这样的点，它到直线的距离恰好等于到点 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说变式1：明理由 222222222221.0.1.29.(1)941cpopac bcacbccpapbpabopapoaopcppxxyxyxyxpty 方法 ：连接、由，知所以由垂径定理知，即设点解析：，即为点 的轨， ，有，化简得迹，的方程直接法求轨迹方程！ 112222221111121222222211221122222222111212221212()()()99,2,242

10、4244()22(822)1*a xyb xyp xyxyxyxxxyyyxxx xxyyy yyxyxyx xy yxyx xy y：设， 根据方题意，知，所以，故法，参数法求轨迹方程！ 1122121212122222210(1) (1)0110121*44182 214ac bcxyxyxxy yx xy yxxxxyxxxypt 又由，有，所得，即为以，故，代点 的轨入式，得，化简迹，的方程 2222221211,021224 .43420414.012(12.)1,2xpcypxpyxyxxxxxyxxxxy 根据抛物线的定义，到直线的距离等于到点的距离的点都在抛物线上，其中，所以，

11、故抛物线的方程为由方程组，得，解其坐标为得，由于，故取，此时故满足条件的点存和在，定义法求轨迹方程！当曲线不完整时，一定要数形结合！当曲线不完整时，一定要数形结合！ 1212 1.ffpfpqpqpfqabcd已知椭圆的焦点是 、 ， 是椭圆上的一个动点，如果延长到 ，使得，那么动点 的轨迹是圆椭圆双曲线的一支抛物线122121112222pfpfa pqpfpfpfpfpqafqaqfaqa因为，所以，解即，所以动点 到定点 的距离等于定长，故动点的轨迹是圆：，故选析定义法求轨迹方程！定义法求轨迹方程！定义法求轨迹方程！224,080mpc xyxm已知动圆 过定点，且与圆 ：相切，求动圆圆

12、心 的轨例2：迹方程4mcmpmcpm根据题意，说明点到定点 、 的距离之差的绝对值为定值，故点的轨迹是双曲线所以本题适宜用定义切入点：法求解2222242.4121.41.2maacbcamxy根据题意，点的轨迹是双曲线因为，所以又，所以故动圆圆心的轨迹方程为解析：定义法求轨迹方程！22225493.51().a xyb xyp与圆 ：和圆 ：都外切的圆的圆心 的轨迹方程为 221(3)91.6xyx利用双曲线的定义可得解析：定义法求轨迹方程！直接法或定义法或参数法求轨迹方程！【题后点评】【题后点评】(1)求轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的常用方法：直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；直接

13、法：将几何关系直接翻译成代数方程；定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法解方程；用待定系数法解方程；代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系立联系(2)注意注意建立关系要符合最优化原则；建立关系要符合最优化原则；求轨迹与求轨迹与“求轨迹方程求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是数学表达式迹方程则是数学表达式导数在解几中的应用导数在解几中的应用 2231003,012axybpabpapqpaqaqbqqxpqf xf x如图，圆 的方程为，定点

14、，动点 为圆 上的任意一点线段的垂直平分线和半径相交于点 ，当点 在圆 上运动时，求的值，并求动点 的轨迹方程；设 点的横坐标为 ，记的长度为，求变式2：函数的值域 222210.6,10610210,264. 125163.12qbqpqaqbqaqpapabqabacbpqqbfxxyxyq 由已知，得，所以，又 ，根据椭圆的定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点，为长轴长的椭圆，则，所以所以，由已知得，所以解析：点 的轨迹方程，为 22222221251616(1)25316 12593625|5|.25535525528,8xyqxyf xyxf xxxxxxf xx 又点 的轨迹方程为，所

15、以，代入的解析式，消去 ，得由的值域为于，所以，所以1圆锥曲线是解析几何的核心内容，同时也是高考命题的热点之一这一部分在高考中考查的知识主要有：(1)圆锥曲线的定义及其简单的几何性质；(2)求曲线的方程；(3)有关定值、最值问题等2复习本部分内容时，重点要注意以下问题：(1)理解圆锥曲线的定义，注意定义在解题中的应用(2)正确区分椭圆、双曲线的标准方程中a、b、c三者之间的数量关系(3)熟悉圆锥曲线的几何性质，特别注意离心率及其范围的处理方法(4)重视解析几何中的最值问题(5)注意函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用20112011届圆锥曲线第二轮复习届圆锥曲线第二轮复习特别提示特别提示

16、 221212121211241cos211(2009)1()23xycffqfqfaaqaqkka q 已知椭圆 ：， 、是其左、右焦点若 为椭圆上的动点，求的最小值；若 、分别是椭圆长轴的左、右端点变式 ：珠海二模， 为椭圆上的动点，设直线的斜率为 ，且，求直线的斜率的取值范围 12122221212121222121212122222122 322 2 |24 2.24 3.cos2224112132()21cabcabcf fcqfqfaqfqff ffqfqf qfqfqff fqf qfqf qfbbqfqfa 设椭圆 的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 、 、 ，则有，由椭圆的有

