七 轴向拉伸与压缩

1、第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩7.1 轴向拉伸与压缩的基本概念轴向拉伸与压缩的基本概念7.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力7.4 材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能7.5 失效、许用应力与强度条件失效、许用应力与强度条件7.6 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形7.7 简单拉简单拉压超静定问题压超静定问题7.2 轴向拉压杆横截面上的内力轴向拉压杆横截面上的内力7.1 轴向拉伸与压缩的基本概念轴向拉伸与压缩的基本概念一、工程实例一、工程实例二、概念二、概念1 1、计算简图：、计算简图：2 2 、轴向拉压的受力特点、轴向拉压的受力特点 作用作用于杆件上的外力或外

2、力合力的于杆件上的外力或外力合力的作用作用线线与杆件轴线重合。与杆件轴线重合。 3 3、轴向拉压的变形特点、轴向拉压的变形特点杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。FFmnmnF, 0ixF0 FFNFFNmnFNF说明：说明：1 1）轴向拉压杆横截面上的内力为）轴向拉压杆横截面上的内力为轴力轴力2 2）轴力的正负号规定：）轴力的正负号规定：受拉为正，受压为负受拉为正，受压为负3 3）在列静力学平衡方程时是根据力在坐标系中的方向来规定力）在列静力学平衡方程时是根据力在坐标系中的方向来规定力的符号；的符号；而材料力学而材料力学中则根据中则根据构件的变形来规定内力的构件的变

3、形来规定内力的符号。符号。NF7.2 轴向拉压杆横截面上的内力轴向拉压杆横截面上的内力 以轴力以轴力 FN 为纵坐标，截面位置为横坐标，杆件为纵坐标，截面位置为横坐标，杆件的轴力沿轴线方向的变化曲线的轴力沿轴线方向的变化曲线 轴力图轴力图32KN3KNA312215KNBC例例已知杆件的形状和受力如图所示，已知杆件的形状和受力如图所示，试绘出其轴力图。试绘出其轴力图。分析：分析：由图可知该杆受有三个外力，各外力作用于不同的横截由图可知该杆受有三个外力，各外力作用于不同的横截面。因此，为了求出各截面的轴力，必先分段求出面。因此，为了求出各截面的轴力，必先分段求出AB段段BC段段的轴力。的轴力。解

4、：解：（1）AB段：段：A2KNFN1沿沿1-1面将杆件截开，假设轴力为正面将杆件截开，假设轴力为正N12 = 0F2KNF N1得得由由0 xF（2）对）对BC段：段：A32KN312215KNBFN2设设2-2面将杆件截开，假设面将杆件截开，假设轴力为正轴力为正223KNCFN2N2250F=得得 3 KNF N2同样，取右半段也可同样，取右半段也可30F=N2KNF N23 由由0 xF由由0 xF32KN3KNA312215KNBC(3) (3) 作轴力图作轴力图思考：思考：3-3截面的轴力如何？截面的轴力如何？注：不论外力如何，轴力都画为正方向；注：不论外力如何，轴力都画为正方向；

5、若求出的轴力为负，说明是压力。若求出的轴力为负，说明是压力。xFN /KN23O几点说明：几点说明：(1)(1)不能在外力作用处截取截面。不能在外力作用处截取截面。(2)(2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。截面内力不一定等于其附近作用的外力。(4)(4)轴力不能完全描述杆的受力强度。轴力不能完全描述杆的受力强度。(3)(3)轴力与截面尺寸无关。轴力与截面尺寸无关。下面来看几道思考题：下面来看几道思考题：一、应力分析的基本方法一、应力分析的基本方法实验实验-假设假设 -理论分析理论分析二、拉压杆横截面上的应力二、拉压杆横截面上的应力1、实验、实验7.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力 一

6、、应力分析的基本方法一、应力分析的基本方法二、轴向拉压杆横截面上的应力二、轴向拉压杆横截面上的应力1 1、实验、实验2 2、假设、假设平面假设平面假设横截面变形后仍保持为平面，并与轴线垂直。横截面变形后仍保持为平面，并与轴线垂直。任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。实验实验-假设假设 -理论分析理论分析3 3、理论分析理论分析（1 1）几何分析）几何分析所有小元素体（小方所有小元素体（小方格）变形一样。格）变形一样。xx +ullxuxzwyvzy0（2 2）物理分析）物理分析根据物理学知识，当变形为弹根据物理学知识，当变形为弹性时，变形与力成正比性时，变形

