模糊数学chapter4

1、1模糊决策模糊决策2模糊决策模糊决策l决策是为解决当前或未来可能发生的问题，决策是为解决当前或未来可能发生的问题，选择最佳方案的过程。选择最佳方案的过程。l模糊决策的目的是把论域中的对象按优劣模糊决策的目的是把论域中的对象按优劣排序，从而选择最优的对象，或排序，从而选择最优的对象，或“令人满令人满意意”的对象。的对象。l决策目标很难确切描述。决策目标很难确切描述。l模糊决策的本质是对模糊集中元素排序。模糊决策的本质是对模糊集中元素排序。3本章内容本章内容l模糊意见集中模糊意见集中l模糊二元对比模糊二元对比l模糊综合评判模糊综合评判4一、一、 模糊意见集中决策模糊意见集中决策5一、模糊意见集中决

2、策一、模糊意见集中决策l对集合对集合Uu1,u2,un中的元素进行排中的元素进行排序，可由专家小组序，可由专家小组M分别对分别对U中的元素排中的元素排序，则得到序，则得到m种意见：种意见： V=v1,v2,vm l将这将这m种意见集中为一个比较合理的意见，种意见集中为一个比较合理的意见，称之为称之为“模糊意见集中决策模糊意见集中决策”。l例如：评选先进工作者、评选获奖项目等，例如：评选先进工作者、评选获奖项目等，传统的集体表决、领导裁决等办法都有不传统的集体表决、领导裁决等办法都有不合理之处。合理之处。6模糊意见集中决策方法模糊意见集中决策方法l设论域设论域Uu1,u2,un中的元素进行排序，

3、中的元素进行排序，可由专家小组可由专家小组m人发表人发表m种意见：种意见： V=v1,v2,vm Vi是第是第i种意见序列，即种意见序列，即U中元素的某一个排序。中元素的某一个排序。令令uU，Bi(u)表示表示Vi中排在第中排在第u之后的元素个之后的元素个数，称数，称 为为u的的Borda数。按数。按Borda数的大小排序是比数的大小排序是比较合理的意见。较合理的意见。1()()miiB uBu7模糊意见集中决策例模糊意见集中决策例l设设Ua,b,c,d,e,f,|M|=m=4人，人，v1:a,c,d,b,e,f; v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f; v4:c,a,b

4、,d,e,f;B1(a)=6-1=5; B2(a)=2,.B(a)=5+2+5+4=16;类似的，类似的，B(b)=13; B(c)=15; B(d)=6; B(e)=9; B(f)=1;按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：a,c,b,e,d,f.8模糊意见集中决策模糊意见集中决策l有时出现与人们的直觉不吻合的情况，这时有时出现与人们的直觉不吻合的情况，这时可按可按加权加权Borda数数排序。排序。l例如：运动员五项全能比赛例如：运动员五项全能比赛(p171)。9二、二、 模糊二元对比决策模糊二元对比决策10模糊二元对比决策思想模糊二元对比决策思想l先对两个对象进行比较，然后再换

5、两个比先对两个对象进行比较，然后再换两个比较，如此重复多次，每作一次比较得到一较，如此重复多次，每作一次比较得到一个比另一个优越的认识，并将这种模糊认个比另一个优越的认识，并将这种模糊认识数量化，最后用模糊数学方法给出总体识数量化，最后用模糊数学方法给出总体排序，这就是模糊二元对比决策。排序，这就是模糊二元对比决策。(1)模糊优先关系排序决策模糊优先关系排序决策(2)模糊相似优先比决策模糊相似优先比决策(3)模糊相对比较决策模糊相对比较决策11(1)模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想l设论域设论域Ux1,x2,xn为为n个备选方案，个备选方案，在在U上确定一个模糊集上确定一个模糊

6、集A，运用模糊数学，运用模糊数学方法在方法在n个备选方案中建立一种模糊优先个备选方案中建立一种模糊优先关系，然后将它们排出一个优劣次序，这关系，然后将它们排出一个优劣次序，这就是模糊优先关系排序决策。就是模糊优先关系排序决策。12模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想lrij表示表示xi与与xj相比较时相比较时xi对于对于A比比xj对于对于A优越的优越的程度，或称程度，或称xi对对xj的的优先选择比优先选择比。l要求要求rij满足下面的（满足下面的（1）式：）式： rii0, 0rij 1 (ij) rij+ rji=113模糊优先关系排序决策思想模糊优先关系排序决策思想l由由rij