17、解定义，析：， 121220020002000222001222.(cos)().122 32 311.121431cos32(11121.23)233qfqfqfqfa qkq xyyyykkk kxxxxybkfqfakakqk 所以当且仅当时，即 取椭圆的上、下顶点时，取得最小值设直线的斜率为 ，则，所以又的最小值为直线的斜率的取值范围为，则因为，所以，故d早读练习：c【题后点评】【题后点评】(1)在求解有关离心率的问题时，一般在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出并不是直接求出c和和a的值，而是根据题目给出的椭的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，圆或双曲线的几何特征，

18、建立关于参数建立关于参数c、a、b的方的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围或范围(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线这里强调近线这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离的几何意义是焦点到准线的距离,6dfed dfed624(01)1.3pyxpapx 已知点 是抛物线上一动点，则点 到点，的距离与点 到直线的距离和的最小值是（）fcfbfa21200fafb24(01)1.3pyxpapx

19、 已知点 是抛物线上一动点，则点 到点，的距离与点 到直线的距离和的最小值是（）24111,02(01)1.yxxpxpfpaxfa 因为的准线是，所以点 到直线的距离等于点 到焦点的距离故点 到点，的距离与它到直线的距离之和的最小值为解析：fcfbfa2fafb解析解析,2fcfbfa.2cffbfa0 012001112 (2009)/()fabppff apo ab o已知 为椭圆的左焦点，、 分别为椭圆的右顶点和上顶点， 为椭圆上的点当，为变式椭圆中心时，求椭圆的：广州二模离心率2222222122210,0(b 1)()xyababfccabcpcabpca设椭圆的方程解为，则，即，

20、析：22222/.2.2abopab opkkbbbcaacabcbcbeab因为，所以，即，所以又因为，所以1212121222221212122 .482.33644417999cos.8288233cos5o15.3c s3pfpfapfpfaapfpfpffaacfpfeaaefpffpfee 由定义知又已知，解得，在中，由余弦定理得要求 的最大值，即求的最小值当时，解得，即 的最大值为解析：2222121241(00)4.xyababffppfpfe已知双曲线，的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率 的最大值为() 222212121212121025

21、.(20124( 21).0)121.xyababffppfpfabcdpfpfkkk k如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 、 为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为 、 和 、求椭圆和双曲线的标准方程；设直线、的斜率分别为 、 ，证明：山东卷 222222222 .2224( 21)224184( 2,0)11.44cacaacacbacxyxy由题意知，椭圆的离心率为，得又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲

22、线的标准方程为解析： 0000120020001220000022220000201220()22.224()14441.42yyp xykkxxyyykkxxxp xyxyyxykkx证明：设点，则，所以又点，在双曲线上，所以有，即，所以2222,010()a 32 3)b 32 3)77c )d 3(2010)44ofxyapaop fp 若点 和点分别是双曲线的中心和左焦点，点 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ，例 ：福建卷， ，op fp 本题考查待定系数法求双曲线方程将代数化，利用方程消元，转化为二次函数的单调性切入点：与最值222222000002200000002,01

23、431.3()1(3)31(3)3(2)()faaxyxp xyyxxyxfpxyopxy 因为是已知双曲线的左焦点，所以，即解析：，所以双曲线方程为设点，则有，解得因为，20002000200000221342133.433432 3132 33.3)32op fpxxyxxxxxxxxop fpop fp 所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线因为，所以，当时，取得最小值故的取值范围是， 1求最值问题，要有函数意识本题要求e12+e12的最小值，就必须考虑如何建立a，b与e12+e12的联系(也可看作二元函数)，然后根据其特点选择适当的求最值的方法 2在解决有关圆锥曲线的离心率的范围问

24、题(最值)时，常采用如下方法： (1)建立目标函数关系，利用代数方法求出相应的最值； (2)利用圆锥曲线的几何性质或者利用某些几何结论求最值 221112259() 4 1 28.3.2xymfnmfon oabcd若椭圆上的点到焦点 的距离为 ， 为的中点，则为坐标原点 的值为 21221122.210101028.14.2fmfmfamfmfonmffonfam设椭圆的另一个焦点为由椭圆的定义可得，则又为的中位线析，所以故选解：圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质12222byaxpbap2,2ab,2pbap d21.d31.c22.b23.a ( 2 0)22 2.2(2010)120

