概率论与数理统计茆诗松1.4等可能概型(古典概型与几何概型

1、4等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 几何概型（补充）几何概型（补充）计算古典概率的方法计算古典概率的方法 基本计数原理基本计数原理加法原理加法原理乘法原理乘法原理排列组合方法排列组合方法排列公式排列公式组合公式组合公式二项式二项式应用举例应用举例应用举例应用举例例例1.某医院有某医院有8名医生名医生7名护士，星期日选名护士，星期日选3人值班。人值班。（1）有多少种不同的选法；（）有多少种不同的选法；（2）其中至少有一）其中至少有一名医生的选法有多少种；（名医生的选法有多少种；（3）其中至少有一名医）其中至少有一名医生一名护士的选法有多少种。生一名护士的选法有多少种。解解: :315

2、1,C（ ）122130878787(2),C CC CC C12218787(3)C CC C 1117813()C C C不不能能为为 .N)1236()245nnNnniik kn 分分房房问问题题（放放球球入入箱箱问问题题）设设有有 个个人人（ 个个球球）随随意意放放入入 个个房房间间（个个箱箱子子中中其其中中每每个个人人（每每个个球球）等等可可能能放放入入任任意意一一个个房房间间中中（箱箱子子）求求：（ ）所所有有的的分分法法总总数数；指指定定的的 个个箱箱子子各各放放一一球球的的分分法法总总数数；（ ）任任意意 个个箱箱子子各各放放一一球球的的分分法法总总数数；（ ）每每个个箱箱子

3、子最最多多放放一一球球的的分分法法总总数数；（ ）第第 个个箱箱子子不不空空的的分分法法总总数数；（ ）第第 个个箱箱子子恰恰好好放放个个球球的的分分例例法法总总数数。解解：1N ,n（ ）(2) !,n(3)!,nnNNCnP(4)!,nnNNCnP(5)(1) ,nnNN(6)(1),kn knCN NM110,2,3;210,4,31;34536nNMnNMn袋袋中中有有 个个球球，其其中中个个为为白白球球，从从中中有有放放回回得得取取出出 个个（ ）（ ）考考虑虑以以下下排排列列数数：）全全不不是是白白色色的的球球；恰恰有有两两个个白白色色的的球球）至至少少有有两两个个白白色色的的球球

4、；）至至多多有有两两个个白白色色的的球球；）颜颜色色相相同同的的球球；）不不考考虑虑球球的的颜颜色色以以上上排排列列数数改改为为组组例例 ：合合数数呢呢？解解：322322333333322322333333(1)1)8 ,2)3 28,3)3 282 ,4)3 283 2 88 (102 ),5)28 ,6)10(2)1)6 ,2)3 46,3)3 464 ,4)3 463 4 66 (104 ),5)46 ,6)10 排排列列数数3030212121826428462821303211203211246461028282846460333333334610484610101)(),2)()

5、,3)(),4)(,5)()6)()C CC CC C C CC CC CC CCC CC CC CC CC CC CCCCCCCC组组合合数数：或或或或例例4：从：从3个电阻，个电阻，4个电感，个电感，5个电容，取出个电容，取出9个元件，问其中有个元件，问其中有2个电阻，个电阻，3个电感个电感 ，4个电个电容的取法有多少种？容的取法有多少种？234345C C C解解：例例5：五双不号的鞋，从中任取五双不号的鞋，从中任取4只，取出的只，取出的4只都不配只都不配对（即不成双）求对（即不成双）求（1）排列数；（）排列数；（2）组合数。）组合数。1111411111086452222C C C C

6、C C C C排排列列数数：或或P P解解：4111152222C C C C C组组合合数数：引例引例一个纸桶中装有一个纸桶中装有10个大小个大小, 形状完全相同形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为1-10.匀匀, 蒙上眼睛从中任取一球蒙上眼睛从中任取一球. 因因为抽取时这些球被抽到的可能性为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的是完全平等的, 所以我们没有理所以我们没有理由认为这由认为这10个球中某一个会比另个球中某一个会比另一个更容易抽得一个更容易抽得, 也就是说也就是说, 这这10个球中的任一个被抽取的可能性均个球中的任一个被抽取的可能性均为为1/10. 设设i表示取到表示取到i

7、号球号球(i=1,2,10). 则该试验则该试验的样本空间的样本空间 ,10, 2 , 1 S且每个样本点且每个样本点(基本基本搅搅把球把球12345678910的样本空间的样本空间 ,10, 2 , 1 S且每个样本点且每个样本点(基本基本事件事件) i,10)1,2,(i 出现的可能性相同出现的可能性相同.称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古典概型古典概型.1212ni12P)P)P)()1P),1,2, .数学表述为： （ ）， ， ， （有 个样本点）（ ） （每个基本事件的概率相同于是有： （nSeeeneeeeinn 一一.古典概型古典概型 古典概型即为满足以下两个假设条件的