7、与力成正比。各纤维变各纤维变形相同形相同各纤维所受各纤维所受内力相等内力相等横截面上横截面上的内力均的内力均匀分布匀分布横截面上的横截面上的应力均匀分应力均匀分布，且垂直布，且垂直于横截面于横截面结论：结论：横截面上只有横截面上只有 ，且，且 均匀分布。均匀分布。（1 1）几何分析）几何分析（2 2）物理分析）物理分析（3 3）静力学分析）静力学分析NdAFAANFA规定：拉应力为正规定：拉应力为正 ，压应力为负。，压应力为负。3 3、理论分析理论分析圣维南圣维南(Saint Venant)原理：原理： 作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一

8、个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有明显差别，在离开力系作用区域较远处，应力作用区域附近有明显差别，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。分布几乎相同。三、轴向拉压杆斜截面上的应力三、轴向拉压杆斜截面上的应力FNFFFFA斜截面的面积斜截面的面积p斜截面上的应力斜截面上的应力NFFAcos/AA coscosFFpAA将斜截面上的应力分解为将斜截面上的应力分解为：2coscosp1sinsin22pFF ApFF而：而：有：有：2cos1sin22轴向拉压杆斜截面上的应力：轴向拉压杆斜截面上的应力

9、：（1）0,)(0max0oo（2）.45o2/)(,2/max4545oo0,09090oo（3）讨论：讨论：.0o.90o7.4 材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能 研究材料力学性质的原因：量才使用。研究材料力学性质的原因：量才使用。一、什么是材料的力学性能？一、什么是材料的力学性能？材料在外力作用下表现出来的强度与变形方面的机械材料在外力作用下表现出来的强度与变形方面的机械性能，如：弹性、塑性、强度、刚度、稳定性等。性能，如：弹性、塑性、强度、刚度、稳定性等。（1 1）不同的材料，甚至同种材料的不同个体，也）不同的材料，甚至同种材料的不同个体，也 可能有不同的力学性

10、质。可能有不同的力学性质。（2 2）不同的构件对材料的力学性能的要求不同，如：）不同的构件对材料的力学性能的要求不同，如：机械上的轴、齿轮要求材料的刚度要好，因此要选用机械上的轴、齿轮要求材料的刚度要好，因此要选用一些优质合金钢；机器的底座主要承受压力，要求抗一些优质合金钢；机器的底座主要承受压力，要求抗压能力要好，因此常选用铸铁。压能力要好，因此常选用铸铁。二、研究材料的力学性质的方法二、研究材料的力学性质的方法实验中，材料的力学性质受很多因素影响：实验中，材料的力学性质受很多因素影响：a. a. 受力方式：拉、压、弯、扭、剪等受力方式：拉、压、弯、扭、剪等。b. b. 受力性质：静载荷、动

11、载荷等受力性质：静载荷、动载荷等c. c. 受力状态：单向、二向、三向受力等。受力状态：单向、二向、三向受力等。d. d. 受力环境：常温、低温、高温等。受力环境：常温、低温、高温等。 本节研究轴向拉压构件在本节研究轴向拉压构件在常温常温、常压常压、静载荷静载荷作用下作用下 的力学性质。的力学性质。实验分析实验分析三、材料的拉伸实验三、材料的拉伸实验 应力应变曲线应力应变曲线、试件试件圆形截面圆形截面任意形状截面任意形状截面l 试件的工作段长度，称为试件的工作段长度，称为标距标距。A 试件试件截面积截面积。dl10dl5Al3 .11Al65. 5为推荐尺寸为推荐尺寸为材料尺寸不足时使用为材料

12、尺寸不足时使用万能试验机万能试验机电子试验机电子试验机通过该实验可以绘出通过该实验可以绘出载荷载荷变形变形图和图和应力应力应变应变图。图。 、试验设备试验设备液压式万能试验机液压式万能试验机底座底座活动试台活动试台活塞活塞油管油管、低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能1.1. 试验过程：试验过程：拉伸图：拉伸图：应力应变曲线：应力应变曲线：FAlllFoFl 图o 图Oab变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复；变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复；Oa段段 直线段，应力应变成线性关系直线段，应力应变成线性关系EE 材料的弹性模量材料的弹性模量(直线段的斜率直线段的斜率)胡克定律胡克定律P

