结构力学教学课件102结构动力响应

1、东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院sep 2013结构力学结构力学( (二二) )第1章 结构动力响应分析主讲教师：郭 彤上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念定义：结构在大小、方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力（inertia force）和荷载相比大到不可忽视时，则把这种荷载称为动荷载（dynamic load）。上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类

2、 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念 单自由度体系的力学模型单自由度体系的力学模型上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念定义在振动过程的任一时刻，确定体系全部质量位置或变形状态所需的独立参数个数，称为体系体系的自由度的自由度（degreeoffreedom，简记为dof）。振动自由度的求法附加支杆振动自由度的求法附加支杆上节课内容回顾上节课内容回顾

3、 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念集中质量法;位移模式法;有限单元法上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念振动方程的建立 在结构动力分析中，首先需要建立描述体系所有质量运动的方程即体系质量运动的数学方程，称为体系的运动方程（equationofmotion）。该方程的解答给出了各自由度方向位移随

4、时间的变化规律。振动方程的建立 直接平衡法（directequilibriummethod）：该法根据达朗达朗伯尔原理伯尔原理（dalembertprinciple）和所采用的阻尼理论阻尼理论，将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结构上的动荷载，结果使动力问题动力问题转化成任一时刻都动平衡的静力问题静力问题，此即理论力学中的动静法动静法。利用动静法，建立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似，即作用于质量上的所有力保持平衡；另外，当要进行体系在动荷载、惯性力和阻尼力作用下的位移和内力等响应计算时，按动平衡概念，仍采用结构静力学方法计算。 虚功法（virtualworkmethod

5、） 变分法（variationmethod）振动方程的建立10.2.1单自由度体系的力学模型 任何振动系统一般都含有三个组成部分：质量系统、弹性系统和阻尼系统。质量体系) 1)(21)(f2itymttym 惯性力弹性体系)2)(fstky振动方程的建立10.2.1单自由度体系的力学模型阻尼体系) 3)(fdtyc1m时间长度力力单位速度移动时所受阻以阻尼常数，表示质点c阻尼系统弹簧质量振动方程的建立 以质量为m的隔离体作为研究对象，所受力为重力g和动载荷,弹性回复力和粘滞阻尼力，以及假想作用于其上的惯性力。)(tfp)(tfs)(tfd)(tfi0)(gtffffpsdistkgst若用表示

6、由重力g引起的静位移，即)(tysttyty)()(则质量m沿自由度方向的总位移可表示为振动方程的建立gtkytkyftyctycftymtymfsdi)()()()()()( 代入式（a），即得单自由度体系的振动微分方程如下：)()()()(tftkytyctymp )()()(1)(tyctymtfktyp )()(dipfffty基底运动的影响)()()(tytty)(tycfd0sdifff)()(tymtmfi )(tkyfs惯性力和弹性力分别是)()()()(tftkytyctymp 代入平衡条件，得单自由度体系在基底运动下的振动方程)()(tmtfp 其中基底作水平运动时，对体系

7、的作用效果相当于在运动质量上沿加速度相反方向施加一个等效水平力，振动方程的形式不变。10.3 单自由度体系的自由振动 自由振动方程及其试解0)()()(tkytyctym mk2cm0)()(2)(2tytyty ( )ty tge（试解）0222112221（1）低阻尼和无阻尼（2）临界阻尼（3）超阻尼0, 11110.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系2211ii)()(1121tititegegety为正实数，有）（或当1,01211得振动方程的通解：利用欧拉公式titeti11sincos1)cossin()(11tbtaetyt1( )sin()ty tcet或

8、22arctancabba10.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系0000)(;)(ytyytytt利用上述初始条件，确定待定常数为0100ybyya2200011000()arctanyycyyyytyytyetyt110010sin)(cos)(10.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系初始时刻只有初速度而无初位移tyetyt110sin)(初始时刻只有初位移而无初速度tteytyt1210sin1cos)(tyytyetyt110010sin)(cos)(10.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系无阻尼体系0（1）当初速度和初

9、位移均不为零tytytysincos)(00或其中( )sin()y tct2200100()arctanycyyytyytyetyt110010sin)(cos)(10.3 单自由度体系的自由振动10.3.2低阻尼和无阻尼体系无阻尼体系0（2）当初位移为零，初速度不为零tytysin)(0tytycos)(0（3）当初速度为零，初位移不为零tytytysincos)(00tytytysincos)(00tyytyetyt110010sin)(cos)(周期性简谐振动曲线条由振动的位移曲线是一低阻尼和无阻尼体系自2211tt211阻尼的存在将拉长衰减振动的周期mmk1kmt22tf1单自由度体

10、系的自由振动几点结论 （1）运动的初始条件唯一地决定振幅c和相位；初始条件不同，位移响应曲线可能是单一的余弦形式、正弦形式或两者的叠加2.01.61.20.80.40630-3-62.4ty(t)tytytycossin)(00tytysin)(0tytycos)(02200100()arctanycyyy单自由度体系的自由振动几点结论 （2）自振周期或频率只取决于体系的质量和刚度，是不受运动初始条件和外界干扰影响的不变量；它是振动体系的固有属性，有时也称体系的等时性；（3）体系的质量越大，自振频率越低，自振周期越长；体系的刚度越大，自振频率越高，自振周期越短kmt22tf10246810-4

11、-2024y(t)t=0.0505. 0, 0y 0,y (a)00例10-1求质量-弹簧系统的等效刚度系数k(a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧112k3k2k1k1k2k1k2k3mmm(t)y(t)y(t)y1y(t)2y(t)自由振动方程为贝尔原理，其的并联体系，根据达伦对于图a 021tykktym 21kkk等效刚度系数rkkkkr21，其等效刚度系数根弹簧组成的并联系统对于由(a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧112k3k2k1k1k2k1k2k3mmm(t)y(t)y(t)y1y(t)2y(t)动方程为的串联体系，其自由振对于图b 011yyktym 121111n

12、kkkkr，其等效刚度系数根弹簧组成的串联系统对于由的平衡条件和节点根据节点212311221211ykyykyykyykykkkkkkkkkky32312131211 0323121321tykkkkkkkkktym 01111321tykkktym (a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧112k3k2k1k1k2k1k2k3mmm(t)y(t)y(t)y1y(t)2y(t)121211111rnnnnkkkkkkknr系数混联系统，其等效刚度根串联弹簧组成的根并联弹簧对于由(a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧112k3k2k1k1k2k1k2k3mmm(t)y(t)y(t)y1y

13、(t)2y(t)例例10-210-2求单自由度体系的自振频率和自振周期求单自由度体系的自振频率和自振周期不计梁的自重立柱的轴向刚度跨度,8 . 9;2,.4320002nweamlmnei4k3k1k2kwlllleaeaeaeieieieiw混联系统 333342162483leileikleikkk141233116kkkkkeil等效刚度系数：sradwgleimk/18630.35s2thztf865. 2110.3.3 临界阻尼体系0 无阻尼体系临界阻尼体系当1210)()(2)(2tytyty )()(21tggetyt0000)(;)(ytyytytt)36.10(1)(00btyytetyt1.51.20.90.60.3043210y(t)t1=11, 1, 0y 0,y (b)0010.3.4 超阻尼体系1, 超阻尼体系02222221两个不等的实根：)()(222