静电场的环路定理和电势综述

1、9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势9.4.1 静电场的环路定理静电场的环路定理 9.4.2 电势能和电势电势能和电势 9.4.3 电势的计算电势的计算 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势一、静电场力做功的特点一、静电场力做功的特点9.4.1 静电场的环路定理静电场的环路定理 EQABarbr将试验电荷将试验电荷q0从从a点移动到点移动到b点点对任意位移元对任意位移元ld静电力所做的元功静电力所做的元功lEqlFWddd0lEqd cos0rrQqWd 4d2000qldrrd9.4 9.4

2、静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势EQABarbr0qldrrdbarrrrQqW200d4)11( 400barrQq 电场力所做的功只与电荷电场力所做的功只与电荷的电量以及始末位置有关，而的电量以及始末位置有关，而与路径无关与路径无关静电力是保守力静电力是保守力从从a点到点到b点电场力做的功点电场力做的功推广：推广：点电荷系点电荷系( (连续带电体连续带电体) )的电场力做功的电场力做功具有同样特征具有同样特征9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理EAB12ABBAlEqlEq2010ddLlEqWd000d LlE在

3、静电场中，电场强度在静电场中，电场强度 沿沿任意闭合路径的线积分为零任意闭合路径的线积分为零E静电场是无旋场静电场是无旋场静电场的电场线不可能是闭合曲线静电场的电场线不可能是闭合曲线BABAlEqlEq2010dd9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势环流环流通量通量高斯定理高斯定理内）（SiSqSE01d静电场是有源场，静电场是有源场，“源源”就是电荷就是电荷静电场的环路定理静电场的环路定理0dLlE静电力是保守力，静电力是保守力，静电场是无旋场静电场是无旋场 电势能电势能描述静电场的性质的定理描述静电场的性质的定理9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理

4、和电势一、电势能、电势、电势差一、电势能、电势、电势差1、电势能、电势能Weq0qQrQPrP9.4.2 电势能和电势电势能和电势QPQPlEqWWd0eePWeQWe0eQW若设若设零电势能零电势能参考点PPlEqWd0e 试验电荷在电场中某点的电势能试验电荷在电场中某点的电势能We ，在数值上等于把在数值上等于把它从该点移到它从该点移到零电势能处零电势能处( (参考点参考点) )电场力所做的功。电场力所做的功。静电力做正功时，电势能减少静电力做正功时，电势能减少电场力做负功时，电势能增加电场力做负功时，电势能增加9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势F 电势能属于静电

5、场和试验点电荷电势能属于静电场和试验点电荷F 电势能的大小是相对的电势能的大小是相对的F 电势能是状态（位置）的单值函数电势能是状态（位置）的单值函数2、电势与电势差、电势与电势差0eqWVPP电势电势0eqWVQQ参考点PlEd参考点QlEdF某点的电势等于把某点的电势等于把单位正电荷单位正电荷从该点移到从该点移到电势零电势零点点电场力作的功电场力作的功F电势与电势能的联系和区别电势与电势能的联系和区别9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势二、电势零点二、电势零点1 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷远处。穷远处

6、。PPlEVd设设Q点在无限远点在无限远，VQ=0 2 2、 电荷分布延伸到无限远；电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点，可选取场中任一点，合理选择电势零点可使问题简化。合理选择电势零点可使问题简化。电势差电势差QPlEdQPPQVVU电势是相对的，电势差是绝对的电势是相对的，电势差是绝对的单位：单位：1V1J/C电荷分布虽延伸到无限远，但电荷的代数和为零。电荷分布虽延伸到无限远，但电荷的代数和为零。9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势一个电子伏特的能量一个电子伏特的能量F电子伏特（电子伏特（eV）能量的一个单位能量的一个单位qUW J101.601VC1060. 1

7、1919电子伏特是近代物理学中能量单位电子伏特是近代物理学中能量单位三、点电荷在电场中移动时电场力所做的功三、点电荷在电场中移动时电场力所做的功PQW)(0QPVVqPQUq0QPQPlEqWWd0ee9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势一、点电荷一、点电荷q的电场中任一场点的电势的电场中任一场点的电势PlEPVd)(9.4.3 电势的计算电势的计算 rrrq 20d4rq04无穷远处为电势零点无穷远处为电势零点PrEdPrEdF在正电荷形成的电场中任一点的电势均为正，在正电荷形成的电场中任一点的电势均为正，且离点电荷越远的点，电势越低且离点电荷越远的点，电势越低F在负