8、概率模型：古典概型即为满足以下两个假设条件的概率模型：（1）随机试验只有有限个可能的结果；）随机试验只有有限个可能的结果；（2）每一个可能结果发生的机会相同。）每一个可能结果发生的机会相同。( )AmP An 则则有有：A中元素个数中元素个数S AS包含的基本事件总数基本事件总数 .P101例书例0.P12例书例(a)有放回抽样有放回抽样解：解：A :取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球 B :取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球 C :取到的两只球中至少有一只是白球取到的两只球中至少有一只是白球 4 4( )6 6P A 2 2( )6 6P B ( )1( )P CP B(b)不放

9、回抽样不放回抽样4 3( )6 5P A 2 1( )6 5P B 课堂练习：课堂练习：掷两颗质地均匀的骰子，计算两颗的点数之和等于5的概率。ASnAmP A1236,36,(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),4.4( )36样答案：本空间为：， 课堂练习：课堂练习：从从 九个号码中任取四个，求其九个号码中任取四个，求其中只有一个号码小于中只有一个号码小于5 5的概率的概率 1, 2,9413945134549,( )nCmC CC CP AC 答答案案：课堂练习：课堂练习：袋中有4 个红球、3个白球、3个黑球，从中任取3个，计算取出的3 个球颜色相同的概率。 3333104333

10、33433310,( )nCmCCCCCCP AC 答答案案：10,6,4,3,:2(1);(2);(3);(4).设设有有件件产产品品 其其中中 件件正正品品件件次次品品 从从中中任任取取件件 求求下下列列事事件件的的概概率率没没有有次次品品只只有有一一件件次次品品最最多多一一件件次次品品至至少少一一件件次次品品例例4ABCD., .m n设设 个个事事件件分分别别为为 ， ， ，因因为为产产品品无无序序 用用组组合合数数计计算算解解：310C120.n 样样本本空空间间的的样样本本点点总总数数为为361A20AmC（ ）事事件件 包包含含的的样样本本点点数数201PA,1206Amn所所以

11、以 （ ）1246(2)60,BmC C601( ),1202BmP Bn312646(3)80,CmCC C802( ),1203CmP Cn122130464646(4)100DmC CC CC C1005().1206DmP DnDA 其其实实，15PDPA1-PA1-66所所以以 （ ）（ ）（ ）在在概概率率的的计计算算中中常常常常用用第第注注：二二种种方方法法例例3.一学生宿舍有一学生宿舍有6名学生，问名学生，问（1）六人生日）六人生日都在星期天的概率是多少？（都在星期天的概率是多少？（2）6个人的生日个人的生日都不在星期天的概率是多少？（都不在星期天的概率是多少？（3）六个人的）

12、六个人的生日不生日不都都在星期天的概率是多少？在星期天的概率是多少？7,每每个个人人的的生生日日可可在在 天天中中的的任任何何一一天天 且且解解：是是等等可可能能的的，67 .n 于于是是基基本本事事件件总总数数为为：6111,( )7AAmmP An（ ）6666(2)6 ,( )7BBmmP Bn(3) “六六个个人人的的生生日日都都不不在在星星期期天天”与与“六六个个人人的的生生日日都都在在星星期期天天”是是对对立立事事件件，61PA1-P1-7所所以以 （ ）（A A）（ ）将将 3 个球随即放入个球随即放入 4 个杯子中个杯子中, , 问杯子中问杯子中的个数最多为的个数最多为1, ,

13、2, ,3的概率各是多少的概率各是多少?解解设设CBA,分别表示分别表示1, ,2, ,3的事件的事件. . 我们认为球是可以区分的我们认为球是可以区分的, ,于是于是, ,球过程的所有可能结果数为球过程的所有可能结果数为.43 n(1)A所含的基本事件数所含的基本事件数: : 即是从即是从 4 个杯子中任选个杯子中任选3个杯子个杯子, 每个杯子放入一个球每个杯子放入一个球, ,34C杯子的选法有杯子的选法有种种, ,球的放法有球的放法有 3! 种种, , 故故)(AP放放C3343!4 .83 球球杯子中的最多球数分别为杯子中的最多球数分别为书书P25习题习题11解解(2)C所含的基本事件数

14、所含的基本事件数: : 由于杯子中的最由于杯子中的最多球数是多球数是 3, ,即即 3 个球放在同一个杯子中个球放在同一个杯子中故故)(CP种放法种放法, ,共有共有 4344 .161 (3) 由于三个球放在由于三个球放在 4 个杯子中个杯子中为为,CBA显然显然,SCBA 且且CBA,互不相容互不相容, , 故故)(BP的各种可能放法的各种可能放法)()(1CPAP .169 事件事件例例5.从从5双不同的手套中，任取双不同的手套中，任取4只，求只，求4只都只都不配对的概率。不配对的概率。1,104：样样本本空空间间视视为为将将只只手手套套任任取取 四四只只解解进进行行排排列列法法410,