7、构成的矩阵构成的矩阵R=(rij)nXn 为模糊优先矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系，其截矩阵用为模糊优先关系，其截矩阵用R表示。表示。l当当由由1逐渐下降时，若首次出现逐渐下降时，若首次出现R的第的第i1行元素除了对角线外全等于行元素除了对角线外全等于1，则认定，则认定xi1是第一优越对象；再在是第一优越对象；再在R中划去其所在的中划去其所在的行列，得到行列，得到n-1阶模糊矩阵，用同样的办阶模糊矩阵，用同样的办法得到第二优越对象，以此类推。法得到第二优越对象，以此类推。14模糊优先关系排序决策例模糊优先关系排序决策例l例：已知例：已知“子女像父亲

8、子女像父亲”模糊优先矩阵为：模糊优先矩阵为：l写出模糊优先关系排序写出模糊优先关系排序(p173)0 0.9 0.20.1 0 0.70.8 0.3 0R15建立模糊优先关系矩阵建立模糊优先关系矩阵l例例2：评选先进工作者（：评选先进工作者（p175）16建立模糊集的隶属函数方法建立模糊集的隶属函数方法l有限论域上，通过模糊优先关系矩阵，有限论域上，通过模糊优先关系矩阵，建立模糊集的隶属函数。建立模糊集的隶属函数。l方法方法1：最小法：最小法1212( ),1,2,.,()( )().iijj innA xr inA xA xA xAxxx 17建立模糊集的隶属函数方法建立模糊集的隶属函数方法

9、l方法方法2：平均法：平均法l方法方法3：加权平均法：加权平均法其中其中 是一组权重是一组权重11( ),1,2,.,niijjA xr inn1( ),1,2,.,nij ijjA xr in12(,.,)n 18模糊二元对比决策模糊二元对比决策(1)模糊优先关系排序决策模糊优先关系排序决策(2)模糊相似优先比决策模糊相似优先比决策(3)模糊相对比较决策模糊相对比较决策19(2)模糊相似优先比决策模糊相似优先比决策l先利用先利用二元相对比较级二元相对比较级定义一个定义一个模糊模糊相似优先比相似优先比rij，从而建立模糊优先比，从而建立模糊优先比矩阵，然后通过矩阵，然后通过 截矩阵来对所有截矩

10、阵来对所有的备选方案进行排序。的备选方案进行排序。20模糊相似优先比决策定义模糊相似优先比决策定义l定义定义1：设论域：设论域Ux1,x2,xn，对于给定的一，对于给定的一对元素对元素(xi,xj),若存在数对若存在数对(fj(xi),fi(xj)满足满足 0fj(xi) 1, 0fi(xj) 1使得在使得在xi与与xj的比较中，如果的比较中，如果xi具有某种特具有某种特性的程度为性的程度为fj(xi) ， xj具有某种特性的程度具有某种特性的程度为为fi(xj)，这时称，这时称(fj(xi),fi(xj)为为xi与与xj对该特对该特性的二元相对比较级，简称性的二元相对比较级，简称二元比较级二

11、元比较级。当当i=j时，令时，令fi(xi) 1。21二元相对比较矩阵二元相对比较矩阵l称模糊矩阵称模糊矩阵为二元相对比较矩阵。为二元相对比较矩阵。2131n11232n21n2n3n1 f (x ) f (x ) . f (x )f (x ) 1 f (x ) . f (x ). . . . . f (x ) f (x ) f (x ) . 1 22模糊相似优先比决策方法模糊相似优先比决策方法l设论域设论域Ux1,x2,xn为为n个备选方案集个备选方案集l若若(fj(xi),fi(xj)为二元比较级，令为二元比较级，令则称则称rij为为模糊相似优先比模糊相似优先比， R=(rij)nXn为为

