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1、或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 0 ，有 定理3（贝努里大数定律） 伯努利lim |0AnnPpn=证明12( ,),AAnnb n pnXXX=因为由此可表示为0 1.()()(1),kkpE XpD Xpp=其中相互独立，且都服从以 以为参数的（）分布因而，第14页/共21页由定理2即得121lim |()|1nnPXXXpn=lim |AnnPpn 证毕注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.lim |0AnnPpn=或.事件发生的频率可以代替事件的概率第15页/共21页下面给出的独立

2、同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数 ，有定理4（辛钦大数定律）11lim |1niniPXnm=辛钦第16页/共21页 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量 ，要收割某些有代表性块，例如n 块地. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.第17页/共21页三、小结三、小结大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现

3、象最根本的性质之一：平均结果的稳定性2()()kkE XD Xm=()kE Xm= ( , )Anb n plim |1AnnPpn=伯努利大数定律11lim |1niniPXnm=切比雪夫大数定律11lim |1niniPXnm=辛钦大数定律 第18页/共21页随机变量X的数学期望(),E Xm=方差2(),D X=则由切比雪夫不等式，有(3 )_.P Xm解：解：(3 )P Xm=()3 )P XE X2()(3 )D X思考题思考题3.8 切比雪夫不等式与大数定律221.99=1第19页/共21页22m m 解：解：)(2iXE 2)()(iiXEXD = =22m m = =相互独立相互独立且且,22221nXXX), 2 , 1(

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