15、nP 111110864AmC C C C 111110864410( )C C C CP AP 1,204样样本本空空间间视视为为将将只只手手套套任任取取 四四解解：只只进进行行组组合合法法44111105222C ,AnmC C C C4111152222410( )CC C C C CP A 例例6(书书P13)在在 12000 的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数, ,到的整数既不能被到的整数既不能被 6 整除整除, ,问取问取又不能被又不能被 8 整除的概整除的概率是多少率是多少? ?解解设设A为为B为为件件“取到的数能被取到的数能被 8 整除整除”, , 则所求概率为则所求

16、概率为)(BAP).()()(1ABPBPAP 由于由于62000故得故得.2000333)( AP由于由于,25082000 故得故得.2000250)( BP事件事件“取到的数能被取到的数能被 6 整除整除”, ,事事)(BAP )(1BAP 333,334 又由于一个数同时能被又由于一个数同时能被 6 6 与与 8 8 整除整除, ,就相当于能被就相当于能被 24 24 整除整除, ,因此因此, ,由由8424200083 .200083)( ABP于是所求概率为于是所求概率为)(BAP)(BAP )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 200083200025020003331.

17、43 例例7(书书P13)解：分法总数为解：分法总数为5551510515!5!5!5!CCC 1253!12!15!(1)4!4!4!5!5!5!91p 163 12!15!(2)2!5!5!5!5!5!91p 例例.盒中有盒中有10只晶体管，其中有只晶体管，其中有3只是次品，又放回只是次品，又放回（无放回）地从中任取（无放回）地从中任取1只，试求下列事件的概率：只，试求下列事件的概率：（1）取到的两只都是正品）取到的两只都是正品；（2）取到的两只，一只是正品，一只是次品；）取到的两只，一只是正品，一只是次品；（3）取到的两只至少有一只次品。）取到的两只至少有一只次品。210n ：有有放放回

18、回：解解2227(1)7 ,( )10AmP A11117337242(2)42,( )10BmC CC CP B( )1(B)P BP或或22227311010111127337251(3)351,( )10CmC CC CP C337( )1( )1( )110P CP CP A或或2109 (10nP无无放放：看看回回解解法法作作排排列列) )27427142,( )9015AmPP A（ ）11117337427(2)42,( )9015BmC CC CP B 1111273373488348,( )9015CmC CC CPP C42488( )1(C)1( )1909015P CP

19、P A或或210245(nC看看作作一一次次无无放放回回解解法法 ：出出取取两两件件）27217(1)21,( )4515AmCP A1173217(2)21,( )4515BmC CP B112733248(3)24,( )4515CmC CCP C( )1( )212481( )1454515P CP CP A或或AP ASSA ( )( )( )( )A.古典概型是关于有限等可能结果的概型。几何概型是样本空间是一线段、一平面区域或空间立体的等可能随机试验的概率模型。其中（ ）为样本空间二几何的几何度量为事件 的概型 几何度量AS 例例某人午觉醒来某人午觉醒来 发觉表停了发觉表停了 他打开

20、收音机他打开收音机 想听电想听电台报时台报时 设电台每正点时报时一次设电台每正点时报时一次 求他求他(她她)等待时间短等待时间短于于10 min的概率的概率 以分钟为单位以分钟为单位 记上一次报时时刻为记上一次报时时刻为0 则下一次报时则下一次报时时刻为时刻为60 于是这个人打开收音机的时间必在于是这个人打开收音机的时间必在(0 60)内内 记记“等待时间短于等待时间短于10 min”为事件为事件A 则有则有S (0 60) A (50 60) S 解 616010)(AP 于是于是 例 (会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面 先到者等候另一人20 min 过时就离开 如果每个

21、人可在指定的一小时内任意时刻到达 试求二人能够会面的概率 记7点为计算时刻的0时 以分钟为单位 x y分别记甲、乙到达指定地点的时刻 则样本空间为 S(x y)|0 x60 0y60 以A表示事件“两人能会面” 则显然有 A(x y)|(x y)S |xy|20 解 依题意 这是一个几何概型问题 于是 95604060)()()(222SASAP AP AS( )( )( ) Buffon投针问题投针问题平面上画有等距离的平行线，平行线的距离为平面上画有等距离的平行线，平行线的距离为a a(0) ，向平面投掷一枚长为，向平面投掷一枚长为l la() 的针，试的针，试求针与平行线相交的概率。求针与平行线相交的概率。解：解：x表示针的中心与最近一条平行线的距离，表示针的中心与最近一条平行线的距离， 表示针与直线间的夹角，易知有表示针与直线间的夹角，易知有aSxx( , )