13、直线段的最大应力，称为直线段的最大应力，称为比例极限比例极限；e 弹性阶段的最大应力，称为弹性阶段的最大应力，称为弹性极限弹性极限。一般情况下材料的比例极限与弹性极限很相近，近似认为：一般情况下材料的比例极限与弹性极限很相近，近似认为：pe2. 2. 低碳钢拉伸的四个阶段：低碳钢拉伸的四个阶段：（1）弹性阶段（）弹性阶段（oab段）段）ePOabc（2）屈服阶段（）屈服阶段（bc段）段）屈服阶段的特点：屈服阶段的特点：s 屈服阶段应力的最小值称为屈服阶段应力的最小值称为屈服极限屈服极限；重要现象：重要现象：在试件表面出现与轴线成在试件表面出现与轴线成45的滑移线。的滑移线。屈服极限屈服极限 是

14、衡量材料强度的重要指标；是衡量材料强度的重要指标；240MPas应力变化很小，应力变化很小，变形增加很快，变形增加很快，卸载后变形不能完全恢复卸载后变形不能完全恢复(塑性变形塑性变形)。s（3）强化阶段（）强化阶段（cd段）段）特点：特点：要继续增加变形，须增加拉力，要继续增加变形，须增加拉力，材料恢复了抵抗变形的能力。材料恢复了抵抗变形的能力。b 强化阶段应力的最大值，强化阶段应力的最大值， 称为强度极限；称为强度极限；是衡量材料强度另一重要指标是衡量材料强度另一重要指标。低碳钢：低碳钢：380 470MPab卸载定律卸载定律在强化阶段某一点在强化阶段某一点 k 卸载，卸载过程应力应变曲线为

15、一斜直线，卸载，卸载过程应力应变曲线为一斜直线，直线的斜率与比例阶段基本相同。直线的斜率与比例阶段基本相同。冷作硬化现象冷作硬化现象在强化阶段某一点在强化阶段某一点 k 卸载后，短时间内再加载，其比例极限提卸载后，短时间内再加载，其比例极限提高，而塑性变形降低。高，而塑性变形降低。OabcdepkkgbhOabcde（4）局部变形阶段（）局部变形阶段（de段）段）低碳钢拉伸的四个阶段：低碳钢拉伸的四个阶段：（1）弹性阶段（）弹性阶段（oab段）段）（2）屈服阶段（）屈服阶段（bc段）段）（3）强化阶段（）强化阶段（cd段）段）（4）局部变形阶段（）局部变形阶段（de段）段）OabcdkePes

16、b3.3. 低碳钢的强度指标与塑性指标：低碳钢的强度指标与塑性指标：(1)强度指标：强度指标：s 屈服极限屈服极限；b 强度极限强度极限；(2)塑性指标：塑性指标：%1001lll是衡量材料是衡量材料塑性的塑性的重要指标；重要指标；%5%5%30%20%1001AAA 称为称为断面收缩率断面收缩率；伸长率或延伸率伸长率或延伸率；断面收缩率断面收缩率。4 4、其它塑性材料拉伸时的力学性能其它塑性材料拉伸时的力学性能%2 . 0o图30铬锰钢铬锰钢50钢钢A3钢钢硬铝硬铝青铜青铜0.2名义屈服极限名义屈服极限对于对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，

17、通常规定以产生产生 0.2的的塑性应变塑性应变所对应的应力作为屈服极限，所对应的应力作为屈服极限，称之为名义称之为名义屈服极限，屈服极限，用用 0.2来来表示。表示。名义屈服极限：名义屈服极限：oEE、铸铁拉伸时的力学性能、铸铁拉伸时的力学性能没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有屈服和没有屈服和颈缩现象；拉断前应变很小，伸长率很小；颈缩现象；拉断前应变很小，伸长率很小；强度极限强度极限 是衡量强度的唯一指标。是衡量强度的唯一指标。bbo图四、材料压缩时的力学性能四、材料压缩时的力学性能常温、静载常温、静载 试件和实验条件试件和实验条件、低碳钢压缩时的、低