12、模糊相似优先比矩阵模糊相似优先比矩阵l用类似模糊优先关系排序决策中确定用类似模糊优先关系排序决策中确定截矩阵的截矩阵的方法对备选方案排序。方法对备选方案排序。jiijijjijiijjiijf (x )f (x )r,rf (x )+f (x )f (x )+f (x )0.5iir23模糊相似优先比决策例模糊相似优先比决策例l多种菊花的排序（多种菊花的排序（p182）24模糊二元对比决策模糊二元对比决策(1)模糊优先关系排序决策模糊优先关系排序决策(2)模糊相似优先比决策模糊相似优先比决策(3)模糊相对比较决策模糊相对比较决策25(3)模糊相对比较决策模糊相对比较决策l设论域设论域Ux1,x

13、2,xn为为n个备选方个备选方案，先在二元对比中建立二元比较级，案，先在二元对比中建立二元比较级，然后利用然后利用模糊相对比较函数模糊相对比较函数，建立，建立模模糊相对优先关系糊相对优先关系矩阵来进行总体排序。矩阵来进行总体排序。26模糊相对比较函数定义模糊相对比较函数定义l设论域设论域Ux1,x2,xn，xi与与xj的二元比较级为的二元比较级为(fj(xi),fi(xj)，称，称模糊相对比较函数。模糊相对比较函数。jiijjiijf (x )f(x |x )f (x )f (x )27模糊相对比较函数性质模糊相对比较函数性质lf(xi|xj)性质：性质：ijjiijijjijiijijiif

14、(x |x )0,11 f(x |x )f(x |x )f(x |x )= f (x )f(x |x )f(x |x )f (x )f(x |x )=1当时 当时28模糊相及矩阵模糊相及矩阵l设论域设论域Ux1,x2,xn，记，记rijf(xi|xj)，则称以，则称以rij为元素的矩阵为元素的矩阵 R=(rij)nXn为为模糊相及矩阵模糊相及矩阵，于，于是，有是，有12131n21232nn1n2n31 f(x|x ) f(x|x ) . f(x|x ) f(x |x) 1 f(x |x ) . f(x |x ). . . . . f(x |x) f(x |x ) f(x |x ) . 1R2

15、9模糊相对比较决策模糊相对比较决策l在模糊相及矩阵在模糊相及矩阵R中，对中，对R的每行求下确的每行求下确界，以最大下确界所在行对应的界，以最大下确界所在行对应的xi为第一为第一优越对象，划去第优越对象，划去第i行与第行与第i列，得列，得n1阶阶模糊相及矩阵，类似地找出第二优越对象，模糊相及矩阵，类似地找出第二优越对象，此法一直做下去，就可对此法一直做下去，就可对n个备选方案个备选方案(对对象象)进行总体排序。进行总体排序。30模糊相对比较决策例模糊相对比较决策例l多种菊花的排序多种菊花的排序(p187)31模糊决策的应用模糊决策的应用lP231 例例132三、三、 模糊综合评判决策模糊综合评判

16、决策331、经典的综合评判决策、经典的综合评判决策l综合评判：考虑多个因素对事物作出综合综合评判：考虑多个因素对事物作出综合评价评价。l评判：按照给定的条件对事物的优劣、好评判：按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别。坏进行评比、判别。l综合：评判条件包含多个因素或多个指标。综合：评判条件包含多个因素或多个指标。34综合评判的方法综合评判的方法l评总方法：评总方法： 根据评判对象列出评价项目，对每个项目根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将所得定出评价的等级，并用分数表示。将所得分数累加，然后按总分的大小排列次序，分数累加，然后按总分的大小排列次序，以决定

17、方案的优劣。以决定方案的优劣。l我国高考成绩的评分方法就是如此我国高考成绩的评分方法就是如此 。35综合评判的方法综合评判的方法l加权评分法：加权评分法：E表示加权评价分数，表示加权评价分数，ai是第是第i个元素所个元素所占的权重，且要求占的权重，且要求11niia1,1,2,.,niiiEa S in362、模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换l是模糊综合评判决策的理论基础是模糊综合评判决策的理论基础l映射：点集映射映射：点集映射 集合变换集合变换l模糊映射是点集映射的推广，即在模糊映模糊映射是点集映射的推广，即在模糊映射射f下，将点下，将点x变为模糊集合变为模糊集合B。37模糊映射命题模糊

