数学物理方法第11讲

1、3. . bessel 函数在定解问题中的应用函数在定解问题中的应用求解定解问题求解定解问题例例 1. . 1| , 0| | , 0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2buuuubuuautttbtt这里这里u 与与 f f 无关，无关，解：解：称为轴对称问题。称为轴对称问题。令令 . )( )(ttru 代入方程并整理可得代入方程并整理可得)( 0 22 rrr 及及)( . 0 2 tat 方程方程 (*) 的通解是的通解是 . ) 0 ( ),()()( ) 0 ( ,ln)( 00000 dycjrdcr1.1.分离变量分离变量解本征值问题解本征值问题 . ) 0 ( , 0)

2、( ) 0 ( ,)( 000 bcjcr . ) 0 ( , 0)( ) 0 ( ,)( 100 bjcr即即由此得由此得 . ) , 2 , 1( , )1( nxbn 因此本征值因此本征值 . ) , 2 , 1( ,)( , 02)1( 0 nbxnn 对应的本征函数为对应的本征函数为 . ) )( ( ),()( ) 0 ( ,)( 2)1()1(000bxbxjcrcrnnnnn , 0)( br由边界条件由边界条件 . | ) 0(| r进而得进而得, 00 dd将本征值代入方程将本征值代入方程 (*) 解得解得 . sin cos)( ,)( )1()1(000tbxabtbx

3、aatttbattnnnnn)( . 0 2 tat 求解另一常微，得级数解求解另一常微，得级数解因此方程的一般解为因此方程的一般解为 )( )()( )(),(100 nnnttrttrtu . )( sin cos1)1(0)1()1(00 nnnnnnbxjtbxabtbxaatba 常数常数ncc ,0已合并到相应常数中。已合并到相应常数中。 , 0 )(1)1(00 nnnbxjaa 即即 . ) , 2 , 1 , 0( , 0 nan再由再由butt20 1| 得得 ,1 )(221)1(0)1(0bbxjbxbbnnnn 利用不同特征函数间的加权正交性有利用不同特征函数间的加权

4、正交性有 . d )()1( ,d )1(d 0)1(0222)0()1(02200 bnnnnbbbxjbnbxabbb由由0|0 tu得得由初始条件定解由初始条件定解可求得可求得,210 b2)( d )()1(2020)1(202)0(nbnnxjbbxjn 从而得从而得 . )(4)1(03)1(nnnxjxabb 因此问题的解为因此问题的解为 . )( sin)()(142),(1)1(0)1()1(03)1( nnnnnbxjbtxaxjxabttu 求解定解问题求解定解问题例例 2. . . | , 0| | , 0| ) 0 , ( , 00 20 uuuuhzauuuahzz

5、zz解：解：这也是轴对称问题。这也是轴对称问题。令令 . )( )(ztru )( 0 )0( 222 rkrr 及及)( . 0 2 tkt代入方程得代入方程得其中其中2k 是分离常数。是分离常数。1.1.分离变量分离变量02 k时可得修正的时可得修正的bessel函数（下节讨论）。函数（下节讨论）。若若, 02 k方程方程 (*) 的解为的解为 . ) 0 ( ),()()( ) 0 ( ,ln)( 00000kkdykcjrkdcr . 0)(0 kaj, 000 ddc | , 0|0 uua由边界条件由边界条件得得因此因此0 k时无非零解。时无非零解。解本征值问题解本征值问题并可得本

6、征值并可得本征值 ). , 2 , 1( , )0( naxknn和对应的本征函数和对应的本征函数. )()()0(0 bxjcrnnn .)()0()0(zaxnzaxnnnnebeazt 本征值代入方程本征值代入方程再由再由 0|0 zu得得 nnab )( . 0 2 tkt解得解得求解另一常微，得级数解求解另一常微，得级数解所以所以2)(2)()0()0(zaxzaxnnnneeazt . sh )0(azxann 问题的一般解为问题的一般解为 . )( sh),(1)0(0)0( nnnnaxjazxczu 由另一组边界条件定解由另一组边界条件定解2 | hzu由边界条件由边界条件得