18、碳钢压缩时的-曲线曲线拉伸拉伸压缩压缩Ps压缩压缩、铸铁压缩时的力学性能、铸铁压缩时的力学性能脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。拉伸拉伸讨论：因材施用讨论：因材施用 1、由于低碳钢等塑性材料抗拉性能及塑性好，且耐、由于低碳钢等塑性材料抗拉性能及塑性好，且耐冲击冲击,故可做机器中许多零部件。特别是受拉构件。故可做机器中许多零部件。特别是受拉构件。 2、合金钢性能好可做主轴、齿轮轴承、弹簧等零件，、合金钢性能好可做主轴、齿轮轴承、弹簧等零件，但价格较贵。但价格较贵。 3、铸铁等脆性材料抗压性能优于抗拉性能，可做、铸铁等脆性材料抗压性能优于抗拉性能，可做

19、机器底座、齿轮箱等受压部件。机器底座、齿轮箱等受压部件。7.5 失效、许用应力和强度条件失效、许用应力和强度条件1、失效的形式：、失效的形式：b会引起断裂会引起断裂s将产生屈服或显著塑性变形将产生屈服或显著塑性变形断裂断裂和和屈服屈服是构件失效的两种形式是构件失效的两种形式通常将通常将强度极限强度极限与与屈服极限屈服极限称称为为极限应力。极限应力。2、极限应力、极限应力 u脆性材料：脆性材料：塑性材料：塑性材料：ub=us=3、工作应力、工作应力 根据分析计算所得构件之应力，称为根据分析计算所得构件之应力，称为工作应力。工作应力。 在理想的情况下，为了充分利用材料的强度，可使构件在理想的情况下

20、，为了充分利用材料的强度，可使构件的工作应力接近于材料的极限应力，但实际上需留一定的余的工作应力接近于材料的极限应力，但实际上需留一定的余量：量： 1）可能存在构件外力估计不准确、材料性质不均匀）可能存在构件外力估计不准确、材料性质不均匀(杂杂质、气泡质、气泡)等情况；等情况；2）构件需要适当的强度储备；）构件需要适当的强度储备；二、许用应力二、许用应力1.5 2.2 2.5 5.0sssubbbnnnnn塑性材料脆性材料其中其中为许用应力。为许用应力。 为了保证构件能安全地工作，须为了保证构件能安全地工作，须将其工作应力限制在比极限应力更低将其工作应力限制在比极限应力更低的范围内，即将极限应

21、力除以一个大的范围内，即将极限应力除以一个大于于1 1的安全系数的安全系数 n , ,作为构件工作应作为构件工作应力所不允许超过的数值。这个应力值力所不允许超过的数值。这个应力值称为称为材料的许用应力。材料的许用应力。 un其中：s为塑性材料的屈服极限，b为脆性材料的强度极限， ns、nb分别为塑脆性材料的安全系数， ns、nb 1.三、强度条件三、强度条件 为了保证构件在工作时不致因强度不够而破坏，构为了保证构件在工作时不致因强度不够而破坏，构件内的最大工作应力不得超过材料的许用应力，即件内的最大工作应力不得超过材料的许用应力，即 max强度条件强度条件例如，对于例如，对于等截面拉压杆等截面

22、拉压杆，其强度条件为：，其强度条件为： =maxmaxAFN轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆的强度计算一、强度条件一、强度条件二、强度计算的三类问题二、强度计算的三类问题1、校核杆的强度、校核杆的强度2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3、确定许可载荷、确定许可载荷 )(maxmaxAFN max,NFA =maxmaxAFN等截面直杆的强度条件等截面直杆的强度条件 AFNkN30kN65kN45kN50ABCD1A1A2A452030解：解：（1）计算内力（轴力），）计算内力（轴力），（2）校核强度）校核强度故此杆满足强度要求，故此杆满足强度要求， 安全。安全。例：例：已知已知=160MPa，A1=

