《数学模型》(第四版)第二章初等模型(2.3划艇比赛的成绩2.7核军备竞赛)

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.4 实物交换实物交换2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛核军备竞赛2.8 扬帆远航扬帆远航2.9 天气预报的评价天气预报的评价 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模

2、如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初初 等等 模模 型型2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000m成绩成绩 t (min)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重空艇重w0(kg) 桨手数桨手数n 16.3 13.6 18

3、.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人) 4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系种关系. 试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l /b, w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进

4、动力前进动力 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. . 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型. .模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比

5、符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 桨手数桨手数 n, 桨手功率桨手功率 p, 桨手体重桨手体重 w, 艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatl

6、oglog线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84O建立的m文件 JQ31.m 如下：n=1,2,4,8;t=7.21,6.88,6.32,5.84;x=log(n);y=log(t);a=polyfit(x,y,1)B=a(1)A=exp(a(2)注：注：在Matlab 中的线性最小二乘拟合，用的较多的是多项式拟合，其命令为：A=polyfit(x,y,m)， 其中得到拟合的m次多项式，1212121( ,),(,),( ,)nn

7、mxx xxyy yyAa aa1121( ).mmmmf xa xa xa xa划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度). 模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！巧合！)2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行实行“核威慑战略

8、核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级核军备竞赛不断升级. 随着前苏联的解体和冷战的结束随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了双方通过了一系列核裁军协议一系列核裁军协议. 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态而存在暂时的平衡状态. 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化平衡状态会发生什么变化. 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响这个数量受哪些因素影响.背背景景

9、与与问问题题以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧

10、毁这个基地的可能性是常数，它由一方的摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定攻击精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚导弹枚导弹,乙所需的最少导弹数乙所需的最少导弹数(乙安全线乙安全线)x=g(y)乙有乙有y枚导弹枚导弹,甲所需的最少导弹数甲所需的最少导弹数(甲安全线甲安全线)当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0 xyy0Oxyxfyy00)(y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数为毁灭甲方工业、交通中心等目标所

11、需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线分析分析模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击个基地未被攻击.xy甲方以甲方以 x枚导弹攻击乙方枚导弹攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个基地被攻击个基地被攻击2次次, s2(xy)个未被摧毁个未被摧毁

12、;y (xy)=2y x个被攻击个被攻击1次次, s(2y x )个未被摧毁个未被摧毁.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 x=a y,分析分析模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)利用微积分知识可知利用微积分知识可知y是一条上凸的曲线，且是一条上凸的曲线，且 y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡. s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平.xyOy0 xy, y= y0+(1s)xx=yx=2

13、yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.),(mmyxP（其他因素不变）（其他因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0不变不变x

14、减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近mmmmyyxx,xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(x , y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值双方威慑值x 0, y0和残存率和残存率s均减小均减小.y0减小减小 y下移且变平下移且变平xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP s变小变小 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.?PP模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)?PP 核核 军军 备备 竞竞 赛赛 对对“核威慑战略核威慑战略”做一些合理