18、映射命题1l设设Xx1,x2,xn,Y=y1,y2,yml(1)给定模糊映射给定模糊映射f：l以以(ri1,ri2,rim)为行构造一个模糊矩阵为行构造一个模糊矩阵R=(rij)nXm ，就可唯一确定模糊关系，就可唯一确定模糊关系Rf，其中，其中Rf(xi,yj)=rij=f(xi)(yj)121212|( ).( ,.,)(1,2,., )iiimiimiiimrrrxf xByyyr rrY in38模糊映射命题模糊映射命题1l(2)给出模糊关系给出模糊关系l可令可令是从是从X到到Y的映射。的映射。11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 . . . . . . . . .

19、mmnnnnmrrrrrrrrRrrrrR12Rijijijf :|( )( ,.,)f (x ,y )=r =f(x )(y )(1,2,., ;1,2,.,)iRiiiimxfxr rrYin jm其中39模糊变换定义模糊变换定义l定义：称映射定义：称映射T：为从为从X到到Y的的模糊变换模糊变换。l模糊变换是集合变换的推广模糊变换是集合变换的推广.l若模糊变换若模糊变换T满足：满足： T(AB)=T(A) T(B) T( A)= T(A) 则称则称T为为模糊线性变换模糊线性变换。|( )AT AB40模糊变换例模糊变换例l设设Xx1,x2,xn,Y=y1,y2,ym，在，在X上任上任取一模

20、糊子集取一模糊子集12341230.30.50.10.80.30.51|( )TXYAxxxxT AByyyB令T:A是Y上的模糊子集，因此 是从 到 的模糊变换。41模糊线性变换与模糊关系模糊线性变换与模糊关系l设设T是从是从X到到Y的模糊线性变换满足的模糊线性变换满足则称则称T由模糊关系由模糊关系RT诱导出。诱导出。( )()TT AA RAX 42模糊线性变换与模糊关系命题模糊线性变换与模糊关系命题2l设设Xx1,x2,xn,Y=y1,y2,ym，则有：，则有：给定模糊关系为给定模糊关系为Rn*m,可确定一个模糊线性变换可确定一个模糊线性变换TR,并称并称TR为由模糊关系为由模糊关系R诱

21、导出。诱导出。|( )RATAA RB43模糊线性变换例模糊线性变换例l设设Xx1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4TR为由为由R诱导出的诱导出的X到到Y的模糊变换，的模糊变换，(1)A=X2,X4,求求TR(A)(2)B=0.5/X1+0.6/X2+0.9/X3+1/X4,求求TR(B)0.5 0.2 0 1 1 0.3 0 0.10.6 0.8 0.4 0.2 0.3 1 0 0 0 0 0 0 R 44模糊线性变换例模糊线性变换例lP195 例例5453、模糊综合评判决策的数学模型、模糊综合评判决策的数学模型l因素集：因素集： Uu1,u2,un.l评判集：评判集：Vv

22、1,v2,vm.l单因素评判矩阵：单因素评判矩阵：RunXml综合评判：综合评判：B=A。R， A为权重。为权重。11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 . . . . . . . . mmnnnnmrrrrrrrrRrrrr46模糊综合评判决策例模糊综合评判决策例l服装评判服装评判(199例例6)：(1)因素集：因素集： Uu1,u2, u3,u4.其中，其中，u1：花花色；色； u2：式样；式样；u3：耐穿程度；耐穿程度；u4：价格：价格(2)评判集：评判集：Vv1,v2,vn.其中，其中， v1：很很欢迎；欢迎； u2：较欢迎；较欢迎；u3：不太欢迎；不太欢迎；u4：不欢

23、迎不欢迎47模糊综合评判决策例模糊综合评判决策例l“晋升的数学模型晋升的数学模型” （p200）48模糊综合评判决策例模糊综合评判决策例l“农业经营决策农业经营决策” p20249模糊综合评判决策模型的改进模糊综合评判决策模型的改进l算子算子(， )缺点：当缺点：当ai较小时，较小时，丢掉了丢掉了r的很多信息。的很多信息。l几种改进数学模型（几种改进数学模型（p204）：）：1( , )2( , )3( ,)4( , )MMMM 模型 ：模型 ：模型 ：模型 ：50模糊综合评判决策模型的改进模糊综合评判决策模型的改进lp208 例例9、例、例1051模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多