23、300mm2 ， A2=140mm2试校核该杆的强度。试校核该杆的强度。36145 10150MPa300 10ABABFA36220 10143MPa140 10BCBCFA （分段校核）（分段校核）作作轴力图。轴力图。xFN/ KNO例：例：图示结构，图示结构，ABCD为刚体，受力及尺寸如图。为刚体，受力及尺寸如图。各杆均由四根相同的等边角钢组成：各杆均由四根相同的等边角钢组成：杆杆1的四根角钢型号：的四根角钢型号：.mm2 5253杆杆2的四根角钢型号：的四根角钢型号：.mm4 040 5杆杆3的四根角钢型号：的四根角钢型号：.mm4 040 5 MPa100, 试校核该结构的强度。试校

24、核该结构的强度。解：解：（1）先求各杆的轴力（截面法）先求各杆的轴力（截面法）mm, 0ixF010045cos3NF123100kNA1m2mBCDHK400kN1m1mkN4 .1413NF, 0KM03100140021NFkN501NF, 0CM01100140022NFkN2502NF123100kNA1m2mBCD400kN1NF2NF3NFxy解得：解得：（2）计算各杆的应力，并与）计算各杆的应力，并与比较比较由型钢表查得：由型钢表查得：21mm2 .1434A232mm1 .3794 AAMPa3 .87Pa103 .87102 .14341050663111AFNMPa7 .

25、164Pa107 .164101 .379410250663222AFN MPa2 .93Pa102 .93101 .3794103 .141663333AFN综合上述情况：综合上述情况：该结构强度不够。该结构强度不够。123100kNA1m2mBCDHK400kN1m1m（3）改进设计）改进设计若将杆若将杆2改用等边角钢的型号：改用等边角钢的型号：.mm6 3 63 6杆杆2截面积：截面积：22mm8 .7284A326262250 1085.8 10 Pa85.8MPa4728.8 10NFA 整个结构满足强度要求。整个结构满足强度要求。例：例：图示结构。钢杆图示结构。钢杆1为圆形截面，直

26、径为圆形截面，直径 d=16mm， 1=150MPa ；木杆；木杆2为正方形截面，面积为为正方形截面，面积为 100100 mm2 ，2=4.5MPa ；尺寸如图。求节点；尺寸如图。求节点 B 处所能起吊处所能起吊的最大载荷的最大载荷P。解：解：（1）求两杆的轴力（用）求两杆的轴力（用 P 表示）表示）用截面用截面 m-m 截开结构，取一部分研究。截开结构，取一部分研究。由平衡条件，有由平衡条件，有 , 0ixF0cos12NNFF , 0iyF0sin2PFNPFN75. 01PFN25. 12（2）求许用载荷）求许用载荷 Pmax对杆对杆1： 111AFN 11175. 0AP 75. 0

27、4175. 012111dAP2661 1610150 104=0.75N102 .403kN2 .40PABC2m121.5mPBmm1NF2NFxy5 . 2/2sin5 . 2/5 . 1cos解得：解得：对杆对杆2： 222AFN 22225. 1AP 25. 1222AP 25. 1105 . 410100100663= 36 10 N = 36 kN比较比较P1、P2的大小，应取许可最大载荷为：的大小，应取许可最大载荷为：max2P= P = 36kNPABC2m121.5mPB1NF2NFxy对杆对杆1：1. kNP 40 245lADBCFhFAyFAxFx解解:0AM由由co

28、shxFFN得得:cosmax,hlFFN显然当显然当 时，轴力时，轴力 最大，最大，lx NFNF设斜撑杆的轴力为设斜撑杆的轴力为载荷载荷 的位置用坐标的位置用坐标 表示表示FxNF例例根据强度条件，斜撑杆所需最小横截面积为根据强度条件，斜撑杆所需最小横截面积为 cosmax,hFlFAN斜撑杆的体积斜撑杆的体积 2sin2sincosFlhhFlAlVBD可见，要使体积最小，可见，要使体积最小，即即12sin 45得得:如图所示结构，如图所示结构，AC为刚性梁，为刚性梁，BD为斜撑杆，载荷为斜撑杆，载荷F可沿梁可沿梁AC水平移水平移动。已知梁长为动。已知梁长为 ,节点节点A和和D间的距离为