8、电荷形成的电场中任一点的电势均为负，在负电荷形成的电场中任一点的电势均为负，且离点电荷越远的点，电势越高且离点电荷越远的点，电势越高9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势rqVd410iiirq04一般的：连续带电体的电场一般的：连续带电体的电场任一场点的电势任一场点的电势二、电势叠加原理二、电势叠加原理PlEPVd)( d)(21plEE )(iiPV三、电势的计算三、电势的计算F利用电势叠加原理利用电势叠加原理0daalEVF由定义式由定义式9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势例题例题1 1 求电偶极子的电势分布求电偶极子的电势分布 解解)11

9、(40rrqVP在在 的情况下有的情况下有 lr cos2lrrcos2lrr220)cos2(cos4lrlqVqrrxyrqlO),(yxP9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势忽略二级小量忽略二级小量l 的平方项，得的平方项，得 20cos41rqlV3041rrpV20cos41rpqrrxyrqlO),(yxP9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势Rl d22xRr例题例题2 2 求均匀带电圆环（电量求均匀带电圆环（电量q ，半径半径R）轴线轴线上上P点的电势。点的电势。 解解 利用电势叠加原理利用电势叠加原理lqddrqVd41d0lrl

10、Vd4022041Rxqrld410rq049.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势例题例题3 3 求圆盘轴线上任一点的电势求圆盘轴线上任一点的电势解解 取微元取微元P0Rxdrrrrqd2drrrxVd2141d2202200d2rxrrVR)(2220 xRx9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势 有N个电荷均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的z轴上任一点P(如图所示)的电场强度与电势，则有 概念检测概念检测CA. 电场强度相等，电势相等B. 电场强度不等，

11、电势不等 C. 电场强度分量Ez相等，电势相等 D. 电场强度分量Ez相等，电势不等 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势例题例题4 4 求球面半径为求球面半径为R、总带电量为总带电量为Q的均匀的均匀带电球面的电势分布。带电球面的电势分布。 解解 均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场 )( 0)( 4r20RrERrerQE rrQrVrd4)( 20rrQrrVRrRd4d0)( 0在球面处场强不连续，但电势却是连续的。在球面处场强不连续，但电势却是连续的。PPlEVdPrEd)( 40RrrQ)( 40RrRQ9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和

12、电势解解 无限长均匀带电直线的电场场强无限长均匀带电直线的电场场强 rE02方向垂直于带电直线方向垂直于带电直线 若仍然选取无穷远为电势零点，则由若仍然选取无穷远为电势零点，则由E可知：各点电势将为无限大而失去意义。可知：各点电势将为无限大而失去意义。 例题例题5 5 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。设线电荷密度为设线电荷密度为 。 PrPPlEVdPrEd9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势0 0drrrEVVVrrrrd20 0设设: r0=1 m，则有则有 rVln 20可以选取某一距带电直导线为可以选取某一距带电直

13、导线为r0的点为电势零点的点为电势零点 则距带电直线为则距带电直线为r 的点的电势的点的电势 rr00ln2ErPr09.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势9.5 电场强度和电势梯度的关系电场强度和电势梯度的关系 9.5.1 等势面等势面 9.5.2 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势F疏密程度反映着电场的强弱疏密程度反映着电场的强弱二、性质二、性质一、定义一、定义CzyxV),(F规定任意相邻两面之间电势差相等规定任意相邻两面之间电势差相等等势面较密集的地方，场强较大。等势面较密集的地方，场强较大。等势面较

14、稀疏的地方，场强较小。等势面较稀疏的地方，场强较小。 9.5.1 等势面等势面 电场中电势相等的点构成的面电场中电势相等的点构成的面9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势F电场线与等势面处处正交电场线与等势面处处正交F电荷沿等势面移动时电场力不作功电荷沿等势面移动时电场力不作功 将单位正电荷从等势面上将单位正电荷从等势面上M点移动点移动dl到达到达N点，点，因单位正电荷的电势能没有变化，故电场力作功为零。因单位正电荷的电势能没有变化，故电场力作功为零。02 0cos 沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功，沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功，正电荷的电势能减少，故电势减小