24、层次模型l因素很多，而权重分配又比较均衡的情况因素很多，而权重分配又比较均衡的情况下，可采用多层次模型。下，可采用多层次模型。l二级模型（二级模型（p212）：）： 将因素集分成若干组将因素集分成若干组 评判集先对第二级因素集进行单因素评评判集先对第二级因素集进行单因素评判，再对第一因素集进行单因素评判。判，再对第一因素集进行单因素评判。52模糊综合评判决策多层次模型模糊综合评判决策多层次模型lp213例例1153模糊综合评判决策的应用模糊综合评判决策的应用lP234：例：例2、例、例3、例、例454四、权重的确定方法四、权重的确定方法55权重的确定方法权重的确定方法l(1)统计方法统计方法l

25、(2)模糊协调决策法模糊协调决策法l(3)模糊关系方程法模糊关系方程法56(1)统计方法统计方法专家估测法专家估测法l专家估测法：专家估测法：因素集：因素集： Uu1,u2, u3,u4，现有，现有K个专家各自个专家各自独立的给出各因素独立的给出各因素ui的权重，取平均值作为权的权重，取平均值作为权重。重。112n1111(1,2,., )111Akiijjkkkjjjjjjaa inkaaakkk即： （，.，）57(1)统计方法统计方法加权统计法加权统计法l加权统计法加权统计法(216-例例1)：1skiiiaw x58(1)统计方法统计方法频数统计法频数统计法l对因素对因素ui在它的权重

26、在它的权重aij中找出最大值中找出最大值Mi及及最小值最小值mi。l适当选择正整数适当选择正整数p，按公式，按公式(Mi-mi)/p把权把权重从小到大分成重从小到大分成p组。组。l计算每组的频数与频率。计算每组的频数与频率。l取最大频率所在分组的权重。取最大频率所在分组的权重。lp217：例：例259(2)模糊协调决策法模糊协调决策法l综合决策的逆问题：已知综合决策及单因综合决策的逆问题：已知综合决策及单因素评判矩阵素评判矩阵R，求各因素的权重分配，求各因素的权重分配A。l求权重分配的近似处理方法模糊协调决求权重分配的近似处理方法模糊协调决策法。策法。l思想：从一组可供选择的权重分配方案中思想

27、：从一组可供选择的权重分配方案中选择一种最佳权重分配选择一种最佳权重分配Ai，使得，使得Ai所决定所决定的综合决策的综合决策BiAi。R与与B最贴近。最贴近。lP220 例例360(3)模糊关系方程法模糊关系方程法l只讨论有限论域情况。只讨论有限论域情况。l设设Uu1,u2,un Vv1,v2,vm Ww1,w2,ws , 若已知模糊矩阵若已知模糊矩阵RmXs BnXs，求求满足满足 X。R=B的未知模糊矩阵的未知模糊矩阵XnXm 或求满足形或求满足形如如R。X=B的未知模糊矩阵的未知模糊矩阵Xl只考虑如下形式的模糊关系方程只考虑如下形式的模糊关系方程11 12 13 1 21 22 23 2

28、 12121 2 3 . . ( ,.,)( ,. . . . . . mmnnnnnmrrrrrrrrx xxb brrrr.,)nb61模糊关系方程法模糊关系方程法-定义定义1l称满足模糊关系方程称满足模糊关系方程X。R=B的的X为模糊关系方为模糊关系方程的解程的解.l若方程有解，则称模糊关系方程相容若方程有解，则称模糊关系方程相容.l若模糊关系方程的某个解若模糊关系方程的某个解X，对于其他任何一对于其他任何一个解个解X，均有均有X 包含于包含于X，则称则称X为模糊关系方为模糊关系方程的最大解。程的最大解。62模糊关系方程法模糊关系方程法-定理定理1l有解的充要条件是至少有一个有解的充要条件是至少有一个xi满足第满足第i个方程：个方程：xibi=b 且且x1a1b,xn an b 同时成立。同时成立。1122