29、间的距离为h。为使斜撑杆的用料最省，。为使斜撑杆的用料最省，斜撑杆与梁之间的夹角应取何值？斜撑杆与梁之间的夹角应取何值？l7.6 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形研究轴向拉压变形的目的研究轴向拉压变形的目的1 1、分析轴向拉压刚度问题、分析轴向拉压刚度问题2 2、求解轴向拉、求解轴向拉压超静定问题压超静定问题胡克定律胡克定律研究轴向拉压变形的基础研究轴向拉压变形的基础FFbll1b1拉、压杆件的变形拉、压杆件的变形纵向变形纵向变形横向变形横向变形一、纵向变形、胡克定律一、纵向变形、胡克定律纵向变形纵向变形lll1轴向应变轴向应变横截面应力横截面应力llAFAFN由材料的拉伸试验，在弹性阶段有：

30、由材料的拉伸试验，在弹性阶段有：E胡克定律胡克定律 变形和载荷表示的胡克定律变形和载荷表示的胡克定律说明：说明：当应力低于比例极限时，杆件的伸长当应力低于比例极限时，杆件的伸长 l 与拉力与拉力 F 和杆原长和杆原长 l 成正比，成正比，与横截面积与横截面积 A 和弹性模量和弹性模量 E 成反比成反比。EA 抗拉刚度抗拉刚度ll ElEEAlFNEAFlNF lFllEAEA 横向变形：横向变形：bbb1横向应变：横向应变：bbbbb1横向应变与纵向应变的关系：横向应变与纵向应变的关系： 称为泊松比（横向变形因数）称为泊松比（横向变形因数） 和和 E ，是材料的两个弹性常数，由实验测定。，是材

31、料的两个弹性常数，由实验测定。是一个无量纲量。是一个无量纲量。实验结果表明，在弹性范围内有实验结果表明，在弹性范围内有 (和和 的的符符号号总总是是相相反反) )二、横向变形与泊松比二、横向变形与泊松比 碳钢：碳钢： 0.24-0.28 ， 铸铁：铸铁： 0.23-0.27 =常数常数注：注：FFbll1b1图示杆，图示杆，1段为直径段为直径 d1=20mm的圆杆，的圆杆，2段为边长段为边长a=25mm的方杆，的方杆，3段为直径段为直径d3=12mm的圆杆。已知的圆杆。已知2段杆内的应力段杆内的应力2= 30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长，求整个杆的伸长l解解:222 A = 30

32、25 =18.75kNNNNF lF lF lEAEAEA1 12 23 31230.272mm 例：例：321llllP2292187500.20.40.20.020.012210 100.02544题3三、桁架节点的位移求法三、桁架节点的位移求法“以切代弧以切代弧”1111NLLAA=1 m mEA 1A41111NLLAA=1 m mEA 1例例解：解： 图示托架，由横梁图示托架，由横梁AB与斜撑杆与斜撑杆CD所组成，并承受载荷所组成，并承受载荷F1和和F2作用。作用。试求梁试求梁A点的铅垂位移。点的铅垂位移。已知：已知： F1=5KN，F2=10KN，L=1m，斜撑杆，斜撑杆CD弹性模

33、量弹性模量E=70GPa，横截面积横截面积A=440mm2.横梁视为刚体。横梁视为刚体。F2F1BxFByFNF30LL1、计算杆的轴向变形、计算杆的轴向变形设斜撑杆所受压力为设斜撑杆所受压力为NF0BM122sin300NFLF LF L 得：得：)(N100 . 45 . 0N1010N)105(230sin243321压缩FFFNLABCF160F2LCD由胡克定律由胡克定律,得斜撑杆的轴向变形得斜撑杆的轴向变形4962(4.0 10 N)(1.0m)cos30(70 10 Pa)(440 10 m )cos300.0015m()NF LlEA 缩短2、计算、计算A点的铅垂位移点的铅垂位

34、移_22cos602 (0.0015m)0.006m6.0mm0.5LAAACCLABCF160F2LC60CCCLD图示结构，抗拉刚度均为图示结构，抗拉刚度均为EA，1杆长为杆长为l, 当节点当节点B 处处受外力受外力F 作用时，节点作用时，节点B 的垂直位移和水平位移分别的垂直位移和水平位移分别为为:. , sinFlAEA0. , FlBEA0. , sinFlFlCEAEA. , cotFlFlDEAEAACB12B1lB例例F7.7 简单拉简单拉压超静定问题压超静定问题一、两类问题一、两类问题 静定问题：静定问题：对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的内