25、pfplxpcmnlefoem fnmn 已知动点 到定点，的距离与点 到定直线 ：的距离之比为求动点 的轨迹 的方程；设、 是直线 上的两个点，点变式3：广州与点 关于原点 对称，求一模的最小值 2222221()(142)2222 21.42.p xyxyxxypxyc设点， 依题意，有，整理，得所以动点 的轨迹 的方程为解析： 1212121221(2 0)(2 2)(2 2)()0(3 2) ( 2)066.20efoemnlmynyyyem fnyyy yyy 因为点 与点 关于原点 对称，所以点 的坐标为，因为、 是直线 上的两个点，所以可设，不妨设因为，所以，即，即1212121

26、1111200.66222 6666.yyyymnyyyyyyyymn 由于，则，所以，当且仅当，时，等号成立故的最小值为 22212212115.(200910210.)3121,0.xycaaffacaf ffoafofcqcqlxfymmqqfl 设椭圆 ：的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一点，且，坐标原点 到直线的距离为求椭圆 的方程；设 是椭圆 上的一点，过点 的直东莞高三模拟线 交 轴于点，交 轴于点若=2，求直线 的斜率 22122211222122121(2 0)(2 0)2.02(2)1()22.11fafaaafffafffaaaxafyaa aaoafa 方法 ：

27、由题设知，其中由于，则有，所以点 的坐标为，故所在直线的方程为，所以坐标原点 到直线的距离为解析：222122222121221320. 142122.rtxaofaaaaaafaaf fy又，所以，解得所求椭圆的方程为：同方法 可得在中，利用等面方法积法可得122222222212233222132224.1.ccaofcaacccaa ，所以又，所以以下同方法 11111111111(0)()()2(1)223.32llyk xmkq xyqfmmqqfxykxyxxykky 由题意可知直线 的斜率存在，则直线 的方程为，故， 设点，由于点 、 、三点共线，且=2，所以，解得或222221

28、4223314204.04kqklckk 又点 在椭圆 上，故或，解得或综直线 的斜率为 或上，1922yx, 021pfpf|21pfpf , 021pfpf21pfpf |21pfpf | pqb点m在椭圆外,一定要考虑判别式!第2问理科2(1)(2010年高考陕西卷年高考陕西卷)已知抛物线已知抛物线y22px(p0)的的准线与圆准线与圆x2y26x70相切，则相切，则p的值为的值为()a. b1 c2 d412圆锥曲线的最值或定值问题圆锥曲线的最值或定值问题 已知抛物线已知抛物线y24x的焦点为的焦点为f，过，过f作两条互作两条互相垂直的弦相垂直的弦ab，cd，设，设ab，cd的中点分别

29、为的中点分别为m，n.(1)求证：直线求证：直线mn恒过定点；恒过定点；(2)求求|mn|的最小值的最小值【题后点评】解析几何中的最值问题涉及的知识【题后点评】解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：几种：(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；求最值；(3)利用不等式，尤其是均值不等式求最值；利用不等式，尤其是均值不等式求最值；(4)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值利用数形结合，尤其是切

30、线的性质求最值对称问题对称问题 光线从光线从a(3,4)点出发，到点出发，到x轴上的轴上的b点后，被点后，被x轴反射到轴反射到y轴上的轴上的c点，又被点，又被y轴反射，这时反射线恰好过轴反射，这时反射线恰好过d(1,6)点，求点，求直线直线bc的方程的方程【名师点评】在解决入射光线与反射光线问【名师点评】在解决入射光线与反射光线问题时往往转化为对称问题，即题时往往转化为对称问题，即“入射光线所入射光线所在直线和反射光线所在直线关于反射面所在在直线和反射光线所在直线关于反射面所在直线对称，也关于法线所在直线对称直线对称，也关于法线所在直线对称”222030(33)cxyxxyqc已知圆 与圆相外

31、切，并且与直线相切于点，例一求圆：的方程先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定切入点：系数法222222()3333(1)120426.04 344(4)36.ca bbaaxyxybabaarrbbc 解析：或设圆 的圆心为 ， ，则，解得或，所以或所以圆 的方程为圆的方程圆的方程 已知圆已知圆c经过点经过点a(1,3)、b(2,2)，并且直线，并且直线m：3x2y0平分圆的面积则圆平分圆的面积则圆c的方程为的方程为_【答案】【答案】(x2)2(y3)21【题后点评】求圆的方程一般有两类方法：【题后点评】求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和

32、圆、圆与几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数再由条件求得各系数3已知圆已知圆c与直线与直线xy0及及xy40都相切，都相切，圆心在直线圆心在直线xy0上，则圆上，则圆c的方程为的方程为()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 (本题满分本题满分12分分)如图，平面直角坐标系如图，平面直角坐标系xoy中，中，aob和和cod为两等腰直角三角形，为两等腰直角三角形，a(2,0)，c(a,0)(a0)设设aob和和cod的外接圆圆的外接圆圆心分别为心分别为m，n.【题后点评】研究直线与圆、圆与圆的位置关系【题后点评】研究直线与圆、圆与圆的位置关