7、得 . )( sh21)0(0)0( nnnnaxjahxc之后可利用之后可利用fourier-bessel 级数的系数公式求得级数的系数公式求得 .)( sh )(4)(2)0(1)0(3)0(2)0(2nnnnnxjahxxxac . )( sh)()( sh 4)(2),(1)0(1)0(3)0()0(0)0(2)0(2 nnnnnnnxjahxxaxjazxxazu 这样得到问题的解为这样得到问题的解为10. legendre 函数的性质函数的性质2009. 4. 23一一. . legendre方程的引出方程的引出球形域上三维静电场问题中球形域上三维静电场问题中, 外电势满足外电势满

8、足 laplace 例：例：方程。方程。分析：分析：即即求其分离变量解求其分离变量解。求解时常将其写成球坐标形式：求解时常将其写成球坐标形式： , 0),(2 ru. 0sin1)(sinsin1)(12222222 ururrurrr设解为设解为 , )( )( )( rru 得得代入上方程并乘以代入上方程并乘以) (2 rr. 0ddsin1)dd(sinddsin1)dd(dd12222 rrrrr后两项与后两项与 r 无关无关, 于是有于是有(1) . )dd(dd12 rrrrr (2) .ddsin1)dd(sinddsin1222 为方便为方便, 常把常把 写成写成 l (l+1

9、). 于是于是 (1) 化为欧拉方程：化为欧拉方程：其通解为其通解为. )1( llrbrar上式可化为上式可化为 (3) ). , 2 , 1 , 0( ,dd1222 mm , 0)1(dd2dd222 rllrrrrrr (3) 并自然周期条件可得并自然周期条件可得. cos sin mdmc (2) 式乘以式乘以 2sin得得 . 0dd1sin)1()dd(sinddsin222 ll(4) . sin)1()dd(sinddsin22mll 方程方程 (4) 整理为整理为(5) . 0sin)1(ddcotdd2222 mll称之为称之为 legendre 方程。方程。其中其中 .

10、 11 x (6) , 01)1(dd2dd)1(22222 pxmllxpxxpx该方程该方程 添加自然边界条件添加自然边界条件令令并将并将 , cos x )( 改写为改写为, )(xp则则 (5) 变为变为此方程称为关联此方程称为关联 legendre 方程。方程。若定解问题与若定解问题与 无关无关, 则则 亦然亦然, , m 0 。 此时此时(6) 成为成为 (7) , 0) 1( 2 )1 (2 pllxppx | )1(| p构成本征值问题构成本征值问题, 为为和和 ), 2 , 1 , 0( , nnl ,)!2()!( !2! )( 2 ) 1()(02 mkknnknxknk

11、nkknxp). , 2 , 1 , 0 ( 12 ,2)1( 2 ,2 aanna nnm其本征值和本征函数其本征值和本征函数这样在轴对称假设下得到问题的级数解这样在轴对称假设下得到问题的级数解 )(cos )(),(0)1( nnnnnnprbraru 进一步的求解须知进一步的求解须知 legendre 多项式的性质。多项式的性质。后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。二二. . legendre多项式多项式的性质的性质1. legendre多项式多项式的为微分表示的为微分表示 (7) . 0)1( 2 )1(2 pnnxppx首先证明首先证明nnnxxx

12、f1)(dd)(2 满足满足 legendre 方程方程令令 , 1)(2nxy 则则 , 1)(212 nxnxy因此因此nxnxyx1)(2 )1(22 nxy2 上式两端同求上式两端同求 n + 1 阶导数阶导数, 得得 22)1( 2)1( )1()()1()2(2nnnynnxynyx )()1(2)1(2nnnynnnxy 即即 0, )1( 2 )1()()1()2(2 nnnynnxyyx因此因此0. )1( 2 )1(2 fnnxffx. 0)1( 2 )1(2 pnnxppx即即nnnxxxf1)(dd)(2 满足满足 legendre 方程方程因此因此nnnnnxxnxf

