线性代数期末复习吕代数ch5-1

1、 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型110142010122a12n？111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量5.2 相似矩阵相似矩阵5.3 对称矩阵及其对角化对称矩阵及其对角化 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型复习复习 向量的内积向量的内积定义定义1:设有设有n维向量维向量12,nxxxx 12,nyyyy 1122, nnx yx yx yx y称为称为向量向量 与与 的内积的内积.xy即：即：yxyxt,(i) ,;x yy x (ii) ,;x yx y (iii) ,;xy zx zy z 性质：性质：定义定义设设

2、 为为n维向量维向量,为实数为实数. ., ,x y z ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型当当 时，时，1x 称称 为为单位向量单位向量. .x定义定义2: ,xx x 22212,nxxx 当当 时，时，0, 0 xy ,arccos x yxy 称为称为n维向量维向量 与与 的夹角的夹角.xy若若 ，0 x 则则 与任何向量都正交与任何向量都正交. .x 称为称为n 维向量维向量 的的长度长度或或范数范数.x ,00tx yx y 或或若若 则称则称 与与 正交正交. .xy ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型（正交向量组）（正交向量组）定理定理1: 若若 n 维向量维向量

3、是一组是一组两两正交的非零向量两两正交的非零向量, ,则则12,ra aa12,ra aa线性无关线性无关. .证：证：设有一组数设有一组数 使使12,r 1 1220.rraaa 111212110ttttrra aa aa aa 1110.ta a 10a 21110,ta aa 10. 类似可证类似可证20,0.r 因此向量组因此向量组 线性无关线性无关. .12,ra aa ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型例例1: 已知已知3维向量空间维向量空间r3中两个向量中两个向量121 01 , 21 -2aa 正交正交, ,试求一个非零向量试求一个非零向量 , ,使使 两两正交两两正交

4、. .3a123,a a a解：解：1323,xaxx 设设 022032321xxxxx则则 22011 1a 11011 1 .,23231xxxx令令 ，31x 得基础解系得基础解系2 1 . 1 取取32 1 1a 即为所求即为所求. . 11020 1 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型定义定义3： 设设 n 维向量维向量 是向量空间是向量空间v (v rn)的一个基的一个基,12,re ee 如果如果 两两正交两两正交，且都是，且都是单位向量单位向量，则称，则称12,re ee12,re ee是是v的一个的一个规范正交基规范正交基. .（正交基）正交基）若若 是是v的一个规范

5、正交基，的一个规范正交基，12,re ee那么那么v 中的任一向量中的任一向量a应能由应能由 线性表示，线性表示，12,re ee设表示式为：设表示式为：1 122rraeee ttiiiie ae e 2iie i 证：证：,tiiie ae a 则则 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型如何求如何求v的规范正交基的规范正交基？设设 是向量空间是向量空间v的一个基，的一个基，12,ra aa要求要求v的一个规范正交基的一个规范正交基也就是要找一组两两正交的单位向量也就是要找一组两两正交的单位向量 ,12,re ee使使12,re ee与与12,ra aa等价等价.把把12,ra aa这个

6、基这个基规范正交化规范正交化. ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型把把 规范正交化的步骤：规范正交化的步骤：12,ra aa取取11;ba 1222111,;,b ababb b 121121112211,.,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb 容易验证容易验证 两两正交，两两正交，12,rb bb且且 与与 等价等价. .12,rb bb12,ra aa首先把首先把 正交化：正交化：12,ra aa再把再把 单位化：单位化：12,rb bb取取1111,ebb 2221,ebb ,1,rrrebb 就得到就得到v的一个的一个规范正交基规范正交基. .施密特正交

7、化过程施密特正交化过程132333121122,;,b ab ababbb bb b ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型例例2 用施密特正交化方法用施密特正交化方法,将向量组将向量组123(1,1,1,1) ,(1, 1,0,4) ,(3,5,1, 1)tttaaa正交规范化正交规范化. .解解 先先正交化正交化，取，取 111,1,1,1tba 1222111,b ababb b 1 1 41, 1,0,41,1,1,11 1 1 1tt 0, 2, 1,3t 132333121122 , ,b ab ababbb bb b 8143,5,1, 11,1,1,10, 2, 1,3414

8、ttt 1,1, 2,0t ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型再再单位化单位化， 22212130, 2, 1,30,14141414ttbeb 33311121,1, 2,0,06666ttbeb 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2ttbeb ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型定义定义4:若若n阶矩阵阶矩阵a满足满足,ta ae 则称则称a为为正交矩阵正交矩阵. 1212100010,0001ttntnaaa aaa 即即方阵方阵a为为正交矩阵正交矩阵a的列向量组都是的列向量组都是单位向量单位向量, ,且两两且两两正交

9、正交. .a的行向量组都是的行向量组都是单位向量单位向量, ,且两两且两两正交正交. .注：注：正交矩阵正交矩阵a的的n个列个列( (行行) )向量构成向量空间向量构成向量空间rn的一个规范正交基的一个规范正交基.注：注：a是正交矩阵，则是正交矩阵，则a-1=at也是正交矩阵，且也是正交矩阵，且(|a|=1或或-1) ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型解：解：所以所以a的每个列向量都是单位向量的每个列向量都是单位向量, ,且两两正交且两两正交, ,故故a是正交矩阵是正交矩阵. .定义定义5: 若若p为正交矩阵为正交矩阵, ,则线性变换则线性变换 称为称为正交变换正交变换. .ypx 设设

