概率第五章第二节教案版式

1、第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、列维林德伯格中心极限定理 二、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 本节将介绍概率论中最重要的极限定理中心极限定理.它告诉我们,在某些条件下即使原来并不服从正态分布的一些相互独立的随机变量,当变量个数无限增加时,它们和的分布却是渐近正态分布的. 一、列维林德伯格中心极限定理定理5.3(列维林德伯格中心极限定理) 设 12,.,.nXXX是独立同分布的随机变量序 列,并且存在 iEX, 20iDX(1,2,.)i , 则对于一切 x,有 该定理也称为独立同分布中心极限定理,证明超出本书范围,略.2121lim ( )2ntixinXnPxedtxn (5.6) 若

2、令 1niinXnYn,(5.6)式可以改写 lim( )( )nYnFxx . 为 定理实际上揭示了 nY依依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量这一规律.也就是说,当 n充分大时, n个独立同分布的随机变量之和渐近服从正态分布.注意到 1niiX标准化后 nY恰好是 ,因而上述们提供了一种近似计算有关 1niiX的概率的有效方法,即只要和式中加项的个数充分大,就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布,其和均可用正态分布近似.定理5.3既从理论上解决了什么样的随机变量是近似服从正态分布的问题,又为我例例 5.6 5.6 设 12100,.,XXX相互独立,并且都服从参数为 1的泊松分布,试

3、用定理 5.3计算 1001120iiPX的近似值. 1iEX21iDX(1,2,.,100)i , , . 又由于 100n 充分大,所以符合定理5.3的条 件.于是 10010011100120 100120(2)0.97725100100iiiiXPXP . 解 由 (1)iXP知 例 5.7 假设一个螺丝钉重量是一个随机变量,期望值是50克,标准差是5克,求一盒 (100个)同型号螺丝钉的重量超过5100克的概率. 解 设 X和 iX (1,2,.,100)i 分别表示一盒(100个)螺丝钉的重量和盒内第 i个螺丝钉的重量,则 1001iiXX.显然, 12100,.,XXX独 立同分

4、布,并且 50iEX , 25iDX .又由于 100n 充分大,所以符合定理5.3的条件.于是 500051005000510025002500XP XP5000250XP1(2) 0.02275. 例 5.8 对敌人阵地进行100次射击,在每次射击中,命中的炮弹数的数学期望为4,均 方差为1.5，求有380发到420发炮弹命中目标 的概率. 解 设 X和 iX(1,2,.,100)i , 分别表示100次射击中命中的炮弹数和第 i次射击中命中的炮弹数,则 1001iiXX.显然, 12100,.,XXX是独立同分布的,并且 4iEX , 1.5iDX (1,2,.,100)i .又由于 1

5、00n 充分大, 所以 符合定理5.3的条件.于是380400400420400380420225225225XPXP440043153XP42( ) 13 2 0.9082 10.8164结果表明,服从同一分布这一条件完全可以减弱,只要 12,.,.nXXX相互独立,并且存 在有限数学期望与方差,再满足一定条件,就 能得到 1niiX渐近服从正态分布. 定理5.3的条件较强,它要求 12,.,.nXXX相互独立且服从同一分布,近代数学的研究定理定理5.4 (李雅普诺夫中心极限定理) 设随机变量 12,.,.nXXX相互独立,并且存 在 iiEX, 20iiDX(1,2,.)i ,记 221n

6、nii,若存在 0,使得当 n 时,有 2211|0niiinE X,记随机变量 11nniiiinnXY的分布函数为 ( )nYFx, 则对于任意的 (,)x ,有 lim( )limnYnnnFxP Yx11limnniiiinnXPx2212txedt. (5.7) 证明超出本书范围,略.可以把描述这一现象的随机变量看成是近似服从正态分布的.由于在自然界中这种现象很普遍,如测量的误差、学该定理表明,若一个随机现象是由众多相互独立的随机因素引起的,而每个因素在整个变化过程中均不起显著作用,就生的成绩、射击的弹着点等,所以有相当一批随机变量近似服从正态分布,因而正态分布成为概率统计中最重要的

7、分布.定理定理5.5 (棣莫弗拉普拉斯中心极限定理) 设 ( , )XB n p,令 nXEXXnpYDXnpq,记 nY的分布函数为 ( )nYFx,对任意 (,)x ,有 (5.8)221lim( )lim ( )2ntxYnnXnpFxPxedtxnpq . 由二项分布和01分布的关系知,上述定理就是定理5.3的直接推论.它表明,原本服从二项分布的 X标准化后的随机变量序列 nY依 分布收敛于服从标准正态分布的随机变量,也就是说 渐近服从正态分布 X(,)N np npq,这 为有关二项分布的概率计算提供了新方法.下面给出两个常用的近似计算公式.(1) 2()211()2k npnpqk

8、npP Xkenpqnpqnpq(2) ()()bnpanpP aXbnpqnpq (5.9) (5.10) （5.9）式和（5.10）式分别叫作局部极限定理和积分极限定理.设 ( , )XB n p则当 n充分大时,有 例例5.9 5.9 设每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求500发炮弹中命中5发的概率.解解 设 X表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数,则由题设知 (500,0.01)XB, 500n 22(5 5)2 2.21150.181322.222.2P Xe. 5np , 2.2npq .由(5.9)式,有 充分大, 例5.10 已知大豆的虫食率为0.10,求在1000粒大豆中,虫

9、食豆在100粒至200粒之间概率.解解 设 X为1000粒大豆中虫食豆的粒数，则由题设知 (1000,0.1)XB, 1000n 充分大, 100np , 9.49npq ,由(5.10)式,有200 100100 100100200()()9.499.49PX (10.54)(0) 1 0.5 0.5. 例例5.115.11 试用定理5.5确定：当掷一枚均匀匀硬币时,需要掷多少次,才能保证出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%？ 解解 设需要掷 n次,其中正面出现的次数为 X,则 ,并且 ( ,0.5)XB n, 0.5npn0.5npqn,由(5.10)式,有 0.40.60

10、.40.6 XPPnXnn0.60.5040.5()()0.50.5nnnnnn ()()55nn 2() 15n . 令 2() 10.95n ,即 ()0.955n. 查表得 1.655n,即 68n . 作为本章的结尾,我们有必要说明以下两个问题： (1) 上面我们讨论的大数定律和中心极限定理的相同之处是：它们都是在考虑大量随机变量之和的极限行为;不同之处是：大数定律研究的是随机变量序列 nX依概率收敛的极限定理,而中心极限定理研究的是随机变 量序列 nX依分布收敛的极限定理.(2) 前面我们介绍过用泊松分布来逼近二项分布,它与现在讲的正态分布逼近用法上有什么区别？换言之,在什么情况下用

11、泊松分布逼近好？相反在什么情况下用正态分 布逼近好？当二项分布 的 ( ,)B n pp既不接近于0也不接近于1,而 又比较大时(此时 nnp较大)用正态分布逼近效果好；当 p很小 (若 p很大,作为对立事件来处理), n较大 ( 5np )时,用泊松分布代替二项分布比较 准确. 例5.12 某工厂有400台同类机器,各机器发生故障的概率都是0.02,假设各台机器工作是相互独立的，试分别用二项分布以及用泊松分布近似和用正态分布近似计算机器出故障的台数不小于2的概率. (1)二项分布 212P XP X 101P XP X 004001139940040010.02 0.980.02 0.98CC 0.9972. 解解 设 X表示出故障的