13、nxp1)(dd!21)(!21)(2 也是解。也是解。由二项式定理可证明这里的由二项式定理可证明这里的 )(xp就是就是n 阶阶legendre多项式多项式 . )(xpn2. legendre多项式多项式的为积分表示的为积分表示据复变函数中高阶导数公式据复变函数中高阶导数公式 ,)(d )(2!)(1)( lnnxzzzfinxf 可得可得nnnnnxxnxp)1(dd!21)(2 , )(d 1)(22112 lnnnxzzzi l 是围绕是围绕 z x 的任一正向闭曲线。的任一正向闭曲线。 特别地特别地, 取半径为取半径为 12x 的圆周为的圆周为l, 则则 . )( , 12 iex

14、xz . d1 d , 122 iiexizexxz 由此得由此得 )1(2)1(22)1(2d 1 21)(ninninexexiixp.)1 1()1 1(22niniexxexx 其中其中化简得化简得 d)cos 1(21)(2nnxxxp此式称为此式称为legendre 多项式的多项式的 laplace 积分。积分。 0 2d)cos 1(1nxx令令 cos x得得 0 d)cos sin(cos1)(nnixp由积分表达式可得由积分表达式可得 , 1)1( np .)1()1(nnp 3. legendre多项式多项式的母函数的母函数若一个函数按某一自变量作幂级数展开时若一个函数按

15、某一自变量作幂级数展开时, 其系数是其系数是例如若例如若 , )(),(0nnntxptxf legendre 多项式多项式, 则称该函数为则称该函数为legendre 多项式的多项式的母函数。母函数。就称就称 f (x,t) 为为legendre 多项式的母函数。多项式的母函数。考虑复变函数考虑复变函数 .)21(),(212 txttxw当当 1 | t时，时， 将其展开为将其展开为 , )(),(0 nnntxctxw则有则有 , d )21(21)(1212 lnntttxtixc l 是区域是区域 | t | 1 内任一正向闭曲线。内任一正向闭曲线。 作变换作变换uttxt 1)21

16、(212 lnntttxtixc d )21( 21)(1212 l1 是是 l 在上述变换下的象在上述变换下的象, 是含点是含点u x 的闭曲线。的闭曲线。 1 d)(2 1)( 2112lnnnuxuui 则则.1)(22 uxut ).(xpn 根据高阶导数公式根据高阶导数公式)(! 2)(d )(0)(10zfnizzzzfnln xunnnnnuunxc 1)(dd!21)(2得得因此因此, )(),(0 nnntxptxw母函数。母函数。即即 w (x,t) 为为legendre 多项式的多项式的legendre 多项式满足如下递推公式：多项式满足如下递推公式：4. legendr

17、e多项式多项式的递推公式的递推公式1. . 0;)( )( ) 12()( ) 1(11 xnpxpxnxpnnnn2. . 0;)( )( )( 1 xpxpxxpnnnn3. . . 0 )( )( )(11 xpxxpxnpnnn4. . . )( 1) (2 )( )( 11xpnxpxpnnn 由由212)21(),( txttxw 0 )(nnntxp两边对两边对 t 求偏求偏导数得导数得 11232 )()21 ( )(nnntxnptxttx. )()1()21( )()(0120 nnnnnntxpntxttxptx首先证明首先证明 1. . 0;)( )( ) 12()(

18、) 1(11 xnpxpxnxpnnnn两边同乘两边同乘)21(2txt 得得 01 )() 1(nnntxpn比较比较nt的系数得的系数得).()1()(2)()1()()(111xpnxnxpxpnxpxxpnnnnn 整理即得整理即得 1.下面证明下面证明 2. . 0;)( )( )( 1 xpxpxxpnnnn由由212)21(),( txttxw 0 )(nnntxp分别对分别对 x, t 求求偏导数得偏导数得 0232 )( )21( nnntxptxtt 11232 )()21( )(nnntxnptxttx于是于是. )( )( )(10 nnnnnntxnptxptx因为因为, 0)( 0 xp故故 0110 )( )( )( )(nnnnnnnnntxptxpxtxptx. )( )( )( 1111 nnnnnnnnntxnptxptxpx即即 2 成立。成立。下面证明下面证明 3. .