南京邮电学院信号与系统信号3.6

1、6 卷积定理卷积定理(1)时域卷积时域卷积(2)频域卷积频域卷积)()()()()()()()(),()(gfytgtftygtgftf则若)()(21)()(gftgtf7 时域微分和时域积分时域微分和时域积分)()(ftf若的时间微分傅氏变换为存在时，则有当)(tfdtdf)(fjdtdf的时间积分傅氏变换为)(tf)()0()()(fjfdftdeftftj)(21)(证明：由定义defjdttdfttj)(21)(求导两边对)(fjdtdf这表明)()()(fjdttfdnnn重复求导可得对于时域积分性质可如此证明：对于时域积分性质可如此证明： tdfdtfttf)()()()()(再

2、利用时域卷积性质再利用时域卷积性质)()0()()(1)()()()(fjfjfdfttftdttff)()0(此处jfdfftft)()(, 0)0()(有的积分为零，即若表明函数在时域中的微分或积分对应于其频谱表明函数在时域中的微分或积分对应于其频谱在频域中乘以或除以在频域中乘以或除以jjffjdttdft)()(),()(,)()(但是有设质综合时域微分与积分性)(),()()()(fdttdfttf再求可先求的频谱易于求取时，的导数如果函数)()()()()(ffjf)(lim)(),(lim)(tfftfftt式中)()()()(ftfdddfdtt证明：根据时域积分性质根据时域积分

3、性质)()0()()(jdt)()(2)(),()(ffftf又)()(2)()()0()(ffj)()()()()()0(0ffdddfd)()()()()(ffjf于是dfff)()(0)()(时，才有因此，只有当的频谱例：试求如图所示信号)(tf -2 -1 0 1 231t)(tf)()( ttf(1)(3)(3)(1)t0)2() 1(3) 1(3)2()()( ttttttf解：2sin2sin633)(22jjeeeejjjj1)()(ff)(2)2(4)(6)(22sin2sin6)(2)()(sasajf8 频域微分和积分频域微分和积分ddftfjtftf)()()()()(

4、则若nnndfdtfjt)()()(推广(1) 频域微分频域微分dtetfftj)()(证明：dtetfjtddftj)()()(ddftfjt)()()(重复求导得重复求导得 nnndfdtfjt)()()(2)频域微分频域微分dfttfjtf)()()()0(的傅里叶变换试求例：若)1 ()1 (),()(tftftf)1 ()1 ()1 ()1 (ttftftft解：jeftftfftf)()1()1 (),()(defdjttfj)()1 (jjjjefeddfjejfeddfj)()()()(jeddfjtft)()1 ()1 (应用性质求傅里叶变换应用性质求傅里叶变换)(10tet

5、j指数信号)()(),()(00fetfftftj则若)(2, 1)(00tjetf令)(cos,sin200ttt正弦信号和余弦信号)(2),(20000tjtjee)()(cos000t1 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换)()(sin000 jt220000000000)()(2)(21)(21)()(21)()()(21)(cosjjjjtt类似地类似地2200000)()(2)(sinjtt3 一般周期信号一般周期信号teftfntjnn2)(00两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换nnnfftf)(2)()(0周期信号的傅氏变换或频谱密度，是由无穷周期信号的傅氏变换或频谱密度，

6、是由无穷多个多个冲激冲激所组成，这些冲激位于谐频所组成，这些冲激位于谐频 处，处，0n2乘以里叶级数的复系数冲激强度为指数形式傅nf的频谱密度函数例：求t0cos)(21cos000tjtjeet解：2111ff22100处的冲激，冲激强度为和频谱密度为位于)()(cos000t)(4tt单位冲激序列00)()(fnttnttttt)()()(，为周期的单位冲激信号是以展开为指数形式傅氏级数展开为指数形式傅氏级数ntjnnteft0)(dtettftttjntn220)(1式中，tdtettftttttttjnnt1)(1),)2,2()(220（之间为在ntjntjnntetett0011)

7、()()(2)(000ntntt0 t 2t t )(tf)(f0002(1)(02 傅里叶系数与傅里叶变换傅里叶系数与傅里叶变换之间的关系傅里叶复系数与相应的周期信号的非周期信号的频谱密度nff)(00)(lim)(nnnnttfftff上述关系提供了一种求周期信号傅里叶系数的上述关系提供了一种求周期信号傅里叶系数的方法方法 例：将图示周期信号展开为指数型傅里叶级数例：将图示周期信号展开为指数型傅里叶级数如图所示的一个周期波形解：周期信号)()(0tftftt 2t t1)(tft00 t t)(0tft/2 0 t/2 t)(1tf)4(2)()(2, 1211tsatftfta则令)2(

8、)(2saat ，即在时间上延迟比2)()(10ttftf)2()(10ttftf根据时移性质根据时移性质 22210)4(2)()(tjtjetsatejfjfjntjnnnensaetnsajftf)2(21)2(21)(12202000tjnjnnteensatf0)2(21)(2周期信号的指数型傅里叶展开式为：周期信号的指数型傅里叶展开式为：例：说明下列傅氏变换对成立例：说明下列傅氏变换对成立 21)2()(1) 1 (tjsgntjtsgn2)() 1 (解：)(2)(22sgnsgnjt由对称性)(1jsgnt由线性)(1)2(jsgnt)()(1)1(2sgnjsgnjtt由微分

9、性质)(, 1)(0sgnsgn时，)(, 1)(0sgnsgn时，21t的傅里叶变换例：求如图所示)(tf10t)(tf1)()( ttf0t200)2()(,1)2()()()( jesaatftfttf的延时，为单个矩形脉冲解：1)(, 0)(ff又)()2()()()(2jesajfj)25()(tftf如图，试画出例：已知 -10 1 2 t(4)1)(tf -0.5 0 1 t(2)1)2( tf)2(tf -1 0.5 t (2)5 . 2(2)25(tftf0 1.5 3 t (2)25(),()(tfftf求例：已知25)2(21)25(2)25()2(21)2(),()()

10、,()(jeftftfftfftfftf解：abjeafabatf)(1)(一般地)()(tff如图，求例：已知解：解：(1)利用对称性求解利用对称性求解为如图所示的矩形脉冲得换成的将)(),(,)(0tftftf11t)(0tf)()()(0000tftftf)()(000jjeetff f01001)(f01011cos)(4sa011cos)(4)(satf)(2)(2cos)(4011ffttsa由对称性ttsaf011cos)(2)(2)利用调制定理求解利用调制定理求解11)(0f)()()(0000ffftftf001cos)(2)(f fttsatf011cos)(2)(3)利用

11、频域卷积定理利用频域卷积定理)()()()(000 ff)()()(2)(00101f ff fftf21)(20011tjtjeetsattsa011cos)(2)(求)(例：求jt1)()(解：)(1)(21)(tjt由对称性jtt21)(21)()1() 1(3cos2ttt例：求)6cos1 (213cos2tt解：satt2) 1() 1()6()6()1() 1(6cossasattt)6()6(21)1() 1(3cos2sasasattt2)63sin(例：求)2(33sa解：上式)2(2()2(saatta矩形脉冲6,21, 32, 3aa33)3()3(21satttjettsa2)3()3(21)2(33由频移性质)()1(2tedtdt例：求21)()(222)1(2jeteetett解：2)(222jjeteedtdt)()()()(1jirftf的傅里叶变换例：已知如图所示)()(22ftf的傅里叶变换求信号12t021)(1tf -10 1 t1)(2tf)2(21)2(21)(113tftftf解：设 0 t1)(3tf21)21()21()()(32tttftf)()(2232jjeeff)2(41)2(41)2(21)2(21)(