10、 为正交变换，为正交变换，ypx 则有：则有：tyy y .tttx p pxx xx正交变换不改变向量的长度正交变换不改变向量的长度. .例例4: 验证矩阵验证矩阵是正交矩阵是正交矩阵. . 979494949198949891a 979494949198949891184999814999447999t 100010001 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型一一 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念axxn个未知数个未知数n个方程的个方程的齐次线性方程组齐次线性方程组注注: :由由() 0ae x可得可得:axx 则称则称 为方阵为方

11、阵a 的的特征值特征值,非零非零向量向量 称为称为a的对应于的对应于特征值特征值 的的特征向量特征向量.x 定义定义 设设a是是 n 阶阶方阵方阵,如果存在数如果存在数 和和n 维维非零非零列向量列向量 满足：满足：xea 称为称为a的的特征矩阵特征矩阵. ( ) |afae |称为称为a的的特征多项式特征多项式.0 |ea |称为称为a的的特征方程特征方程.非零非零 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型利用定义利用定义: ax=x 且且x非零非零例例 110011a解解11100( 1)0111a 例例解解ax=x. 所以所以, a2x=a(ax)=a(x)(ax)=2x. 2适用于适用

12、于抽象矩阵抽象矩阵二二 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型|0,ae |特征值特征值利用利用有有非零解非零解() 0ae x() 0,ae x非零解非零解对应于对应于的特征向量的特征向量适用于适用于数字矩阵数字矩阵 111111111a例例 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 a的特征多项式为：的特征多项式为： |e-a 111111111所以所以a的特征值为：的特征值为：232 )1()2(2 11 2重重 特征值特征值 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型当当 时时,11 e-a 211121112初初等等行行变变换换

13、000110101:(-)0.a e x 组解解方方程程由由：得基础解系得基础解系: 1(1,1,1)tp当当 时时, 232 a+2e = 111111111初初等等行行变变换换 000000111得基础解系得基础解系: 2( 1,1,0)t p3( 1,0,1)t p所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为:2233,kkpp32,kk不全为零不全为零.:(2 )0.ae x组解解方方程程由由：232 所以所以 对应于对应于111, 0.kk p的的全部全部特征向量为特征向量为: 11 线性无关线性无关的的特征向量的特征向量的最大个数为最大个数为 ch5 相似矩阵及二次型相似

14、矩阵及二次型解解 a 的特征多项式为的特征多项式为:ea 2010340112)1)(2( 所以所以a的特征值为的特征值为:21 231.当当 时时, 解方程组解方程组 由由21 (2 0.ae)x ea2 001014013初初等等行行变变换换 000010001得基础解系得基础解系 : 1(0,0,1)tp所以对应于所以对应于 的的全部全部特征向量为特征向量为 21 11k p10k 例例 求求 201034011a的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2重重 特征值特征值 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型ae= 101024012初初等等行行变变换换 000210101132 当

15、当 时时, 得基础解系得基础解系 :2( 1, 2,1)t p线性无关线性无关的特征的特征向量的最大个数向量的最大个数为为注注: 1 属于同一个特征值的特征向量有属于同一个特征值的特征向量有无穷多个无穷多个！ 2 属于同一特征值的属于同一特征值的线性无关线性无关特征向量的特征向量的最大个数最大个数不一不一定等于它的重数，但定等于它的重数，但不会超过它的重数不会超过它的重数.的的全部全部特征向量是特征向量是222,0.kk p132 所以对应于所以对应于 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型三三 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质性质性质1 的特征向量.的特征向量.是对应于是对应于

16、的特征值,的特征值,是矩阵是矩阵设设xa矩阵矩阵特征值特征值特征向量特征向量axkakmaminiiaaaf0)(0( )niiifa1ata*a1| |,0axxxxx ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型axx, (1)由 (1)由 ()() .ka xkx所所以以, , . xxamm : :同理同理.a则(2)若(2)若 可可逆逆, 0, 0.0000矛盾矛盾可得可得则则假设假设，xxxax.11xx a : :进而可得进而可得有相同的特征值.有相同的特征值.和和下面证明下面证明taa)3(.有相同的特征多项式有相同的特征多项式和和只需证明只需证明taa. |e|a|e)|(ae|

17、att.|0)4(的的特特征征值值是是: :证证明明若若*aa， ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型（1）矩阵矩阵a 的的n个特征值之和等于个特征值之和等于a 的的n个对角线元素之和，即个对角线元素之和，即:1122.nnaaan 21（2）矩阵矩阵a的的n个特征值的乘积等于个特征值的乘积等于a的行列式的值的行列式的值, 即即:. |21an 性质性质 2 注注1:tr(a)注注2全不为零全不为零 ch5 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.75321323aaaa ，求求，的的特特征征值值为为阶阶矩矩阵阵已已知知)(7523 的的特特征征值值只只须须求求aaa 75)(23 而而特特征征值值, 3)1( 3)3(, 2)2( 183237523 aaa例例解解: :例例. .的的特特