35、力（轴力）均可由静力学的平衡方程求出，这类内力（轴力）均可由静力学的平衡方程求出，这类问题称为静定问题。问题称为静定问题。 一、两类问题一、两类问题 静定问题：静定问题：对于杆或杆系结构，其约束反力或杆对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的内力均可由静力学的平衡方程求出，这类问题的内力均可由静力学的平衡方程求出，这类问题称为静定问题。称为静定问题。 超静定问题：超静定问题：对于杆或杆系结构，其约束反力或对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的内力仅用静力学的平衡方程不能够求出，这杆的内力仅用静力学的平衡方程不能够求出，这类问题称为超静定问题。类问题称为超静定问题。 超静定问题超静定问题l 超静定次数超静

36、定次数：在超静定结构中，未知力（杆的：在超静定结构中，未知力（杆的内力或约束反力）的个数多于平衡方程的数目，内力或约束反力）的个数多于平衡方程的数目，两者的差值称为超静定次数。两者的差值称为超静定次数。l 多余约束多余约束：对于结构的平衡来说，某些杆件或：对于结构的平衡来说，某些杆件或约束是多余的，称之为多余约束；相应于多余约束是多余的，称之为多余约束；相应于多余约束的未知力称为约束的未知力称为多余约束反力多余约束反力。注：多余约束的个数注：多余约束的个数 超静定超静定次数。次数。二、超静定问题的解法二、超静定问题的解法 超静定系统的变形是系统的，而不是单个的某一超静定系统的变形是系统的，而不

37、是单个的某一个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的变形应该是统一的，协调的。的各个构件的变形应该是统一的，协调的。 由协调的变形条件可列出补充方程，谓之由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协变形协 调条件。调条件。（建立补充方程）（建立补充方程）找出变形协调条件、建立补充方程是找出变形协调条件、建立补充方程是解决超静定解决超静定问题的关键问题的关键.求解步骤：求解步骤：1.判定超静定次数判定超静定次数2.列静力学平衡方程（画出列静力学平衡方程（画出受力图受力图）3.列变形协调条件（画出列变形协调条件（画出位移变形图位移变形图）4.列

38、物理条件（力与变形的关系，即胡克定律）列物理条件（力与变形的关系，即胡克定律）5.建立补充方程建立补充方程6.将平衡方程与补充方程联立，求解未知量（未将平衡方程与补充方程联立，求解未知量（未知反力或内力）知反力或内力）例例FAFN1FN3FN2图示结构中三杆抗拉刚度均为图示结构中三杆抗拉刚度均为 EA，在外载荷，在外载荷 F 作用下作用下求三杆轴力？求三杆轴力？lFABCD123解：解：1、列静力平衡方程、列静力平衡方程 取节点取节点A为研究对象，各杆对为研究对象，各杆对A的作用力的作用力用各自的内力代替。用各自的内力代替。N2sin-sin0FF=N10 xFN2N3cos+cos0FFFF

39、 =N10yF 可得：可得：N22cosFFFFFN1N1N3（1）（2）lABCD1232、建立变形协调条件、建立变形协调条件A1l2l3l13cosll 由变形几何关系可得：由变形几何关系可得：3、列物理关系、列物理关系13cosF lF lllEAEA N3N14、建立补充方程、建立补充方程（3）（4）（5）将（将（4 4）式代入（）式代入（3 3）式，可得：）式，可得：2cosFFN1N35、求解、求解联立平衡方程（联立平衡方程（1 1）、（）、（2 2）和补充方程（）和补充方程（5 5），解得：），解得：233coscoscosFFFFFN1N2N31+21+2例例图示桁架为几图示桁架为几次超静定结构次超静定结构？静力平衡方程和变形协调？静力平衡方程和变形协调方程是什么？方程是什么？FAFBCD12330AFN1FN3FN230BD12330A1l2l3l123tan30sin30lll N2cos300FF=N10 xFN2N3sin300FFF =0yF A图示的杆件由两部分组成，在分界处受图示的杆件由两部分组成，在分界处受到到 P 的作用。求的作用。求A、B处的约束反力。处的约束反力。l1l2