15、。正电荷的电势能减少，故电势减小。 cosdddlElEWMNF电场指向电势降落方向电场指向电势降落方向 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势 我们的心脏附近我们的心脏附近的等电势线（类似于的等电势线（类似于电偶极子）电偶极子）9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势9.5.2 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度 VVVABlEABUBAVV VlEcoslE电势差电势差ABU沿沿 方向单位长方向单位长度上电势的变化率度上电势的变化率llE场强场强 在在 方向上的分量方向上的分量lElVEllEV coslEl 9.4 9.4 静电场的环路定理和电

16、势静电场的环路定理和电势VVVABlElVEl0lV0lE沿着电场强度的方向电势沿着电场强度的方向电势是下降的是下降的0V当当 取得很小时取得很小时llVlVlddlim0 电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，等于这一点沿该方向上电势变化率的负值等于这一点沿该方向上电势变化率的负值lVElddlVEl9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势电势梯度电势梯度F大小等于电势沿等势面法向的空间变化率大小等于电势沿等势面法向的空间变化率F方向是该点附近电势升高最快的方向，与电场方方向是该点附近电势升高最快的方向，与电场方向相反向相反nlV

17、EnelVEn VVVABlElVEl如果把如果把x轴、轴、y轴和轴和z轴正方向分别取做轴正方向分别取做 的正方向的正方向lxVExzVEzyVEy9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势)(kxVjxVixVEkzjyix引入引入梯度算符梯度算符V 电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度的负值的负值电场强度与电势的微分关系电场强度与电势的微分关系F 电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率有关，与该点电势值本身无直接关系有关，与该点电势值本身无直接关系F 电场强度的单位可以用电场强度的单位可以用

18、 V/m 来表示来表示F 提供一种计算场强的方法提供一种计算场强的方法VE9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势例题例题 试由电偶极子电场的电势分布试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度求电偶极子的电场强度qrrxyrqlO),(yxP电偶极子电场的电势电偶极子电场的电势在图示的在图示的Oxy坐标系中坐标系中20 4cosrpV222yxr22cosyxx2/3220)( 4yxpxV9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势qrrxyrqlO),(yxP2/3220)( 4yxpxVxVExyVEy2/522022)( 4)2(yxyxp2/

19、5220)( 4yxpxy当当P点在点在y轴上轴上30 4ypEx0yE当当P点在点在x轴上轴上30 42xpEx0yE9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势积分关系积分关系QPQPPQlEVVUd微分关系微分关系VVEgrad电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势 有一“无限大”带正电荷的平面，若设平面所在处为电势零点，取x轴垂直带电平面，原点在带电平面上，则其周围空间各点电势V随距离平面的位置坐标x变化的关系曲线为 概念检测概念检测BA. B. C. D. 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路

20、定理和电势 已知某电场的电场线分布情况如图所示现观察到一负电荷从M点移到N点有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ 概念检测概念检测DA. 电场强度EMEN B. 电势VMVN C. 电势能WMWN D. 电场力的功W0 -q M N 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势小小 结结三、电势与电场强度的关系三、电势与电场强度的关系一、等势面一、等势面二、等势面与电场线的关系二、等势面与电场线的关系积分关系积分关系QPQPPQlEVVUd微分关系微分关系VVEgrad9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势小小 结结一、静电场力做功的特点：与

21、路径无关一、静电场力做功的特点：与路径无关三、电势差和电势三、电势差和电势0eQWQPPlEqWd0e 0eqWV QPQPPQlEVVUdPPlEVdLlE0d二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势A. EAEBEC，UAUBUCB. EAEBEC，UAUBUCC. EAEBEC，UAUBUCD. EAEBEC，UAUBUC概念检测概念检测 图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图可看出9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势A. qB. 2q C. 两个电荷具有同样的电势 D. 与电势的零点有关概念检测概念检测 原点处有一个点电荷Q。有两个点电荷，一个电量为q，放置在距离原点r处，另一个电量为2q，放置放置在距离原点2r处，如果所有的电荷都是正的，哪个电荷的电势较高？ 9.4 9.4 静电场的环路定理和电势静电场的环路定理和电势 身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化,记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况9.4 9.4 静电场的环路